大學高等數(shù)學第一章函數(shù)(習題精講)doc

本文格式為Word版，下載可任意編輯——大學高等數(shù)學第一章函數(shù)(習題精講)doc第1章函數(shù)第1章函數(shù)§1.1函數(shù)的概念與性質1.十足值與不等式（，）（1）；

（2）（調和平均值幾何平均值算術平均值）一般地，（3）；

2.函數(shù)概念與性質對變量的每一個確定值，變量按某確定規(guī)矩，都有且只有一確定值與之對應，那么稱變量是變量的函數(shù)，記為，。

留神：定義域和對應規(guī)矩是函數(shù)相等的兩要素。

（1）無關性（2）單調性；

（3）奇偶性留神：函數(shù)的奇偶性是相對于對稱區(qū)間而言，若定義域關于原點不對稱，那么不是奇/偶函數(shù)。

（4）周期性若，，那么稱為的周期。

（5）有界性若，，，那么稱在上有界。

常用有界函數(shù)：，，；

，，；

，，3.復合函數(shù)設的定義域為，的值域為，且（空集），那么稱為的復合函數(shù)。

4.反函數(shù)設留神：正反函數(shù)的圖形對稱于直線；

嚴格單調函數(shù)必有反函數(shù)；

；

5.初等函數(shù)由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運算和有限次復合而成的，并能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

根本初等函數(shù)：冪函數(shù)（為實數(shù)）；

指數(shù)函數(shù)（，）；

對數(shù)函數(shù)（，）；

三角函數(shù)，，，，，；

反三角函數(shù)，，，.６.分段函數(shù)與冪指函數(shù)分段函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，由于一般在其定義域內不能用一個解析式表示；

冪指函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，由于它無法用初等函數(shù)復合而成；

但若規(guī)定，那么，是初等函數(shù)。

§1.2典型例題解析例3已知不等式，用區(qū)間表示不等式的解集分析解此不等式應先去掉十足值符號，由于，分別為，的零值點，于是將區(qū)間劃分為，，，再考慮各小區(qū)間的取值范圍及端點，結果綜合得出結論。

解法1解法21.函數(shù)定義域的求法解題思路（1）分式的分母，對數(shù)的真數(shù)，偶次方根下的表達式，反正弦、反余弦號內的表達式十足值；

（2）復合函數(shù)的定義域簡樸函數(shù)的定義域所構成的不等式組的解集。

例4求以下函數(shù)的定義域（1）；

解（2）已知的定義域是，試求的定義域解的定義域：

的定義域：

；

的定義域：

當，時，定義域為空集；

當，時，定義域為；

故取交集定義域為2.函數(shù)解析式的求法解題思路（1）將已知變量湊成與內的中間變量一致的形式，利用函數(shù)的無關特性求解；

（2）對內作變量代換，再利用無關特性與原方程聯(lián)立求解。

（3）由的表達式求的一般方法是令，從中解出，將其代入中可得例5求以下函數(shù)解析式（2）已知，,求；

解令代入原式得，那么（3）已知,求；

解法1令，那么解法2將換成，得，和原式相加得令，那么例6求以下函數(shù)解析式（1）已知，的定義域為，且，求解令，，，且，那么（）（2）已知，求解令，，那么3.利用定義確定函數(shù)的有關特性解題思路（1）若，那么為奇函數(shù)；

（2）若是的周期，那么的周期為；

若，分別是以，為周期的函數(shù)，那么的周期為，的最小公倍數(shù)。

（3）將函數(shù)取十足值，由不等式的縮放法或求函數(shù)的最值確定函數(shù)的有界性；

（4）若，且，，那么可確定單增性。

例7設，求，的奇偶性解設，由于，分別令，，得即為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)。

例8設在上有定義，證明：可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，且表示法唯一分析若，，那么有，，由此引入輔佐函數(shù)證設，故為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且唯一性：設另有偶函數(shù)及奇函數(shù)使得，那么解得，，即表示法唯一。

例9證明以下函數(shù)為周期函數(shù)，并求其最小正周期（1）解法1由于的周期為，故所求周期為解法2，（2）解例11設在上有定義，證明：

（1）若的圖形關于直線對稱，那么；

（2）若的圖形關于直線，對稱，那么是周期的偶函數(shù)。

分析（1）若的圖形關于直線對稱點為與，那么，反之，若，那么關于直線對稱證（1）必要性：，有，那么充分性：若，有，那么（2）由題設知，，那么故是以2為周期的偶函數(shù)例12判斷以下函數(shù)的有界性（1）解由，有，那么例13設（），證明：

（1）若是的單減函數(shù)，那么；

（2）若是的單減函數(shù)，那么；

（3）（）證（1）由題設知，，，，由于單減，有，，那么（2）由于單減，有，，那么，（3）令，，，那么例14求以下函數(shù)的反函數(shù)分析：求分段函數(shù)的反函數(shù)，要留神的不同取值范圍對應原來函數(shù)的值域（2）解當時，的值域為當時，的值域為故例15在底為，高為的三角形中內接一矩形，將矩形面積表示為其底的函數(shù)。

解設矩形高為，由三角形好像關系得，，那么例16某商場以每件元的價格出售某種商品，若顧客一次添置件以上，那么超出件的商品以每件元的價格出售，試將一次成交的銷售收入表示成銷售量的函數(shù)。

解在已確定的場地