人教初中數(shù)學(xué)九上《一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系》教案 (公開課獲獎(jiǎng))

一二方的與數(shù)系教學(xué)時(shí)間

課題

21.2.4一二次方程的根與系數(shù)關(guān)系

課型

新授教學(xué)媒體

多媒體教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能過(guò)程方法情感態(tài)度

1.熟練掌握一元二次方程的根與數(shù)關(guān).2.靈活運(yùn)用一元二次方程的根與數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問(wèn).3.提高學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)分解決較復(fù)雜問(wèn)題的能學(xué)生經(jīng)歷探索，嘗試發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理，感受不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證.培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析和綜合，判斷的能力，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性，激勵(lì)學(xué)生勇于探索的精.一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的理解和推導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)程序及教學(xué)內(nèi)容一、復(fù)習(xí)引入導(dǎo)語(yǔ)：一元二次方程的根與系數(shù)有著密切的關(guān)系，早在16世

師生行為教師出示問(wèn)題，引

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情法國(guó)的杰出數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了這一關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)嗎？出題學(xué)生初步了

境，激發(fā)學(xué)生二、探究新知1.課本思考分析：將x-x）=0化一般形式x-(+x)x+=0與x+px+q=0對(duì),易知p=-(x+x)q=xx即二次項(xiàng)系數(shù)是1的元二次方程如果有實(shí)根，則一次項(xiàng)系數(shù)等于兩根和的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)等于兩根之.2.跟蹤練習(xí)求下列方程的兩根x、x的和與.x+3x+2=0；x+2x-3=0;-6x+5=0;-6x-15=03.方2x-3x+1=0的根的和積與系數(shù)之間有類似的關(guān)系嗎？分析：這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)等于2與上面情形有所不同出方程兩根，再通過(guò)計(jì)算兩根的和、積，檢驗(yàn)上面的結(jié)論是否成立，若不成立，新的結(jié)論是什么？4.一般的一元二次方程ax（a≠0）中的不一定是1，它的兩根的和、積與系數(shù)之間有第題中的關(guān)系嗎？分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過(guò)計(jì)算兩根的和、積，得到方程的兩個(gè)根x、x和系數(shù)a，b，c關(guān)系，即韋達(dá)定理，也就是任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.求根公式是在一般形式下推導(dǎo)得到，根與系數(shù)的關(guān)系由求根公式得到，因此，任何一個(gè)一元

解本課所要研究的問(wèn)題學(xué)生通過(guò)去括號(hào)、合并得到一般形式的一元二次方程，教師適時(shí)點(diǎn)撥，分析總結(jié)得到結(jié)論.學(xué)生獨(dú)自完成鞏固上訴知識(shí)教師出示探究問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)特殊例子入手，再通過(guò)一般形式推導(dǎo)證明，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)求根公式進(jìn)行探究、交流，嘗試發(fā)現(xiàn)結(jié)論

好奇心，求知欲通過(guò)思考問(wèn)題，讓學(xué)生知道二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，為后面繼續(xù)研究做鋪墊讓學(xué)生通過(guò)探究問(wèn)題體會(huì)從特殊到一般的認(rèn)知過(guò)程體數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性

2222二次方程化為一般形式后根與系數(shù)之間都有這一關(guān).5.跟蹤練習(xí)求下列方程的兩根x、x的和與.eq\o\ac(○,1)+7x+2=0；3x+7x-2=0;3x-7x+2=0；3x

-7x-2=0；

學(xué)生獨(dú)立解決，并加對(duì)韋達(dá)eq\o\ac(○,2)5x-1=4x；5x-1=4x+x6.拓展練習(xí)

交流

理的理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用eq\o\ac(○,1)知一元二次方程

+bx+c=0的個(gè)根是1，

意識(shí)和能力b=,c=.eq\o\ac(○,2)知關(guān)于的方x+kx-2=0一個(gè)根是，則另一個(gè)根是,k的是.eq\o\ac(○,3)關(guān)于的元二次方程x+px+q=0的兩個(gè)根互為相反數(shù)p=;若個(gè)根互為倒數(shù)，則q=.分析：方程中含有一個(gè)字母系數(shù)時(shí)利用方程一根的值可求得另一根和這個(gè)字母系數(shù)；方程中含有兩個(gè)字母系數(shù)時(shí)利用方程的兩根的值可求得這兩個(gè)字母系.二次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，若方程的兩根互為相反數(shù)或互為倒數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得方程的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù).eq\o\ac(○,4)個(gè)根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程()A.4x+21x+5=0B.6x-13x-5=0-12x+5=0D.2x+15x-8=0eq\o\ac(○,5)兩異號(hào)，且正根的絕對(duì)值較大的方程是（）A.4x-3=0B.-3x+5x-4=0C.0.5x-4x-3=0D.2x3x-=0eq\o\ac(○,6)若于x的元二次方程-3x+m=0,m時(shí)方程有兩個(gè)正根；當(dāng)m時(shí)程有兩個(gè)負(fù)；當(dāng)時(shí)方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，且正根的絕對(duì)值較.分析：根據(jù)方程的根的正負(fù)情況，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，確定方

先觀察，嘗試選用合適方法解題，之后交流，比較解法通過(guò)學(xué)生親自解題的感受與學(xué)生嘗試歸納，師經(jīng)，感受生總結(jié)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)程各

項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，eq\o\ac(○,6)還需考慮m的還得受根的判別式的

學(xué)生獨(dú)立完成，教的解和掌限制.三、課堂訓(xùn)練1.完成課本練習(xí)2.補(bǔ)充練習(xí)：x是程3x-2x-4=0的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求下列

師巡回檢查，師生握集體訂正各式的值：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)eq\o\ac(○,5)1四、小結(jié)歸納

1x2x1x2

；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)xxx21

2

eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)x12

2

；eq\o\ac(○,4)

學(xué)生歸納，總結(jié)闡述，體會(huì)，反思.

通過(guò)歸納進(jìn)一步理解韋達(dá)定理及其本節(jié)課應(yīng)掌握：1.韋定理二次項(xiàng)系數(shù)不是1的方程根與系數(shù)的關(guān)系2.運(yùn)韋達(dá)定理時(shí)意含件次項(xiàng)系數(shù)不為0eq\o\ac(△,，)≥03.韋達(dá)定理的應(yīng)用常見題型：eq\o\ac(○,1)解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是否是某一個(gè)一元二次方程的兩根；eq\o\ac(○,2)知方程和方程的一根，求另一個(gè)根和字母系數(shù)的值；eq\o\ac(○,3)給出的兩根滿足的條件，確定字母系數(shù)的值；

并做出筆記

應(yīng)用加強(qiáng)教學(xué)反思幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣加深認(rèn)識(shí)深提eq\o\ac(○,4)斷值

兩個(gè)根的符號(hào)；eq\o\ac(○,5)解方程求含方程的兩根的式子的

高形成學(xué)生自己的知識(shí)體系.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)必做：P17：7選做：補(bǔ)充作業(yè)：已知一元二次方程+3x+1=0的兩個(gè)根是求教學(xué)

反

的值.思分的減教學(xué)目標(biāo)明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn).重點(diǎn)難點(diǎn)1．重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混運(yùn).2．難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混運(yùn).3．認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法教師強(qiáng)調(diào)進(jìn)行分式混合運(yùn)算時(shí)注意運(yùn)算順序在沒(méi)有括號(hào)的情況下按從左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加.有括號(hào)要按先小括號(hào)，再中括號(hào)，最后大括號(hào)的順.混合運(yùn)算后的結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式或整.分子或分母的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，要把-”提到分式本身的前.教學(xué)過(guò)程例、習(xí)題的意圖分析1．教科書例7、例8是分的合運(yùn).分式混合運(yùn)算要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式或整.2．教科書練習(xí)1：寫出教科書問(wèn)題和問(wèn)4的計(jì)結(jié).這道題與第一節(jié)課相呼應(yīng)，也解決了本節(jié)引言中所列分式的計(jì)算，完整地解決了應(yīng)用問(wèn)題二、課堂引入1．說(shuō)出分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序.2．教師指出分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算與式的混合運(yùn)算的順序相.三、例題講（教科書）例7計(jì)算[分析]這道是分式的混合運(yùn)，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘，然后加減，最結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式.

（教科書）例8計(jì)算[分析]這題是分式的混合運(yùn)，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，注意有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式.四、隨堂練習(xí)計(jì)算：(1)

24()2x

（2）

(

a1))aa（3）

(

312))a2a五、課后練習(xí)1．計(jì)算：(1)

(1

)xy(2)

(

a)aaa2aa(3)

(

11xy)xxy2．計(jì)算

14)aaa

，并求出當(dāng)

a

-1的.六、答案：四）2x（2）

（3）3五、1.(1)

xyxy2

(2)（3）

2.原式=

a2a2

，當(dāng)

-1時(shí)原式=-.13.3.1等三形教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)．等腰三角形的概念．．等腰三角形的性質(zhì)．．等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用．（二）能力訓(xùn)練要求．經(jīng)歷作（畫）出等腰三角形的過(guò)程從軸稱的角度去體會(huì)等腰三角形的特點(diǎn)．．探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)．

（三）情感與價(jià)值觀要求通過(guò)學(xué)生的操作和思考學(xué)生掌握等腰三角形的相關(guān)概念在究等腰三角形性質(zhì)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考的習(xí)慣．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1．等腰三角形的概念及性質(zhì)．．等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．難點(diǎn)：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用．教學(xué)方法探究歸納法．教具準(zhǔn)備師：多媒體課件、投儀；生：硬紙、剪刀．教學(xué)過(guò)程Ⅰ．提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境[師]在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，探究了軸對(duì)稱的性質(zhì)，并且夠作出一個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對(duì)稱圖形能夠通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)設(shè)計(jì)一些美麗的圖案這課我們就是從軸對(duì)稱角度來(lái)認(rèn)識(shí)一些我們熟悉的幾何圖形研①角形是軸對(duì)稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？[生]的三角形是軸對(duì)稱圖形，有的三角形不是．[師]什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？[生]滿足軸對(duì)稱的條件的三角形就是軸對(duì)稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對(duì)折后兩部分能夠完全重合的就是軸對(duì)稱圖形．[師]好，我們這節(jié)課就來(lái)認(rèn)識(shí)一種軸對(duì)稱圖形三角─等三角形．Ⅱ．導(dǎo)入新課[師]同學(xué)們通過(guò)自己的思考來(lái)做一個(gè)腰三角形．AAB

B

CI

I作一條直線L在L上點(diǎn)A，在L外點(diǎn)B，作出點(diǎn)B于直線L的稱點(diǎn)，連接AB、，則可得到一個(gè)等腰三角形．[生乙]在甲同學(xué)的做法中A點(diǎn)以取直線L上任意一點(diǎn)．[師]，按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形．現(xiàn)在同學(xué)們拿出自己準(zhǔn)備的硬紙和剪刀，按自己設(shè)計(jì)的方法，也可以用課本探究中的方法剪一個(gè)等腰三角形．……[師]照我們的做法可得到等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形相的兩邊叫做腰，另一叫做底邊腰夾的角叫做頂角底與腰的夾角叫底角．同學(xué)們?cè)谧约鹤鞒龅牡妊切沃?，注明它的腰、底邊、頂角底角．[師]了上述概念，同學(xué)們來(lái)想一想．（演示課件）．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)找出它的對(duì)稱軸．

．等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？．底邊的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎底邊上的高所在的直線呢？[生甲]等腰三角形是軸對(duì)稱圖形．的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線．因?yàn)榈妊切蔚膬裳嗟人园堰@兩條重合對(duì)折三角形便知腰三角形是軸對(duì)稱圖形它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線．[師]學(xué)們把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊找出的對(duì)稱軸并看它的兩個(gè)底角有什么關(guān)系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折后，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩個(gè)底角相等．[生丙]我把等腰三角形折疊，使兩重合，這樣頂角平分線兩旁的部分就可以重合，所以可以驗(yàn)證等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線．[生丁]我把等腰三角形沿底邊上的線對(duì)折，可以看到它兩旁的部分互相重合，說(shuō)明底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸．[生戊]老師，我發(fā)現(xiàn)底邊上的高所的直線也是等腰三角形的對(duì)稱軸．[師]們說(shuō)的是同一條直線嗎？大家來(lái)動(dòng)手折疊、觀察．[生齊聲]它是同一條直線．[師]好．現(xiàn)在同學(xué)們來(lái)歸納等腰三角形的性質(zhì)．[生]沿等腰三角形的頂角的平分線對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．[師]好，大家看屏幕．（演示課件）等腰三角形的性質(zhì)：．等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫“等邊對(duì)等角”．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線底邊的高互相重合（通常稱作三合一”[師]上面折疊的過(guò)程獲得啟發(fā)，我們可以通過(guò)作出等腰三角形的對(duì)稱軸，得到兩個(gè)全等的三角形而用三角形的等來(lái)證明這些性質(zhì)學(xué)們現(xiàn)在就動(dòng)手來(lái)寫出這些證明過(guò)程（投影儀演示學(xué)生證明過(guò)程）[生甲]如右圖，eq\o\ac(△,)中AB=AC，作底邊BC的中線AD，因?yàn)?/p>

A

,CDAD

B

DC所eq\o\ac(△,)BAD△CAD所以∠∠．[生乙]如右圖，eq\o\ac(△,)中，AB=AC作頂角∠的平分線，因?yàn)锳CCADAD所eq\o\ac(△,)BAD△CAD

B

ADC

所以BD=CD∠BDA=∠CDA=

∠．[師]好，甲、乙兩同學(xué)給出了等腰三角形兩個(gè)性質(zhì)的證明，過(guò)程也寫得很條理、很規(guī)范．下面我們來(lái)看大屏幕．（演示課件）[例如圖，eq\o\ac(△,)ABC中AB=ACDAC上BD=BC=AD

A求：ABC各的度數(shù)．[師]學(xué)們先思考一下，我們?cè)賮?lái)分析這個(gè)題．[生]根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，我們可得到∠∠ABD，∠ABC=∠，

B

DC再由∠∠∠可得到∠∠∠A再由三角形內(nèi)角和為，就可eq\o\ac(△,)ABC的個(gè)內(nèi)角．[師]位同學(xué)分析得很好，對(duì)我們以前學(xué)過(guò)的定理也很熟悉．如果我們?cè)诮獾倪^(guò)程中把∠A設(shè)為x的，那么、∠可以用來(lái)表示，這樣過(guò)程就更簡(jiǎn)捷．（課件演示）[例]為AB=AC，BD=BC=AD所以∠∠C=∠BDC．∠∠ABD（等邊對(duì)等角設(shè)，則BDC=∠ABD=2x，從而∠∠C=∠BDC=2x于是eq\o\ac(△,)ABC中有∠∠∠，解得x=36°eq\o\ac(△,)ABC，∠A=35°∠ABC=∠C=72°[師]面我們通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本練習(xí)、、．練習(xí)．如，在下列等三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù)．36120(1)(2)答案）（22.如圖eq\o\ac(△,)ABC是腰直角三角AB=AC，∠BAC=90°是邊BC上高，標(biāo)出∠、∠C∠、∠DAC度數(shù)，圖中有哪些相等線段？

ABDC答案：∠∠C=BAD=∠；AB=AC．如圖，eq\o\ac(△,)ABC，，BAD=26°，∠和∠的數(shù)．答：∠，∠C=38.5°．（二）閱讀課，然后小結(jié)．Ⅳ．課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)對(duì)質(zhì)作了簡(jiǎn)單的應(yīng)用腰角形是軸對(duì)稱圖形，它的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角三角形的對(duì)稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．我們通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應(yīng)用它們．Ⅴ．課后作業(yè)（一）習(xí)題第、3、4．（二）1．預(yù)習(xí)課本．．預(yù)習(xí)提綱：等腰三角形的判定．

AⅥ．活動(dòng)與探究如圖，eq\o\ac(△,)ABC中過(guò)C作BAC的分線AD的線，垂

B

D

C足為D∥AB交AC于E求證：AE=CE

過(guò)程：通過(guò)分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解全等三角形的性質(zhì)和判定等腰角形的性質(zhì)．結(jié)果：證明：延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，圖，eq\o\ac(△,)ADPeq\o\ac(△,)ADC中,

ADC∴△≌ADC．∴∠．又DE∥，∴∠∠．

∴∠4=．∴DE=EC同理可證：AE=DE．∴AE=CE．板書設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)方案作出一個(gè)等腰三角形二、等腰三角形性質(zhì)．等邊對(duì)等角．三線合一三、例題分析四、隨堂練習(xí)五、課時(shí)小結(jié)六、課后作業(yè)備課資料參考練習(xí)．如eq\o\ac(△,果)ABC是軸對(duì)稱圖形，則它對(duì)稱軸一定是（）A某一條邊上的高B某一條邊上的中線C．分一角和這個(gè)角對(duì)邊的直線D．某一個(gè)角的平分線．等腰三角形的一個(gè)外角是100°，的頂角的度數(shù)是（）AB．和20°D．或答案：1C．已知等腰三角形的腰長(zhǎng)比底邊多2，并且它的周長(zhǎng)為cm．求這個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)．解：設(shè)三角形的底邊長(zhǎng)為xcm，則其腰長(zhǎng)為（x+2cm根據(jù)題意，得（）+x=16解得x=4所以，等腰三角形的三邊長(zhǎng)為4cm、和6．15.2.2分的減教學(xué)目標(biāo)明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn).重點(diǎn)難點(diǎn)．重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)．難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)．認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法教師強(qiáng)調(diào)進(jìn)行分式混合運(yùn)算時(shí)注意運(yùn)算順序在沒(méi)有括號(hào)的情況下按從左到右的方向，先乘方，再乘除