考點(diǎn)16特殊的平行四邊形-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)與題型全歸納（全國通用）（解析版）

考點(diǎn)16特殊的平行四邊形

命題趨勢

本考點(diǎn)內(nèi)容是考查重點(diǎn)，年年都會考查，分值為15分左右，預(yù)計2022年各地中考還將出現(xiàn)，并且在

選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長度問題的可能性比較大。解答題中考查特殊四

邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大。

對于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用。

知識梳理

1.矩形的性質(zhì):

1)四個角都是直角；2）對角線相等且互相平分；3）面積=長＞＜寬=2SAAZ?=4SAAOB.（如圖）

2.矩形的判定:

I)定義法：有一個角是直角的平行四邊形；2）有三個角是直角；3）對角線相等的平行四邊形.

3.菱形的性質(zhì):

1)四邊相等；2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角；3）面積=底、高=對角線乘積的一半.

4.菱形的判定:

1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；2）對角線互相垂直的平行四邊形；3）四條邊都相等的四邊形.

5.正方形的性質(zhì):

1）四條邊都相等，四個角都是直角；2）對角線相等且互相垂直平分；3）面積=邊長又邊長=25.。=45■。8.

6.正方形的判定:

1)定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；2）一組鄰邊相等的矩形:

3)一個角是直角的菱形；4）對角線相等且互相垂直、平分.

7、特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系

⑦

（5）相鄰兩邊相等；（6）有一個角是直角，相鄰兩邊相等；（7）四邊相等；（8）有三個角都是直角.

8、中點(diǎn)四邊形

1）任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.

2）對角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.

3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.

4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.

重點(diǎn)考向

考向1矩形的性質(zhì)

1.矩形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有自己單獨(dú)的性質(zhì)，即：矩形的四個角都是直角；矩形的

對角線相等.

2.利用矩形的性質(zhì)可以推出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一

半.

典例引領(lǐng)

1.（2021?廣西貴港市?中考真題）如圖，在矩形N8CD中，80是對角線，AEDBD,垂足為E,連接CE,

若tanZADB則tan^OEC的值是

2

【分析】過點(diǎn)。作于點(diǎn)/，易證A48E三△CDE(AAS),從而可求出AE=CF,BE=FD，

設(shè)/8=a,則4)=2°,根據(jù)三角形的面積可求出NE,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)于點(diǎn)尸，設(shè)CD=2a,

NAEB=NCFD

在AABE與八。/7中，“NABEM/COR,..A48E=ACO尸(MS),「.他二仃，BE=FD，

AB=CD

AB1

?/AE±BD,tanADB==—,設(shè)/8=〃，則4)=2。，BD=舊a,

AD2

sABD=LBDTE=LAB?AD,/￡=CF=&1“，BE=FD=1a,

2255

是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?遼寧中考真題)如圖，在矩形A8CD中，連接BO,將△3CD沿對角線3。折疊得到△山出,BE

交AZ)于點(diǎn)O，3E恰好平分NABZ)，若A8=2百，則點(diǎn)。到3。的距離為()

3

A.百B.2C.D.3

【答案】B

【分析1如圖，過點(diǎn)。作OFBD于F,可得OF為點(diǎn)。到BD的距離，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得1/=14BC=90。，

根據(jù)折疊性質(zhì)可得EBACBD,根據(jù)角平分線的定義可得"0=EBD,即可得出/8。=30。，根據(jù)角平

分線的性質(zhì)可得OA=OF,利用ABO的正切值求出OA的值即可得答案.

【詳解】如圖，過點(diǎn)。作。尸8。于尸，。尸為點(diǎn)。到BO的距離，

□四邊形/BCD是矩形，口口公口居小為。，

將△3CD沿對角線5。折疊得到BDE,EBD=CBD,

砥恰好平分NABZ），ABO=EBD,OA=OF,EBD=CBAABO,.480=30。，

AB=26，OF=OA=AB-Xan?>Q0=2,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，熟記特

殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

3.（2021?浙江金華市?中考真題）已知：如圖，矩形ABCO的對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，

NBOC=120°,AB=2.

（1）求矩形對角線的長.（2）過。作于點(diǎn)E,連結(jié)8E.記NABE=a,求tane的值.

【答案】（1）4；（2）也

2

【分析】⑴根據(jù)矩形對角線的性質(zhì)，得出A/BO是等腰三角形，且/8OC=120。，即408=60。，則△/8O

為等邊三角形，即可求得對角線的長;（2）首先根據(jù)勾股定理求出再由矩形的對角線的性質(zhì)得出OA=OD,

且則在中即可求得tana.

2

【詳解】解：（1）???四邊形ABCD是矩形

AC=BD,OA^OC=-AC,OB=OD^-BD,:.OA=OC=OB=OD

22

ZBOC=120°,ZAOB=60°..^AOB是等邊三角形，

；.OB=AB=2,所以AC=3￡>=2QB=4.故答案為：4.

（2）在矩形ABCD中，N84D=90°.：.AD￡Blf-AB2=>^^=26由（1）得，OA=OD.

又?.?0七，4。..4￡=，4。=百在向八45￡中，tana=4^=@.故答案為：—.

2AB22

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的對角線性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一以及在直角三角形中

求銳角正切的知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用矩形對角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2021?湖南中考真題）如圖，在矩形A5CO中，已知AB=6,NOBC=30°,求AC的長.

【答案】12.

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD=AB=6,AC=%）,/BCD=90°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得

BD=2CD=12,由此即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形ABC。是矩形，AB=6,

：.CD=AB=6,AC=BD,/BCD=90°,

?:在RSBCD中,/DBC=30。,:.BD=2CD=\2,AC=BD=12.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2021?遼寧中考真題）如圖，在矩形ABCO中，連接80，過點(diǎn)C作/DBC平分線座的垂線，垂足

為點(diǎn)￡,且交BO于點(diǎn)八過點(diǎn)C作NBDC平分線?！钡拇咕€，垂足為點(diǎn)〃，且交BD于點(diǎn)G,連接“E，

若BC=2及，CD=垃,則線段"E的長度為.

【答案】還泮

【分析】先證明△BE&AB￡尸，可得CE=FE,BF=BC=2V2.同理：CH=GH,0G=。。=夜，從而

得HE=gGF,再利用勾股定理得而，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：BE平分DBC,CBE=FBE,UCFBE,BEC=BEF=90°,

又BE=BE,ABECQABEF,CE=FE,BF-BC=272

同理：CH=GH,DG=CD=桓,HE是ACGE的中位線,HE=*iF,

在矩形ABC。中，BC=2叵，CO=&，BD^BC'CD。=屈'

GF=BF+DG-BD=3叵一M，HE=^—^~.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，推出HE是ACG/

的中位線，是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?湖北荊州市?中考真題）在矩形ABC。中，AB=2，AD=4,F是對角線AC上不與點(diǎn)A,C

重合的一點(diǎn)，過F作于E，將AAE尸沿EF翻折得到△GE/"點(diǎn)G在射線AO上，連接CG.

（1）如圖1,若點(diǎn)A的對稱點(diǎn)G落在上，ZFGC=90°,延長G尸交AB于“，連接C”.

①求證：△CDGSAGAH；②求tanNGHC.（2）如圖2,若點(diǎn)A的對稱點(diǎn)G落在AO延長線上，

圖1圖2

2

【答案】（1）①見解析；②§；（2）不全等，理由見解析

【分析】（1）①先根據(jù)同角的余角相等得出/DCG=//G〃，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可得出

結(jié)論；

EFCD21

②設(shè)EF=x,先證得A/EF-6.ADC,得出----=-----=—=—,再結(jié)合折疊的性質(zhì)得出AE=EG=2x,

AEAD42

AG=4x,/省2EF=2x,再由ASG?△GZ”,得出比例式旭=￡乜=空，求出EF的長，從而得出四

DCDGCGCG

ApAf

的值，即可得出答案；（2）先根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似得出△月￡尸~"CG,得出比例式——-------,

ACAG

得出EQ*,AE=-,AF=-j5,從而判定AGCF與AAEE是否全等.

424

［詳解】（1）①在矩形ABCD中，ZBAD=ZD=90°：.ZDCG+ZDGC=90°

又：ZFGC=90°.,.ZAGH+ZDGC=9Q°：.4DCG=NAGH：.ACDG~xGAH

②設(shè)EF=x'：44EF沿EF折疊得到△GEE.XEuEG

,：EFYAD：.AAEF=90°=ZD：.EFUCDUAB：./\AEF-AADC

.EFAE.EFCD2

=—:.AE=EG=2x：.AG=4x

"CD-AD*'AFID72

EFEG1

?；AE=EG,EFUAB：.-------=-：.AH=2EF=2x

AHAG2

AGAHHG4x2xHG34x3HG

:△COG?LGAH：.

DCDGCG24-4xCG422CG

CG2

,/ZFCG=90°：.tanZGHC==_

HG3

（2）不全等理由如下：在矩形中，AC=JAB?+AD2=五+4?=2小

由②可知：4E=2EF：.AF7AE2+EF?=逐EF由折疊可知,AG=2AE=4EF,AF=GF

AFAp

ZAEF=ZGCFZFAE=ZGAC：./\AEF-LACG：.——=——

fACAG

—廣=更-EF=—'.AE=—,AF--'JiFC=AC-AF=2J5-—>/5=—>/5

2V5442444

:.AE豐FC,EF豐Fd全等

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，得出NE=2EF

是解題的關(guān)鍵.

考向2矩形的判定

1.矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形.

典例引領(lǐng)

1.（2021?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，在不添

加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使平行四邊形A6C0是矩形..

【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可得出答案.

【詳解】解：匚四邊形為平行四邊形，

:當(dāng)NABC=90。時，四邊形488為矩形.故答案為：ZABC=90°.

【點(diǎn)睛】本題考杳了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，點(diǎn)C是的的中點(diǎn)，四邊形ABCO是平行四邊形.

（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果A6=AE，求證：四邊形ACEO是矩形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)C是8E的中點(diǎn)，得到Z￡>〃CE,AD=CE,從而證明四邊形

是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得。C=N￡,從而證明平行四邊形"CEO是矩形.

【詳解】證明：（1）???四邊形48CD是平行四邊形，且Z￡）=8C.

:點(diǎn)C是8E的中點(diǎn)，：.BC=CE,：.AD=CE,

?.?/￡>〃CE,.?.四邊形ZCEO是平行四邊形；

（2）?.?四邊形/8co是平行四邊形，.?.48=。。，\"AB=AE,：.DC=AE,

'：四邊形ACED是平行四邊形，四邊形ACED是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2021?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）如圖，已知AB±BC,4J=3,點(diǎn)E為射線8c上一個動

點(diǎn)，連接AE，將/VIBE沿AE折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)9處，過點(diǎn)？作AO的垂線，分別交AD，BC于M,

N兩點(diǎn)，當(dāng)B'為線段MN的三等分點(diǎn)時，3E的長為（）

C.|或|逝D.）應(yīng)或》非

25

【答案】D

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)夕為線段MN的三等分點(diǎn)，沒有指明線段ZTM的占比情況，所以需要分兩種情況討論:

1?

B'M=—MN；B'M=—MN.然后由一線三垂直模型可證AAMB'AB'NE,再根據(jù)相似三角

33

形的性質(zhì)求得EN的值，最后由BE=BN—EN即可求得3E的長.

【詳解】當(dāng)點(diǎn)B'為線段MN的三等分點(diǎn)時，需要分兩種情況討論:

二如圖1,當(dāng)時，ADBC,AB±BC.MN1BC,

3

四邊形ABNM為矩形，B'MB'N2MN=乙AB=2,BN=AM.

3333

由折疊的性質(zhì)可得A'B=AB=3,ZAB'E^ZABC=90°.

在必△回"中,AM=\lAB2-B'M2=V32-12=272-

ZAB'M+ZMAB'^90°,ZAB'M+NEB'N=90。,NEB'N=NMAB\

ENB'NEN2J?

AB,NEAAMB'，——=——，即解得EN=2,

B,MAM12V22

BE=BN-EN=2y[2=-

22

2

如圖2,當(dāng)B'M=—MN時,ADBC,ABLBC,MN±BC，四邊形A8NM為矩形，

3

B，M=ZMN=^AB=2,B，N==MN=LAB=1,BN=AM.

3333

由折疊的性質(zhì)可得AB'=AB=3,Z/W'E=ZABC=90°.

在中，AM=\JAB'2-B'M2=A/32-22=75-

ZAB'M+ZMAB'^90°,ZAB'M+NEB'N=90。,/EB'N=ZMAB',

ENB,NEN1?x/5

△B'NE△AMS'，即—=-7=.解得EN=￡2,

BMAM2，55

BE=BN-EN=>/5-^-=--綜上所述，BE的長為馴2或述.故選：D.

5525

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由8'為線段MN的三等分點(diǎn)，分

兩種情況討論線段5'M的占比情況，以及利用K型相似進(jìn)行相關(guān)計算是解決此題的關(guān)鍵.

2.（2021?黑龍江大慶市?中考真題）如圖，在平行四邊形A8CO中，45=3,點(diǎn)E為線段A3的三等分點(diǎn)

（靠近點(diǎn)A）,點(diǎn)尸為線段CO的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C,且CE_LAB.將ABCE沿CE對折，BC邊與AD

邊交于點(diǎn)G,且OC=OG.

（1）證明：四邊形AECE為矩形；（2）求四邊形AECG的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）工

4

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB〃CD,AB=CD,根據(jù)題意三等分點(diǎn)可得AE=C產(chǎn)，根據(jù)

對邊平行且相等得到四邊形AECR為平行四邊形，再根據(jù)一個角為90。的平行四邊形是矩形即可得證；

（2）根據(jù)角度關(guān)系可得是等邊三角形，AB/C是等邊三角形，利用割補(bǔ)法即可求出面積.

【詳解】解：（1）???四邊形/8CD是平行四邊形，；.AB〃C￡＞，AB=CD,

?.?點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,點(diǎn)尸為線段CO的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C）,

AAE=-AB,CF=-CD,,AE=b，二四邊形AECT為平行四邊形，

33

：CE1AB,：.四邊形AECF為矩形；

（2）?.?AB=3,點(diǎn)E為線段A8的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,=BE=2,

,將ABCE沿CE對折，BC邊與邊交于點(diǎn)G，???8￡=23E=4,/B=/B'，

,:DC=DG，AZDGC=ZDCG,

■:AB//CD,:.NB'=ZDCG,ZB'AG=ZD=ZB=ZB',

：.ZB'AG=ZB'ZB'GA,；.A/TAG是等邊三角形，A/T8c是等邊三角形，

作B'HL4G于H,：.B'H=@AB'=@,CE=—BC=2y/3,

222

?c_cC_1O91V3._75/3

X

,*SAECG-SACEB'-^^GAB'-2X2-5XX1-2—,

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定、割補(bǔ)法求面積、解直角三角形，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

考向3菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，具有自己單獨(dú)的性質(zhì)，即：菱形的四條邊都相等;

菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

典例引領(lǐng)

1.（2021?河南中考真題）關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不用砸的是（）

A.四條邊相等B.對角線相等C.對角線互相垂直D.是軸對稱圖形

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：/、菱形的四條邊都相等，/選項(xiàng)正確，不符合題意；

8、菱形的對角線不一定相等，8選項(xiàng)錯誤，符合題意；

C、菱形的對角線互相垂直，。選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、菱形是軸對稱圖形，。選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對菱形的性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)解答.

2.（2021?海南中考真題）如圖，在菱形ABCO中，點(diǎn)E、F分別是邊3C、8的中點(diǎn)，連接

AE、AF.EF.若菱形ABC。的面積為8,則AAM的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】連接AC,班＞,相交于點(diǎn)O,AC交所于點(diǎn)G,先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得

AC±BD,OA^OC,-ACBD^8,再根據(jù)三角形中位線定理可得EF〃即,七/=,比）,然后根據(jù)相似

22

三角形的判定與性質(zhì)可得=J=-，從而可得AG=3AC,最后利用三角形的面積公式即可得.

OCCD24

【詳解】解：如圖，連接AC,8。，相交于點(diǎn)。，AC交EF于點(diǎn)、G，

?.?四邊形A8CD是菱形，且它的面積為8,.?.AC，6Q,OA=OC,LAC-BO=8,

2

?.?點(diǎn)區(qū)F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)、，：.EF〃BD,EF=LBD,CF=LCD,

22

「r~<iii2

EF_LAC,i￡JFG~42DO>=-----=―>CG—OC—AC,AG—AC,

OCCD2244

11133

則△入￡尸的面枳為一E/JAG=—x—BZ>‘AC=2X8=3,故選：B.

22248

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握菱形

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2021?遼寧大連市?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，N8AO=60。，點(diǎn)E在邊BC上，將ZXABE沿

直線AE翻折180°,得到AAB'E，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'若河上BD,BE=2,則BB'的長是.

【答案】2垃

【分析】由題意易得NABD=60°,ZABE=120°,則有NR4?=30°,進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

NBAE=NEAB'=15。，BE=B'E=2,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NBE4=N8'E4=45°，最后根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，AB=AD,AD//BC,

Z&4D=60°,ZABE=nO°,△A3。是等邊三角形，即NA8￡>=60°,

AB'±BD，ZBAB'=30°,

由折疊的性質(zhì)可得N8AE=N￡4B'=15°，BE=B'E=2,/BEA=ZB'EA，

在△BE4中，由三角形內(nèi)角和可得NBE4=45°,/BE4=NB'E4=45°，即N3￡3'=90°,

ABEB'是等腰宜角三角形，BB'=y/2BE=2A/2；故答案為

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)、

折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2021?廣西柳州市?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=8,BD=10,則"0。的面積為

（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】菱形的對角線互相垂直平分，故"0￡）的面積為對角線的一半的乘積的5.

2

（詳解】ABCD是菱形AC1BD,AO=OC,BO=OD

△AOD的面積=,4。'。。=!乂！4。義工6。=1*'*8*,*10=10故選13.

2222222

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及三角形面積，理解八40。是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（202卜四川眉山市?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=AC=10,對角線AC、8。相交于點(diǎn)。,

點(diǎn)〃在線段AC上，且AM=3,點(diǎn)P為線段8。上的一個動點(diǎn)，則的最小值是.

【答案】W

【分析】過M點(diǎn)作MH垂直BC于〃點(diǎn)，與。的交點(diǎn)為尸點(diǎn)，此時+的長度最小為再算

出A/C的長度，在直角三角形MPC中利用三角函數(shù)即可解得

【詳解】過M點(diǎn)作M〃垂直8c于，點(diǎn)，與的交點(diǎn)為尸點(diǎn)，此時的長度最小

2

?.?菱形ABCD中，AB=AC=10：.AB=BC=AC=\Q,MBC為等邊三角形

:.NPBC=30°,/4C8=60°.?.在直角中，ZPBH=3>0°：.PH=-PB

2

此時MP+-PB得到最小值，MP+-PB=MP+PH=MH

22

7

■：AC=\0,AM=3,：.MC=7XZMPC=60°：.MH=MCsin60°=-A/3故答案為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時的P點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

考向4菱形的判定

菱形的判定：四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

典例引領(lǐng)

1.（2021?湖南中考真題）如圖，已知四邊形ABCO是平行四邊形，從①A5=AT>,②AC=BO,③

NABC=NA。。中選擇一個作為條件，補(bǔ)充后使四邊形ABC。成為菱形，則其選擇是—（限填序號）.

【答案】①

【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：①A6=AD時，平行四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

②AC=3。時，平行四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；

③由平行四邊形的性質(zhì)可知，ZABC=ZADC,則不能作為構(gòu)成菱形的條件；故答案為：①.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵.

2.（2021?湖南衡陽市?中考真題）如圖，矩形紙片48。￡>,43=4,5。=8,點(diǎn)/、7分別在矩形的邊4。、

5c上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊上，記為點(diǎn)P,點(diǎn)。落在G處，連接PC,

交MN于點(diǎn)0,連接CM.下列結(jié)論:①四邊形CMPN是菱形;②點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時，MN=5；③APQM

的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

BNC

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，證明出NPMN=NP/VM,=通過等量代換，得到PM=CM

則由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到結(jié)論正確；用勾股定理CN=5,CQ=；AC=2后，由菱形的

性質(zhì)對角線互相垂直，再用勾股定理求出MN=2QN=26；當(dāng)MN過點(diǎn)。時，最小面積

S=；S菱形CMPS=；x4x4=4，當(dāng)尸點(diǎn)與4點(diǎn)重合時，S最大為S=；x5x4=5,得出答案?

【詳解】解：①如圖1,

PMPCN,：.4PMN=ZM/VC,；折疊，,ZMNC=ZPNM,NC=NP

:.NPMN=/PNM,；.PM=PN,：.PM=CN,：.MP〃CN,：.四邊形CNPM為平行西邊形,

???CN=NP,...平行四邊形CNPM為菱形，故①正確，符合題意；

②當(dāng)點(diǎn)尸與“重合時，如圖2所示

設(shè)BN=x,則？W=MC=8—x,在Rf^ABN中,AB2+BN2=AN2.

即4?+/=（8-幻2,解得：x=3,二CN=5,AC=y/AB2+BC2=4>/5.，CQ=；AC=2石，

又???四邊形CNPM為菱形，ACJ_MN,旦MN=2QN,：.QN=^CN2-CQr=75

MN=2QN=275,故②錯誤，不符合題意.

③當(dāng)MN過點(diǎn)。時，如圖3所示：

(M)

圖3

此時，CN最短,四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S=；S菱形CMPS=；X4X4=4,

當(dāng)尸點(diǎn)與2點(diǎn)重合時，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S='x5x4=5,

4

.,.4<5<5,故③正確，符合題意.故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、折疊問題、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理

與性質(zhì)定理、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2021?廣西賀州市?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,NC=90°,

/ADB=/ABD=2NBDC,DE交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作￡F_L3D,垂足為尸，且EF=EC.

2

（1）求證：四邊形A8E。是菱形；（2）若A￡>=4,求△3。的面積.

【答案】（1）見解析；（2）473

【分析】（1）先利用角平分線判定定理證得N1=N2,再由已知角的等量關(guān)系推出NABD=N1，并可得

AB//DE.則可證明四邊形ABED是平行四邊形，最后由NAQ8=乙鉆。得/W=A0，即可證得結(jié)論;

（2）由菱形的性質(zhì)可得DE=8E=AD=4,再根據(jù)角的等量關(guān)系求出N2=30。，則可利用三角函數(shù)求

得CO=￡>E?cos30。=273，此題得解.

【詳解】（1）證明：如圖，

ZC=90°.EC上DC，又EF上BD,且EF=EC,DE為N8DC的角平分線，N1=N2,

ZADB=-ZBDC,ZADB=AZADB=ZABD，ZABD^Zl,AB//DE、

2

又AD/IBC,四邊形ABED是平行四邊形，

ZADB=ZABD，AB=AD-四邊形A5a5是菱形.

（2）解：由（1）得四邊形A6E。是菱形，DE=BE=AD=4,

AD/IBC,ZC=90°,ZAZ）C=90°,

又N1=N2=ZADB,Z2=30°,CD=OE-cos300=20，

SMFD=-B^-CD=-X4X2A/3=4V3.

△"""22

【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2021?北京中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)瓦廠分別在BC,AZ>上，AF=EC.只需添加一個

條件即可證明四邊形AEC戶是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

【答案】AF^AE（答案不唯一）

【分析】由題意易得四邊形AECE是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定定理可進(jìn)行求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

AF=EC,：.四邊形AECF是平行四邊形，

若要添加一-個條件使其為菱形，則可添加=或/E=CE或CE=b或/尸=。尸，理由：一組鄰邊相等

的平行四邊形是菱形；故答案為4F=AE（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定定理、矩

形的性質(zhì)及平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?山東淄博市?中考真題）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABC。，如圖所示.若Na=3O。，

則對角線8。上的動點(diǎn)P到A5,C三點(diǎn)距離之和的最小值是.

【答案】60cm

【分析】由題意易得四邊形A5CD是菱形，過點(diǎn)。作QEISC于點(diǎn)E,連接/C,交8。于點(diǎn)O,易得

5c=8=6cm,CE=3Gcm，然后根據(jù)勾股定理可得6。=（3痣+3夜,貝ij

BO=3#+3指cm.tanZABD=tanNCBD=2—6，進(jìn)而可得AO=3瓜-3叵cm,要使

22

PA+PC+PB為最小，即2PA+PB的值為最小，則可過點(diǎn)4作AMAP,且使ZAMP=30°,連接BM,

最后根據(jù)“胡不歸”問題可求解.

【詳解】解：紙條的對邊平行，即AO〃8cA8〃C￡>,四邊形A8CO是平行四邊形，

兩張紙條的寬度都為3cm,5四邊形ABS=A3X3=8CX3,AB=BC，四邊形ABC。是菱形，

過點(diǎn)。作OE8C于點(diǎn)E,連接ZC,交8。于點(diǎn)O,如圖所示：

BO=DO=-BD,AO=OC,AC1BD,AP=PC，PA+PC+PB=2PA+PB,

2

NDCE=30。，DE=3cm,BC=CD=2DE=6cm,CE=(CD2-DE?=3百cm,

BE=(6+3x/3)cm,BD=BE2+DE2=(376+372)cm,

3V6+3V2cmtanZABO=tanNC6O="=2-5

2BE

3娓一3五cm，

A0=BO-tanZABD

2

過點(diǎn)力作4MAP,且使NAWP=30°，連接如圖所示：

MP=2AP，要使2AP+P5的值為最小，則需滿足P3+PM為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得:

PB+PM2BM，所以當(dāng)8、P、M三點(diǎn)共線時，PB+PM取最小,即為的長，如圖所示：

0M=6A0=9應(yīng)-3#加，BM=BO+OM=60cm，

2

2AP+PB的最小值為6j5cm，即AP+PC+P8的最小值為6j5cm；故答案為6岳m(xù).

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30。直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不

歸'’原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

3.（2021?四川遂寧市?中考真題）如圖，在平行四邊形/8CO中，對角線ZC與83相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。的

直線￡尸與A4、。。的延長線分別交于點(diǎn)E、F.（1）求證：AE=CF；⑵請再添加一個條件，使四邊形

BFDE是菱形,并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）EFLBD或EB=ED,見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明YAOE/eOF,則可得到/E=CF；

（2）連接8尸，DE,由NAOEmCOF,得到OE=OF,又AO=CO,所以四邊形AECF是平行四邊形,

則根據(jù)EF±BD可得四邊形BFDE是菱形.

【詳解】證明：（1）?.?四邊形A8CO是平行四邊形二。!：。。，BE//DF：.^E=^F

NE=NF

在zUOE和△。。尸中＜ZAOE=ZCOF；.NAOE^VCOF(AAS)：,AE=CF

OA=OC

(2)當(dāng)EFL8Z)時，四邊形BEDE是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)8F,DE

■：四邊形ABCD是平行四邊形??.OBn。。

?；NAOE密COF：.OE=OF：.四邊形B/7)E是平行四邊形

?JEFVBD,四邊形是菱形

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識點(diǎn)，熟悉相關(guān)

性質(zhì)，能全等三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

考向5正方形的性質(zhì)

正方形的性質(zhì)=矩形的性質(zhì)+菱形的性質(zhì).

典例引領(lǐng)

1.(2021?江蘇泰州市?中考真題)如圖,P為/8上任意一點(diǎn),分別以/P、PB為邊在AB同側(cè)作正方形/PCD、

正方形PBEE設(shè)NCB￡=c,則“T5為()

A.2?B.90°-aC.45°+aD.90°-—a

2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得&4/^='CBP(SAS),從而乙例P=/CBP=90°-a即可.

【詳解】四邊形和四邊形P8E尸是正方形,

AP=CP,PF=PB,AAPF=/BPF="BE=90°，MFP=XCBPlSAS）,AFP=CBP,

又\NCBE=a,4AFP=4CBP=4PBE-4CBE=琳一a,取選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定

方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?海南中考真題）如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)￡不與點(diǎn)5、C重合,

點(diǎn)尸是B4的延長線上一點(diǎn)，且AF=C￡.

（1）求證：ADCE%DAF；（2）如圖2,連接EF，交AO于點(diǎn)K,過點(diǎn)。作。HLER,垂足為，,

延長DH交BF于點(diǎn)G,連接①求證：HD=HB;②若。K”C=0，求HE的長.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②HE=1.

【分析】（1）直接根據(jù)SAS證明即可；（2）①根據(jù)（1）中結(jié)果及題意，證明為等腰直角三角形,

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線即可證明②根據(jù)已知條件，先證明△￡>?/也^BCH,再證明

△DKFS&HEC，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出"E的長.

【詳解】（1）證明：?.?四邊形ABC。是正方形，...8=A。，ZDCE=ZDAF=90°.

又,：CE=AF,:.￡,DCE=^DAF.

（2）①證明；由（I）得ADCE'DAF,DE=DF,ZCDE=ZADF.

ZFDE=ZADF+ZADE=ZCDE+ZADE=ZADC=90°.:.^DFE為等腰直角三角形.

又〈DH工EF，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)、..,.HD=、EF.

2

同理，由是RtZ\E8尸斜邊上的中線得，HB=-EF.:.HD=HB.

2

②..?四邊形ABC。是正方形，.?.C￡>=CB.

又?.■"。="氏CH=CH,.FDCH/ABCH.:"DCH=4CH=45。.

又rADEF為等腰直角三角形，：.NDFE=45°.；.NHCE=NDFK.

???四邊形A88是正方形，，4。//3c..=

:ADKFSAHEC.：.——=——.DKHC=DFHE.

HEHC

又?.?在等腰直角三角形0/77中，DF=y/2HF=y/2HE

:.DKHC=DFHE=41HE2=41-:.HE=L

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形

斜邊上的中線以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知圖形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2021?湖北中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E為對角線AC上與4C不重合的一個

動點(diǎn)，過點(diǎn)￡作所，于點(diǎn)尸，EGLBC于點(diǎn)、G,連接DE,/G.下列結(jié)論：

B

□DE=FG；n￡>EAFG；QZBFG=ZADE；口房的最小值為3.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】延長OE，交FG于點(diǎn)、N,交A5于點(diǎn)M，連接5E,交尸G于點(diǎn)。，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三

角形全等的判定定理與性質(zhì)得出。E=5E,再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得3E=FG,由此可判斷U；先

根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得NABE=Z4DE，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB=OF,然后根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)可得NB產(chǎn)G=NA3E,由此可判斷；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NA￡）E+N/M>=90°,從而可

得NBFG+NAW=90°