北師大量子力學(xué)期末試題

考研廿業(yè)譚研發(fā)中心考研廿業(yè)譚研發(fā)中心316316考研專處課研發(fā)中心《號(hào)研專山深島分資之明木心第四模塊期末試題北京師范大學(xué)量子力學(xué)導(dǎo)論期末考試樣卷一、（20分）已知氯原子在/=0時(shí)處于狀態(tài)1fl)2⑼J2濟(jì)1,,0):5科。?)0卜］爾以J+彳弘(幻其中，紇（X）為該第原子的第，個(gè)健鼠本征態(tài).求能址及自旋Z分盤的取值概率與平均值，寫出/>0時(shí)的波函數(shù).解已知?dú)湓拥谋菊魑粸?,1二--“2方2n(2)將/=0時(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式(2)"(蟲0)=利用歸一化條處；02（.V）+辛科（X；02（.V）+辛科（X）JJ十是，歸一化后的波函數(shù)為獷6,0)=*久⑴-|。；3Wf注詁的可能取位為E\,E?,E、,相成的取值幾率為(3)(4)4/、17(5)?.,0）=.一%,0）=］卅（￡"0）=亍能量平均值為(5)r417E(0)=產(chǎn)+產(chǎn)2+產(chǎn)=411121-X-+-X—+-X-717479161/ze

^04A7(6)味=g,0李卜(7)自旋161/ze

^04A7(6)味=g,0李卜(7)自旋z分量的平均值為.」727力、2.」727力、2）方=14（8）z>0時(shí)的波函數(shù)w(xj)=卜(x)exp一2+J%(x)exp-2,(.r)exp一泊二（20分）質(zhì)量為，〃的粒子在如卜維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)（匕>0）?）」第.w(xj)=卜(x)exp一2+J%(x)exp-2,(.r)exp一泊二（20分）質(zhì)量為，〃的粒子在如卜維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)（匕>0）?）」第.［。，若已知該粒子在此勢(shì)新中仃一個(gè)能量￡=--的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度a。2解對(duì)于一/<E<0的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為1%(9=。i//2(x)=Jsin(Ax+<5)y/5(x)=/?cxp(-av)其中,、歷"(E+乙)再相?a=hh利川波函數(shù)再x=0處的連接條件如，8=〃萬(wàn)?〃二°,1,2,,一。在％處,利用波函數(shù)及乂?階導(dǎo)數(shù)近續(xù)的條件%（〃）=%GO

畫（。）=%（。）(9)<1)<2)（3）616616考研七鐘讀始發(fā)中心1616與林?W區(qū)的發(fā)中心（考蝌。業(yè)課內(nèi)分資之期未必得到(4)/sin(而+〃期)=3exp(-a〃)Akcos(kr+nn)=-Baexp(-aa)(4)(6)(5)(7)(7)nn--(〃=1,2,3,???)4最后得到勢(shì)阱的寬度1)nAn4J三、（20分）證明如下關(guān)系式AAAA（1）任意角動(dòng)量亢符，滿足jxj=\ty.證明對(duì)X分量仃同理可知,對(duì)y與z分量亦有相應(yīng)的"果,故欲證之式成正?投影算符人是一個(gè)厄米”符，其中，｛〃）｝是任意正交用的完備本征函數(shù)系?證明在任意的兩個(gè)狀態(tài),〉與?！抵贤队八惴钡闹膬簽檠队八惴钡墓矖邓惴麉^(qū)的矩陣人為例比1。）=例幻伊"[?九M]'=｛伽叫〃M『=[（伊|明1（”|加=初叭〃|，顯然，兩齊?的矩M兒是捫同的,由|“〉的任意書川M以邛/苻【也久”行。利用Z＞；(f)%(x)=b(x'-x)證明(也LN%(九)j其中,{%(切}為任意*A正交歸一完備本征函數(shù)系.證明00(坊xL=Jdx"(x)x》M“(x)=-coTOC\o"1-5"\h\z00gJ心3：(X)xJdx5(f-X)瓦”“3=?QQ一8cogfd-W：(x)x\dx3(f-x)無(wú)/(x)=-8-CO800fdx〃：(x)xJdxXW；(x')以(%)?".(x)=.GOAEjdx“：(x)x匕(x)Jdx*(x)。刈(*')=A-qO—8Z%(瓦).k四、(20分)在尸與〃表望中，在軌道角動(dòng)量量子數(shù)/=1的子空間中，分別計(jì)答算符￡,、工與L的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解在z?與心衣象下,當(dāng)軌道用動(dòng)顯吊/數(shù)/=1時(shí),m=i,o,-i?顯然，算符乙、L1j2.?.vy為三雄矩陣.由于在自身表象中，故工是對(duì)珀知陣，且其對(duì)角元為相應(yīng)的本征值，于是有,Uo0、N=ooo⑴<0o-1J相應(yīng)的本征解為??Io考研專業(yè)讀研發(fā)中心(3)(4)(5)((3)(4)(5)(6)4=力；Wi）二00

\/Ol：=o；ln）=1，0、人=一力；1憶）=°對(duì)于算符￡、￡血言，需要用到升附和符，即S泅+0&=泰乙-憶）L.|/〃"=方.（/+1）一/〃（m±】）/,〃】±1：當(dāng)/=1,m=1,0,-1時(shí)，徒然，算符L、L的對(duì)角兀皆為零，并口.（卜伍|1,-M）=o（U|Ljl,-1）=（1,l|4|l,-l>0只有當(dāng)量子數(shù)”相差±1時(shí)矩陣元才不為零，即0）=（1,0|4|1,-1）=（1,o|￡jij）=（ij|4i，o）=-^（1到||1,-1）=0,1同1,0層-2VZ（i,-i|4|i,o^（i,o|Zr|i，0=^于是得到和符。、，、的觸陣形式如卜fo

1lo()、10,ro-i0、0-ii0>(7)￡v滿足的本征方程為816816劣蝸今升沈做”中心相應(yīng)的久期方程為得到三個(gè)不征值分別為將它們分別代⑼本征方程,《考研專業(yè)課育分錢利）之期木做h得到相應(yīng)的本征矢為W1(8)Lx滿足的本征方程為相應(yīng)的久期方程為將比化為得到:個(gè)木征上分別為I=方；將它們分別代同本價(jià)方程,得到相應(yīng)的本征矢為\h-VTih7T=0；\h7T(9)(10)二一力(11)U2)(I3)V—方2丸二0=一力(14)（15）(16)991b號(hào)切壽業(yè)譚研發(fā)中心(17)五、（20分）由兩個(gè)質(zhì)量皆為//、角頻率皆為3的線諧振f構(gòu)成的體系，加上微擾項(xiàng)w=-A4工2（X],X2分別為兩個(gè)線諧振子的坐標(biāo)）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正?提示：線諧振于基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為（WWW）=黑“T+J等心"式中,a=怦.解體系的哈密頓算符為TOC\o"1-5"\h\zH=Hq+IV（1）英中氏4;伉2+P2）+Ji2（x；+￡）2〃2（2）W=-A陽(yáng)32己知。。的解為?。ā?%。n）唳（*/2）=/6機(jī)&）其中名,〃2，〃=0,1,2,???（4）a=1,2,3,…/旃前三個(gè)能量叮波函數(shù)具體。出來(lái)琢=而；％=00（$）%（公）￡：=2方。，丸=%（%加（%）%2=/a）0°（w）⑶E；=3方口,%?=。2G）%（々）%2=化（*）%（%），3=仰&）一（々）對(duì)卜也態(tài)而言,〃1=%=〃=°，4=1,體系無(wú)簡(jiǎn)并。10161016考研’.北由必發(fā)中心研專業(yè)課兩分資料，之期木彪可知利用公式（6）或）=優(yōu)四/”0。=1(7)顯然，求和號(hào)中不為零的矩陣元只有依例的3〉=〈%3|?|匕）=--乙”廣是得到星態(tài)能髭的二級(jí)修正為(8)其中琮-E；4a4笫…激發(fā)態(tài)為：度簡(jiǎn)并.能量級(jí)修正滿足的久期方程為%-碎

匕%=0(10)上式代入（10）式得到修理之，滿足%=%=%:+2=%=。一￡?）0Z缶20-砂Z2一萬(wàn)⑴底？=0（I!）(12)-（靖丫+，￡）=。于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正為朗=-￡；理）=。；M?='a1《考研《考研4業(yè)課防分資料》之期本的12161216專研專業(yè)國(guó)研發(fā)中心II16II16考研方業(yè)廉研發(fā)中心專業(yè)課同分資之JW木心北京師范大學(xué)機(jī)子力學(xué)導(dǎo)論期末考試樣卷二選擇照(只有個(gè)正確答案，每題3分，共15分)1、已知做直線運(yùn)動(dòng)的粒子處于狀態(tài)W1、已知做直線運(yùn)動(dòng)的粒子處于狀態(tài)W(x)=￡T^ix則歸化沼數(shù)c為(A)11(A)—(C)—j=(D)ItnJr2、設(shè)粒了歸一化波函數(shù)為"(r,仇3).則粒子在際殼(r/+〃)中被測(cè)到的幾率為()rdrrdr(A)d“M.sined?dr[]sinOdOdr(B>jTd(p￡|y/|2sinOdOr2dr(D)[[3、在％m(夕，°)態(tài)中.￡二的可能測(cè)位為<)(A)2h,h,0,-h,—2h(B)2h.-2h(C)2孔方，一九一20(D)2方，力,0,一九一2方4、花光的照射下?原了?從低能級(jí)設(shè)遷到嘉能級(jí)，這種現(xiàn)象稱為()(A)受激輻射(B)自發(fā)和受激吸收(C)光的吸收(D)自發(fā)輻射5、金國(guó)中的電子氣Fermi陡量。電了密度。的關(guān)系為：()<A)Ej<xp’'(B)Etap1(C)Efocd"(D)E嚴(yán)p二、填空遺(每空2分，共20分)1,〃送廣力學(xué)中，力學(xué)帛:通常用算符衣示.在坐標(biāo)表象中，動(dòng)G變?yōu)閯?dòng)盤算符即方一，在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)變?yōu)樽鴺?biāo)算符,即我=?TOC\o"1-5"\h\z2、線性厄米算符的性質(zhì)是：(1)線性厄米算符的本征信必為：(2)戰(zhàn)性厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此：3、共/平整數(shù)自旋的全同粒子體系用反對(duì)稱波函數(shù)來(lái)描述，這種粒了?遵循統(tǒng)計(jì)，稱為.k在利用正則方程處理電磁煬中帶電荷為Q的粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，需要利用粒子正則坐標(biāo)和正則動(dòng)於，粒了正則動(dòng)dP與粒了?的機(jī)械動(dòng)之間的關(guān)系式為一，根據(jù)的了力學(xué)中的。則送了化程序,應(yīng)該把動(dòng)量變成算符°5、變分原理布R根據(jù)具體問(wèn)題在物理上的特點(diǎn),先提出一波函數(shù),然后在該波函數(shù)下求能量平均值，昂后對(duì)能量平均值求一。三、證明遨(共15分，要有具體證明步驟，否則不給分)(11在維諧推了中,可以修入升降算符來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的本征值,已知升降算符的表達(dá)式為a.rf表示寫振廣的能瓜木征態(tài).證明：^|,t)=Vw+l!n+l>CO分)

（2）證明：［￡，￡］=法士0分）四、計(jì)算題（第1、2題各15分，第3、4題各10分，要求有具體計(jì)匏步驟）.在一維無(wú)限深勢(shì)阱（0,a）中.粒了?處于第一激發(fā)態(tài)，即n=2,求（1）粒/位為x的平均誼亍、X2及位置不確定度（漲落》M:（2）粒廣動(dòng)量p的平均值萬(wàn)、p2及動(dòng)量不確定度（漲落）夕：（3）計(jì)算動(dòng)能平均儕（15分）2、號(hào)慮一個(gè)具有三維態(tài)空間的物理體系，在:態(tài)空間選定一組正交歸?化福在這組基下,2Hamilion室可以用矩陣”=1、°2Hamilion室可以用矩陣”=1、°0表示,⑴當(dāng)測(cè)Q系統(tǒng)的能量時(shí)，可能的結(jié)果是什么？<2）一個(gè)粒子處于|/），用這組展表示為，求萬(wàn).H2和△//<2）一個(gè)粒子處于|/），用這組展表示為，求萬(wàn).H2和△//（15分）3、兩個(gè)自旋為1/2的粒了?組成的系統(tǒng)由等效哈格核量;H=A^:+S22）+BSiS2描述，其中豆，禮是個(gè)自旋，品.52：是它們的z分；KAMB為常數(shù).求該哈密頓量的所有能級(jí)?（10分）4、住1=0時(shí)刻，氫原「處卜狀態(tài)甲（廣，0）=，［［%（廠）+/%（1）+［八（廠）式中〃〃（廠）為軟原廣的第n個(gè)能設(shè)本征態(tài)?計(jì)兌/=0時(shí)能量.的取值幾率與平均值，寫出￡>0時(shí)的波函數(shù).（10分）1.1161.1165期）業(yè)譚研發(fā)中K參考答案,、選擇題（每題3分，共15分）裝l.C2.B3.D4.C5,AI二、填空堰（每空2分,共20分）.一訪▽,訪.實(shí)數(shù)正交.費(fèi)米-狄拉克費(fèi)米子.少=戶-2）正則動(dòng)敏C.試探極值三、證明邀（共15分）CD證明:令屋|〃）=川〃+1）則TOC\o"1-5"\h\z式共提大為51a=（〃+1|萬(wàn)?。上式兩邊分別作用/（2分）（〃|々優(yōu)|〃）=<〃+1|萬(wàn)771+1）利用=川力[。.4']=1和?！▅〃）=3皿（5分）等式左邊+1=〃+〃）=〃+1等式右邊二5+1“川Jg+i）=|芍（〃+1!〃+1）=,『?—=J〃+l.所以a*“=J〃+11〃+1：（3分）⑵證明：2=或:一次1產(chǎn)認(rèn)7記A=x],一范（2分）2,￡』=[yp:-zpy,zpx-xp:]=[yp;izpx]-[yp:,xp:]-[z瓦,z九]+[泣,xpz]=y他,zp,-0-0+A[z,p:]x=訪（坨-mJ=位：利用動(dòng)武分量彼此對(duì)易和卜，）」=訪（3分）四計(jì)修盤（第1、2題各15分，第3、4題各10分，要求方具體計(jì)算步驟）1、解：-雄無(wú)限深勢(shì)力中，或「處廣笫?激發(fā)態(tài)的波曲數(shù)為12分）（D粒/坐標(biāo)的平均值：X=fW；（工）dx=：f-vsiir（D粒/坐標(biāo)的平均值：X=14161416<U|<鐘武。發(fā)中心（與iff專業(yè)課部分之期人檄p/；(x)xV2(x)Jx=:p2sin?分）（2）動(dòng)武的平均色：歹=「，；WM（X）公=1*（*）（/=[“(x)(x)"x=1川W2nh

a（5分）-ih—w】(x)dx=adx)f”("二丁p2一n24-h2（3）粒子動(dòng)能為E=——，則付E=——=r2m2ma2、解：⑴比⑹】tonLt滿足的本征方程為（5分）(3分)（003人〃甘零好的條件為2-X1012-20「2-410c)=00=(3-/i)?(l-/i)=03-24=1是可能的能吊水征侑.⑵H=3\Hw)=UHg，=廠(-/能吊”簡(jiǎn)并?21-i)12<000、03;（6分）5(337)7)I11“2="/j〃2M)=了〃'〃一：(一，v3（3分）（3分）XH=后-2=2”

（3分）3、解：選§2=（Si+S2）2=E：+S?；的共同不征態(tài)Z3、（2分）（2分）15'16苦研.業(yè)諜班發(fā)中心《考研專業(yè)課商分資料j之期未均當(dāng)S=l,Ms=°，±l是三重態(tài)，對(duì)電子交換對(duì)稱。S=o,/W=0是單態(tài)，對(duì)二電了交換反對(duì)稱?（2分）濘先有S=(S|+S2)2=升+02+2亂心3方一一=—+2Si-S22定態(tài)方程為"乂叫二E/swS%%=2方2%w,S22co=0所以亂3%此=(%2-12)a,=‘%”__32S[$^00=-1力Zoo4又S；M=(幾+邑：)才