2021-2022學(xué)年河北省邢臺(tái)市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年河北省邢臺(tái)市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知某校有男生3300人，女生2700人，按照性別進(jìn)行分層，現(xiàn)需要用分層隨機(jī)抽

樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本，則男生被抽取的人數(shù)為（）

A.22B.18C.24D.16

A

【分析】根據(jù)分層抽樣的知識(shí)計(jì)算出男生被抽取的人數(shù).

3300“c”

----------x40=22

【詳解】由題意得，男生被抽取的人數(shù)為3300+2700

故選：A

2.已知向量〃=（T1）I=（卬2）.若。〃則加=（）

_32

A.6B.-6C.2D.3

B

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】-3X2-〃?=0,解得用=-6.

故選：B

271

3.若一個(gè)圓錐的底面面積為兀，其側(cè)面展開圖是圓心角為3的扇形，則該圓錐的體

積為（）

,2凡

A.3"B.3nC.扃D.2扃

B

2兀

【分析】根據(jù)圓錐底面積求得圓錐底面半徑，根據(jù)側(cè)面展開圖是圓心角為行的扇形求

得母線長，進(jìn)而求得圓錐的高，根據(jù)圓錐體積公式即可求得答案.

【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則兀r=兀，

所以該圓錐的底面半徑，?=1,

2兀/c

---=2兀尸，

設(shè)圓錐的母線長為/,則3，即/=3,

則圓錐的高為行二了=2及，

V=-nxl2X2A/2=2叵兀

因此該圓錐的體積33,

故選:B

4.已知a,6為兩條不同的直線，1為平面，則下列命題正確的是（）

A.若alb,貝ijb〃aB.若?！╝,石，則

C.若?！╝,b//a,則?！?D.若“J-a,a//b,貝ji6-La

D

【分析】根據(jù)線面之間的位置關(guān)系逐一分析判斷即可得出答案.

【詳解】解：對(duì)于A,若a'a,a」b,則bua或6〃a,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若?！╝,［丁，則直線6與平。交，平行，或6ua,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,粗a,h//a,則直線。力相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若aLa,a//b,則故D正確.

故選：D.

￡2

5.甲，乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題，破解出謎題的概率分別為53,則謎題沒被破

解的概率為（）

￡j_5

A.6B.3C.6D.1

A

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)“甲獨(dú)立地破解出謎題''為事件/"乙獨(dú)立地破解出謎題”為事件8,

尸（Z）=；，P（8）=g

尸⑷=，,p⑶=2

故」2」3,

所以17236.

即謎題沒被破解的概率為％.

故選：A.

6.一艘海輪從/地出發(fā)，沿北偏東75。的方向航行80海里后到達(dá)海島8,然后從8

地出發(fā)，沿北偏東15。的方向航行40海里后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從/地出

發(fā)到達(dá)C地，那么這艘船需要航行的距離是（）

B.40G海里C.404海里D.40近海里

A.40海里

D

【分析】根據(jù)已知求出角B,然后由余弦定理直接可得.

【詳解】如圖，由題意48=80海里，8c=40海里，8=180。-75。+15。=120、所以

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=\\200,得=405海里.

故選：D

7.甲、乙兩位同學(xué)暑假計(jì)劃從吉林省去河北省旅游，他們所搭乘動(dòng)車的“3+2”座位車

廂如圖所示，若這兩位同學(xué)買到了同一排的座位，則他們的座位正好相鄰的概率為

3,2

A.5B.2C.5D.I。

D

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式結(jié)合列舉法求解作答.

【詳解】設(shè)事件M為“他們的座位正好相鄰”，

甲乙二人買到同一排aB,C,D,F5個(gè)座位中的兩個(gè)形成的樣本空間為Q,

則。=尸b,8,（/,￡＞用，共包含［（）個(gè)樣本點(diǎn)，

3

其中事件屈={/民8。,。/},包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則有10,

3

所以他們的座位正好相鄰的概率為io.

故選：D

8.在三棱錐P-Z8C中，「4P8,PC互相垂直，PA=PB=4,M是線段8c上一動(dòng)點(diǎn),

且直線與平面P8C所成角的正切值的最大值是石，則三棱鏈?zhǔn)?"8C外接球的

體積是（）

A.32兀B.367tC.40兀D.44兀

B

【分析】連接RW,依題意可得/MUP是直線與平面尸8c所成的角，當(dāng)

PW8C時(shí)最短，此時(shí)正切值最大，求出「屈，再由等面積法得到方程求出PC,

最后三棱錐的外接球可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，求出長方體的體對(duì)角線，即可得到

外接球的直徑，從而求出外接球的體積:

【詳解】解：因?yàn)槔蔷€段8c上一動(dòng)點(diǎn)，連接因?yàn)椤?尸民℃互相垂直,

tanZ.AMP-.......

所以乙4Mp是直線與平面P8C所成的角，則PM.

所以當(dāng)尸加最短，即時(shí)，直線//與平面P8C所成角的正切值最大，此時(shí)

APMPM=-

~PM,所以5

4PC=V42+PC2x迪

在RtAPBC中，PBPC=BCPM則5解得*2.

將三棱錐尸一/8C擴(kuò)充為長方體，則長方體的體對(duì)角線長為,不+4?+22=6.

4

—nR3=36兀

故三棱錐P-/8C外接球的半徑/?=3,三棱錐尸-48C外接球的體積為3.

故選：B

二、多選題

9.已知a,beR,復(fù)數(shù)/-l+("+l)i為純虛數(shù)，1+0+2)1為實(shí)數(shù)，貝汁()

A."±1B.b=-2

a+bi43.

----------=H-1

C.。+物的共規(guī)復(fù)數(shù)為l+2iD.b+a\55

BCD

【分析】根據(jù)純虛數(shù)以及實(shí)數(shù)需要滿足的條件可得。=1,方=-2,進(jìn)而可判斷A,B,根

據(jù)共輒復(fù)數(shù)的概念可判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則可求解D.

a2-\=0

<

【詳解】由題意得,得。=1,又6=-2,所以a+6i=l-2i的共軌復(fù)數(shù)為

?+歷l—2i(l_2i)(_2_i)413j

l+2i,故A錯(cuò)誤，B正確，C正確，'+泊<+i(-2+i)(-2-i)55,故口

正確.

故選：BCD

10.如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，P，0，G，“分別是棱的中點(diǎn),

則在該正方體中（）

APH//GQ

B.G”與8c是異面直線

C.G"，P。，/。相交于一點(diǎn)

D.QGVBN

ABC

【分析】將正方體的平面展開圖還原，再逐個(gè)分析即可

【詳解】將正方體的平面展開圖還原，得到如圖所示的正方體4BCQ-E麗，

對(duì)A,因?yàn)镋G//8Q,且EG=BQ,故四邊形EG08為平行四邊形，故EB//GQ,

乂PH//EB,則P"〃GQ成立，故人正確：

對(duì)B,因?yàn)镻，0，G，”分別是棱的中點(diǎn)，所以G"u平面4）可瓦

平面4DNE〃平面BCMF,且GH與2C不平行，所以兩直線是異面直線，故B正確；

對(duì)C,PHHGQTH/GQ,則相交，設(shè)相交于點(diǎn)/,因?yàn)槠矫姹绕矫?/p>

ABCD=AD,6"（=平面上4。%,尸。＜=平面/86,所以/￡4。，即G〃,PQ,4。相交

于一點(diǎn).故C正確；

對(duì)D,連接CN,因?yàn)镚Q〃CN,CN與BN不垂直,所以2G與8N不垂直.故D錯(cuò)

誤

故選：ABC.

11.如圖，一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到8.任意拋擲這個(gè)八面

體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為°=,2,3,4,5,6,7,8}.事件

A表示“數(shù)字為質(zhì)數(shù)”，事件3表示“數(shù)字為偶數(shù)”，事件C表示“數(shù)字大于4”，事件。表

A.A與B相互獨(dú)立B.8與C相互獨(dú)立

C.C與。相互獨(dú)立D.A與。相互獨(dú)立

【分析】利用獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

卬,P（A）=P（B）=P（C）=P（D）=-

【詳解】因?yàn)?,

事件/從數(shù)字為2,8'''A錯(cuò);

71

事件8C:數(shù)字為6或8,PM）丁丁尸⑻尸⑹B對(duì);

71

「3）k『P（c）p（20對(duì);

事件8：數(shù)字為5或6,

21

事件/D:數(shù)字為3或5,P（仞）=W=L（4）P。）,D對(duì).

故選：BCD.

12.如圖，在棱長為2的正方體"'8-44GA中，E是棱4"的中點(diǎn)，過G"作正

A.當(dāng)4/=I時(shí)，截面為等腰梯形

B.當(dāng)時(shí)，截面為六邊形

C.當(dāng)'尸=2時(shí)，截面面積為2幾

1=325/13

7J卜--------

1

D.當(dāng)-2時(shí)，截面a與平面8CC4所成的銳二面角的正切值為3

ACD

【分析】當(dāng)"尸=1時(shí)，易得截面為四邊形￡F8G,可判斷A；當(dāng)1<4尸<2時(shí)，

AB,BC上（不含端點(diǎn)）各有一個(gè)截點(diǎn)，所以截面為五邊形，可判斷B；當(dāng)4尸=2時(shí),

設(shè)8c的中點(diǎn)為易得截面為四邊形/EG",求出截面的面積可判斷C；如圖，過

尸作尸尸垂直0%于點(diǎn)P,延長FE,交于點(diǎn)O,過"作?？诖怪盓O于點(diǎn)0,求出

截面a與平面8CG與所成的銳二面角的大小等于平面庚。與平面"°"”所成的銳二

面角，即所求的銳二面角，求出tan'AOG即可判斷D.

【詳解】當(dāng)4尸=1時(shí)，易得截面為四邊形EF8G,

o

易證EF//8G,且EF_QBCI,BF=EG,所以截面為等腰梯形，A正確.

當(dāng)1<4尸<2時(shí)，的8c上（不含端點(diǎn)）各有一個(gè)截點(diǎn)，所以截面為五邊形，B錯(cuò)

誤.

當(dāng)4尸=2時(shí)，設(shè)8c的中點(diǎn)為易得截面為四邊形附“，易得"M=CM=若,

?、區(qū)4M*/

A2x—x2>/3x>/5-3=276

G=273,所以四邊形'EG”的面積為2,c正確.

如圖，過尸作EP垂直于點(diǎn)P,延長FE,DD、交于點(diǎn)0,過A作。。垂直EO于

點(diǎn)0,因?yàn)槠矫嫫矫?CC百，所以截面a與平面所成的銳二面角的大

小等于平面EFG與平面所成的銳二面角的大小.因?yàn)镚A1平面所

3

以所以eoc唧所求的銳二面角.易得DQ-'P-],FO=屈，由

DQFPFP3C.D.2g

sinZFOP=}DQ=—DO=^

~Dp~~FOtF0ttan/。0G=市:丁

,得,13,所以D

正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件的復(fù)數(shù)：z=.

①|(zhì)z|=若；②】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

-l-2i（答案不唯一）

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限即可列出滿足條件的復(fù)數(shù).

【詳解】滿足。+及（/+從=5,且"0]<0）即可.

故-l-2i

14.每年的4月23日是世界讀書日，為了了解學(xué)生的閱讀情況，某校隨機(jī)抽取了8名

學(xué)生，統(tǒng)計(jì)到他們某一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）分別為

3.5,2.8,2.5,2.3,3.2,3.0,2.7,1.7,則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是

2.7

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列：1.7,2.3,2.5,2.7,2.8,3.0,3.2,3.5.

因?yàn)?0%x8=3.2,

所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第4項(xiàng)數(shù)據(jù)，即2.7.

故2.7

15.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖，這是《易經(jīng)》中記載的

幾何圖形一八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面

積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形N8CDEFG"的邊長為2,P是正八邊形

ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則俘+而）陛+而）的最小值為.

-12-8>/2

【分析】以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)尸（"），將停*方）陛+而）表示為關(guān)于

X/的關(guān)系即可求出.

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則"（°。），8（2,0）,

過〃作Wx軸，因?yàn)檎诉呅?BCDEFGH,所以“加”是等腰直角三角形，所以

AM=HM=血

同理，過C作CN'X軸，則8N=&，過F作尸0"G,則QG=&,

所產(chǎn)（2,2+2勾尸（0,2+2⑸，

設(shè)P（D）,

則夕,=（-x,-y）,尸8=（2-x,-y）,所以刃+戶8=（2—2x,-2y）,

PE=（2-x,2+2y/2-yyW=（-x,2+2y/2-y^則方+而=g_2x,4+4五一2y）

所以用+而燼+而）=（2-24-2?4&-2了）

=4（x-1）'+—1—>/2^1—12—8>/2

其中（1）+g-應(yīng)）表示點(diǎn)P（xJ）到點(diǎn)（1』+血）的距離的平方，

因?yàn)辄c(diǎn)在正八邊形ZBCOEFG”內(nèi)，所以（1）+（"1一⑸的最小值為

0,

所以俘+而）陛+而）的最小值為“-8叵

故答案為.T2-8正

四、雙空題

16.記“8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若2bcos/=asin8,

b=2<=下,yiijsinA=,8c邊上的高為.

平|石

【分析】化簡2%cosZ=asin8得到tan/=2,再利用余弦定理求出”否,

設(shè)8c邊

上的高為/?,利用三角形的面積公式得解.

【詳解】解：由題意得2sin3cos/=sin/sin8,得tan/=2,

所以A為銳角，

.,2>/5彳石

sinA=-----,cosA=——

所以55,

由余弦定理a?=次+/-26℃°$4=4,得”石

--besinA=—ah

設(shè)8c邊上的高為人則22

石

h,=-be-si-n-A=-4-

得a5.

2石4N/5

故5,5

五、解答題

17.已知向量篇滿足儂+9@與）=2,且|訃回昨2.

⑴求3與3的夾角&：

0——

⑴4

⑵④

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可求解夾角.

(2)根據(jù)模長公式即可求解.

【詳解】(1)由(2"+')?("-23)=2a-3ab-2b=4-3x&x2cos8=2

nV2037t

得2,因?yàn)橄[0,兀],所以4.

|a+51=yla2+2a-b+b'=.2-472x+4=41

(2)由題意得V2

18.某社區(qū)80名居民參加消防安全知識(shí)競賽，競賽后對(duì)其成績(滿分10。分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

將數(shù)據(jù)按[6°，70),[70,80),[80,90),[90100]分為4組,其頻率分布直方圖如圖所

示.

(1)求直方圖中。的值；

(2)試估計(jì)這80名居民競賽成績的平均分；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代

表)

(3)該社區(qū)準(zhǔn)備對(duì)本次安全知識(shí)競賽成績較差的20%的居民開展消防安全知識(shí)講座，則

需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過多少?

⑴〃=0.04

⑵84

⑶75

【分析】(1)利用頻率和為1,可求得。的值；

(2)利用頻率分布直方圖中的平均數(shù)公式可求解；

(3)求從前至后頻率和等于02對(duì)應(yīng)的數(shù)即可.

【詳解】⑴依題意得，l°x(°.°"°,°2+°Q3+a)=l,解得a=0.04.

(2)這8。名居民競賽成績的平均分了=65x0.1+75x0.2+85x0.4+95x0.3=84.

(3)由頻率分布直方圖可得，第一組的頻率為001x10=0」,

前兩組的頻率之和為(°°1+°°2)x10=63.

設(shè)需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過”,則*e[70,80).

0.02xG-70)+0.1=0.2班汨

'),解得is.

故需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過75.

19.如圖，在棱長為2的正方體,8。-48Goi中，E、尸分別為棱、CG的中

點(diǎn).

⑴證明：平面'EG"平面反加；

(2)求異面直線,G與BF所成角的余弦值.

(1)證明見解析

嫗

⑵5

【分析】(1)證明出瓦〃/平面0F〃平面"EG,再利用面面平行的判定定理

可證得結(jié)論成立；

(2)分析可知異面直線"G與8F所成角為/"G或其補(bǔ)角，計(jì)算出"NEG的三邊邊

長，利用余弦定理可求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：連接叱，

因?yàn)樗倪呅蜟CQQ為平行四邊形,則CGHDD\旦CC,=D%

???￡、/分別為。A、CG的中點(diǎn)，則Cf7〃歷且CF=OE,

所以，四邊形以出產(chǎn)為平行四邊形，則防//8且所=。￡>,

因?yàn)榍?CD且/B=CD,:.EF//AB宜EF=AB,故四邊形/出/為平行四邊形，

所以，BFHAE,；BF0平面NEG,AEu平面AEC\,8尸〃平面AECi,

同理可證6尸//〃“且G尸=0",所以，四邊形弓互正為平行四邊形，

所以，C[E〃DF,DFu平面4EC],Cgu平面NEC、。尸〃平面ZEG,

?：BF^DF=Ft所以，平面〃平面BDF

Q懈：.?.BF//4E,所以，異面直線"G與BF所成角為/口￡或其補(bǔ)角，

在A/EG中，4E=C1C=砂+1=#>,AC1=2后,

,…AE2+AC；-C.E25+12-5而

由余弦定理可得2AE-AQ2XV5X2V35,

叵

所以，異面直線"G與B尸所成角的余弦值為5.

20.記A/8C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

22

2>/3(cosC-cosA)=(a-b)sinB；且8c外接圓的半徑為由.

⑴求C的大?。?/p>

⑵若G是“8c的重心，求A/CG面積的最大值.

C=-

⑴3

3百

⑵4

【分析】(1)根據(jù)正弦定理可得。=20sin4b=26sin8,c=2代sinC,然后根據(jù)同

角平方和的關(guān)系以及正弦定理的邊角互化得/-c2=S-"M,進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求

角.

s=ls

(2)根據(jù)余弦定理以及均值不等式可得必49,根據(jù)重心的性質(zhì)可得…,

進(jìn)而根據(jù)面積公式即可求解.

a=b=c=

【詳解】(1)由正弦定理sin/sin5sinC，得

a=273sinA,b=2GsinB,c=2GsinC

因?yàn)?G(cos?C-cos?A)=273(1-sin2C-1+sin2J)=2>/3(sin2Z-sin2c)=(a-b)sin8

「_+41_7t

所以勵(lì)，所以c°s-一通—一5,因?yàn)榘?°，兀),故=3,

(2)由(1)得c=26sinC=3,

所以T+b2-c2=ab>2ab-9,得ab《9,

當(dāng)且僅當(dāng)。=人=3時(shí)，等號(hào)成立.

DG=-BD

連接8G,并延長8G交/C于。，則。是/C的中點(diǎn)，且3,

FG_DG

過G作G尸?L/C于/，過5作8E1ZC于￡,貝ijBEBD3,

c_1a\人.「g-36373

SMCG=-S=_absinC——ab<----------

所以3ARC6124.故"CG面積的最大值為4

21.如圖，在四棱錐尸-N88中，AP=PD=DC=2tAB=舊,

ZADC=ZAPD^90°,平面PZOJ■平面/SCO.

p

(1)證明：“尸，平面POC.

(2)若E是棱21的中點(diǎn)，且BE//平面尸8,求點(diǎn)。到平面尸的距離.

(1)證明見解析

3而

⑵5

【分析】(1)在平面PCC內(nèi)找到兩條相交的的直線，使得尸/垂直于它們即可;

(2)運(yùn)用等體積法，求出三棱錐尸-48。的體積和和三角形尸的面積即可.

???平面平面尸”。，CDLAD,平面尸Z￡）nABCD=AD,

??.CDl平面產(chǎn)力D,CDLAP,

即4P_L尸_L8,尸。08=。,尸。u平面尸℃,CDu平面PQC,

PA±平面/8CZ）；

（2）vBE//平面尸￡）c,API.平面p℃,,

在RtUBE中，AB=y/u,AE=\,BE=711-1=V10,

S=—xAPxBE=VTo

△4PB的面積為“2,

取的中點(diǎn)G,連接尸G,BG,因?yàn)椤魇?O是等腰直角三角形，

PG1AD,PG=&,AD=2五,

又?.?平面平面/8CQ,，PG_L平面288,PGVBG,

在RtAPBE中，PB=y/PE2+BE2=V1T,

在RMPBG中，BG=PB2-PG~=Jl1-2=3,

222

AG+BG=2+9=ll=AB,"BG是直角三角形，

S.Rn=-xADxBG=3y/2

的面積-2,設(shè)點(diǎn)。到平面48的距離為x,

—xSxPG=—x3>/2x\/2=2=-xS?x=-xVlOx

三棱錐尸-/8。的體積=3"即33"PB3,

63>/10

X-—r==----

V105.

3瓦

綜上，。到平面P