矩陣的秩與線性方程組

矩陣的秩與線性方程組第一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日§1矩陣的秩秩：書面語，次序。也就是說，無論世界如何斗轉(zhuǎn)星移、“我自巍然不動(dòng)”的本質(zhì)性的東西。因此，矩陣的秩應(yīng)該指的是矩陣變換過程中保持不變的東西，是矩陣經(jīng)過“千錘百煉”后“提取”出來的“黃金”。

越是本質(zhì)的東西越難以理解。關(guān)于秩，若能說出個(gè)“子戊寅卯”來，線性代數(shù)也就掌握的“八九不離十”了。第二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例1

解線性方程組一、淘金記---矩陣秩的概念方程的個(gè)數(shù)不等于未知數(shù)個(gè)數(shù)，無法用克萊姆法則，我們回到“原點(diǎn)”，用消元法(即矩陣的初等行變換法)來求解。第三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日消去第四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日消去由得，代入，得，再代入，得。方程組有唯一解！這里方程變成了恒等式是個(gè)冗余方程。第五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日用矩陣表示，就是增廣矩陣作了下列初等行變換：第六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日增廣矩陣變成了行階梯矩陣。第七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日行階梯矩陣示例：第八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例2解線性方程組消去第九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日這里方程變成了矛盾式是個(gè)矛盾方程。所以此例中的方程組是不相容方程組。方程組無解！消去第十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日用矩陣表示，就是增廣矩陣作了下列初等行變換：第十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日增廣矩陣仍然變成了行階梯矩陣。第十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例3解線性方程組消去第十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解得方程組有無窮個(gè)解！所以此例中的方程組是不定方程組。第十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日用矩陣表示，就是增廣矩陣作了下列初等行變換：第十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日增廣矩陣仍然變成了行階梯矩陣。另外，例3也說明，方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組未必有唯一解。要保證唯一解，必須加上約束條件。這個(gè)事實(shí)最早是歐拉在解決所謂克萊姆悖論時(shí)注意到的。第十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日一般地，對(duì)于線性方程組經(jīng)過一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

第十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日這里是的某個(gè)排列第十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日結(jié)論：問題：第十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日用矩陣表示，就是增廣矩陣經(jīng)過了一系列初等行變換，變成了行階梯形矩陣。并且如果再經(jīng)過列交換變換后，可以將行階梯矩陣的左上角化成三角陣。為討論方便，不妨假定左上角已化成三角陣，即第二十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第二十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日同時(shí)第二十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日左上角的階子矩陣顯然可逆（其行列式不為零,因?yàn)槌醯茸儞Q不改變方陣的奇異性），雖然該矩陣中的行號(hào)已“不可考”。但其階數(shù)這個(gè)信息已經(jīng)足夠了。第二十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日定義4對(duì)給定的矩陣，任取其行列（），位于交叉位置上的個(gè)元素可按原來的相對(duì)位置構(gòu)成矩陣，稱為的子矩陣。的階方子矩陣的行列式稱為矩陣的階子式。顯然要求第二十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日定義5對(duì)給定的矩陣，稱其一切非零的子式（顯然此時(shí)相應(yīng)的方子矩陣不可逆）的最高階數(shù)為矩陣的秩，記為。并規(guī)定零矩陣的秩為。(Frobenius,1879)對(duì)于階方陣，就是。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。此時(shí)，也稱方陣為滿秩陣。根據(jù)秩的定義，顯然特別地，因此滿秩陣就是可逆陣。另外，第二十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例6

求矩陣的秩。由于3階非零子式解：而所有四階子式必定都包含第四行，因而全為零。這個(gè)矩陣是一個(gè)行階梯形矩陣，顯然從階梯數(shù)即非零行的個(gè)數(shù)上就能直觀看出它的秩是3。所以。第二十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日定義7

對(duì)給定的矩陣稱為行階梯形矩陣，如果它滿足下列兩個(gè)條件：(1)某行是零行（即沒有非零元），則其下所有行（如果有的話）都是零行；(2)某行是非零行，則其首非零元的列號(hào)必大于上一行(如果有的話)首非零元所在的列號(hào)。定義8首非零元均為1，且首非零元所在列無其他非零元的行階梯形矩陣，稱為行最簡形矩陣。第二十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日行最簡矩陣示例：第二十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日二、矩陣秩的計(jì)算顯然用定義計(jì)算一般大型矩陣的秩，很不方便。然而當(dāng)矩陣是行階梯形矩陣時(shí)，可以通過數(shù)非零行的個(gè)數(shù)“數(shù)”出矩陣的秩。所以能不能把一般矩陣“變”成行階梯形矩陣呢？這里有兩個(gè)問題：（1）一般矩陣能不能“變”成行階梯形矩陣？（2）變換是保秩的嗎？即變換前后的矩陣是否同秩？下面的兩個(gè)定理回答了這這兩個(gè)問題。第二十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日定理9任意矩陣必可以通過有限次行（列）初等變換化成行（列）階梯形矩陣。定理10

的必要條件是證明：必要性見教材。充分性的反例如下：第三十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日由于可逆陣（即滿秩陣）是初等矩陣的乘積，故有推論1

是任一矩陣，分別是階滿秩陣，則

第三十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日行（列）階梯形矩陣顯然可以繼續(xù)行、列變換最終變成標(biāo)準(zhǔn)形，此時(shí)有推論2

如果任意矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形分解為則必有實(shí)際計(jì)算矩陣的秩時(shí)，顯然不必把矩陣變換到標(biāo)準(zhǔn)形，只需要把矩陣變換到行（列）階梯形就足夠了。第三十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例11

求矩陣的秩，并求出的一個(gè)最高階非零子式。解：第三十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第三十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第三十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日(1)

階梯形矩陣有三個(gè)非零行，因此（2）由于，所以的非零最高階子式為3階。然而的3階子式共有個(gè)?？疾?/p>

的階梯形矩陣。很容易注意到階梯形矩陣中，首元所在的列中有一個(gè)3階非零子式。由于我們只進(jìn)行了初等行變換，這說明了階梯形矩陣中的首元列是由矩陣的相應(yīng)列變來的。令第三十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日因此，所以有三階非零子式，經(jīng)計(jì)算可知的左上角的三階子式非零，因此所求為第三十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日思考：因?yàn)榈淖罡唠A非零子式不唯一，所以如果令，能否得到最高階非零子式？如果令，情況又如何？試根據(jù)的行階梯形矩陣給出的所有最高階非零子式。第三十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日%rank1.mfunctionb=rank1(A)%A為輸入矩陣，b為非零行個(gè)數(shù)[m,n]=size(A);U=rref(A);%將矩陣A化為階梯形矩陣Ub=0;%b是計(jì)數(shù)器fori=1:mifany(U(i,:))%內(nèi)置函數(shù)any(v),只要向量v中有非0就取1，否則取0

b=b+1;endendb第三十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日%rank2.mfunctionb=rank2(A)%A為輸入矩陣，b為主元個(gè)數(shù)[m,n]=size(A);[U,ip]=rref(A);%將矩陣A化為階梯形矩陣Ub=length(ip);第四十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日%ex3111.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];

r=rank(A)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)rank矩陣A的秩

%r1=rank1(A)%調(diào)用自定義函數(shù)rank1計(jì)算矩陣A的秩%r2=rank2(A)%調(diào)用自定義函數(shù)rank2計(jì)算矩陣A的秩[UC,ip]=rref(A)%rref(A)將矩陣A化為最簡形UC，ip按升序返回%首元所在列號(hào)

L=length(ip);B=A(1:L,ip)%矩陣B對(duì)應(yīng)的行列式就是欲求的一個(gè)最高子式det(B)第四十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例12

已知矩陣問為何值時(shí)，第四十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解：第四十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日因此，時(shí)；

時(shí)；

時(shí)。第四十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例13

已知是矩陣，是矩陣。證明：第四十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日證明*：由題，存在可逆矩陣，分別將化成行標(biāo)準(zhǔn)形，即有并且第四十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日從而的非零行數(shù)+的非零行數(shù)第四十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例14

已知是矩陣，是矩陣。證明：第四十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日證明*：第四十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例15

已知是矩陣，是矩陣。證明：第五十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日證明*：由題，存在可逆矩陣，將化成行標(biāo)準(zhǔn)形，即有令，則第五十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日從而所以又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)榈谖迨?，共一百四十六頁?022年，8月28日

矩陣秩的總結(jié)第五十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日(6)的證明*：設(shè)。將化為標(biāo)準(zhǔn)形，即存在可逆陣，使從而第五十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日

為矩陣，其中

為矩陣。且由于，所以由于可逆，所以有及第五十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日再由及知因此第五十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日

與很多問題類似,數(shù)值軟件中計(jì)算矩陣秩(所謂數(shù)值秩)采用的方法不是初等行變換法,而是利用所謂的奇異值分解(SVD,SingularValueDecomposition

）。有興趣的同學(xué)請(qǐng)查閱相關(guān)文獻(xiàn)。第五十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日經(jīng)過一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

§2齊次線性方程組上節(jié)我們看到，一般地，對(duì)于線性方程組第五十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日這里是的某個(gè)排列第五十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為零時(shí)，得到齊次線性方程組經(jīng)過一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

第六十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日這里是的某個(gè)排列第六十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日I

、當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，即

零解，也稱平凡解。II、當(dāng)時(shí)，方程組有非零解。由于，方程組始終有解，因此，其結(jié)論變成第六十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日既然是系數(shù)矩陣的秩，所以我們有定理1

（齊次線性方程組解的判定定理）

元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩，并且其通解式中帶有個(gè)參數(shù)。這個(gè)重要結(jié)論是由弗羅貝尼烏斯在1870年代得出的。第六十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日顯然定理1的必要性是克萊姆法則的推廣，充分性則包含了克萊姆法則的逆定理。根據(jù)定理1，求解齊次線性方程組時(shí)，只需先把它的系數(shù)矩陣化成行階梯矩陣或行最簡矩陣，就可以求出它的通解了。第六十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例2

解齊次線性方程組第六十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解：第六十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第六十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第六十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日由行最簡矩陣，得同解方程組原方程組有非零解。令得通解第七十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日即得方程組的通解表達(dá)式第七十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日%ex3202.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];

Z=null(A,‘r’)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)null，返回的矩陣Z中按列存放基礎(chǔ)解系%參數(shù)‘r’的作用是什么呢？第七十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日基礎(chǔ)解系中的兩個(gè)基向量！Z=-1/2-7/23/41/4100201第七十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例3

解齊次線性方程組第七十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解：第七十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第七十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日由行最簡矩陣，得同解方程組原方程組有無窮個(gè)解。令得通解第七十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日即通解為第七十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例4

解齊次線性方程組第七十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解：第八十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日由行最簡矩陣，得同解方程組原方程組有無窮個(gè)解。得通解令第八十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日原方程組有無窮個(gè)解。由行最簡矩陣，得同解方程組第八十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日可得到與II類似的結(jié)論。也可得到與II類似的結(jié)論。令得通解第八十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日原方程組只有零解。第八十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例5*

設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，且存在三階方陣，使得求：（1）的值；（2）的行列式。第八十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解：（1）由且知，的非零列都是線性方程組的非零解，因此因此第八十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解：因此由于，所以從而這說明矩陣不滿秩，由于是方陣，故（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)。第八十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例6（人口流動(dòng)問題）設(shè)某小城市共有30萬人從事工、農(nóng)、商三業(yè)。假定這個(gè)總?cè)藬?shù)始終保持不變。社會(huì)調(diào)查顯示：（1）目前有15萬人務(wù)農(nóng)，9萬人務(wù)工，6萬人經(jīng)商；（2）在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商；（3）在務(wù)工人員中，每年約有20%改為務(wù)農(nóng)，10%改為經(jīng)商；（4）在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，10%改為務(wù)工。第八十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日如果向量表示第年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，那么由已知有初始向量根據(jù)題意，1年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)應(yīng)為第八十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日即這里矩陣稱為遷移矩陣（migrationmatrix）.同樣地,第九十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第九十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日顯然可見,第九十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日也就是馬爾可夫鏈(MarkovChain)的平衡向量（equilibriumvector）為。事實(shí)上,由得即得齊次線性方程組第九十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日因此得同解方程組令得通解本題中第九十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日經(jīng)過一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

前面我們看到，一般地，對(duì)于線性方程組§3非齊次線性方程組第九十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日這里是的某個(gè)排列第九十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日因而有如下結(jié)論：第九十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日定理1

（非齊次線性方程組解的判定定理）

元非齊次線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即既然是系數(shù)矩陣的秩，所以我們有這個(gè)定理的部分結(jié)果是由道吉森在1867年給出的。第九十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日*證明:必要性。當(dāng)非齊次線性方程組有解時(shí)，如果，那么在中應(yīng)有一個(gè)矛盾方程，方程組無解，顯然這與原方程組有解相矛盾。所以只能有第九十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日*證明:充分性。設(shè)，則的行階梯形矩陣中只有個(gè)非零行，從而知其含有個(gè)自由未知量。所以由方程組，得第一百頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日令，利用回代，顯然可以得到含有這個(gè)自由未知量的解，也就是非齊次方程組的通解式。證畢。根據(jù)此定理，求解非齊次線性方程組時(shí)，也只需先把它的增廣矩陣化成行階梯矩陣或行最簡矩陣，就可以判斷方程組解的狀態(tài)，并在有解時(shí)求出它的解了。第一百零一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日實(shí)際求解非齊次線性方程組時(shí)，我們使用下面的定理來具體討論解的各種狀態(tài)。定理2

（非齊次線性方程組解的判定定理）對(duì)元非齊次線性方程組，有：（1）時(shí)方程組無解；（2）時(shí)方程組有解。并且

時(shí)方程組有唯一解；時(shí)方程組有無窮個(gè)解，并且其通解式中含有個(gè)自由未知量。矩秩一出天下白第一百零二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日定理2也可以從幾何上加以解釋。對(duì)于線性方程組每個(gè)方程表示一個(gè)平面。因此方程組是否有解就相當(dāng)于兩個(gè)平面有沒有交點(diǎn)。用和表示方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣。（1）時(shí)，的兩行對(duì)應(yīng)成比例，因而兩平面重合。方程組有（無數(shù)）解。第一百零三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日（2）而時(shí)，的兩行對(duì)應(yīng)成比例，因而兩平面平行。但的兩行不對(duì)應(yīng)成比例，因此兩平面不重合。兩平面沒有交點(diǎn)。方程組無解。（3）時(shí)顯然，的兩行不對(duì)應(yīng)成比例，兩平面不平行，因而一定相交于一直線。方程組有（無數(shù)）解。第一百零四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例3

解非齊次線性方程組第一百零五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解：上一節(jié)例2中已求得導(dǎo)出組的通解為第一百零六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日令，則下求此非齊次線性方程組的一個(gè)特解。解得即得非齊次線性方程組的一個(gè)特解第一百零七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日所以非齊次線性方程組的通解為第一百零八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日%ex3303.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];b=[-2-8-610]’

%調(diào)用自定義函數(shù)gsolution(A,b)%返回值中，x0為特解，矩陣Z中按列存放對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系[x0,Z]=gsolution(A,b)第一百零九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日x0=210-20基礎(chǔ)解系中的兩個(gè)基向量！Z=-1/2-7/23/41/4100201第一百一十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日例4解非齊次線性方程組第一百一十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第一百一十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第一百一十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第一百一十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日所以原方程組有唯一解第一百一十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日%ex3304.mA=[11-1;21-3;1-21;31-5]；b=[31-2-1]‘

%調(diào)用自定義函數(shù)gsolution(A,b)%返回值中，x0為特解，矩陣Z中%按列存放對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組%的基礎(chǔ)解系[x0,Z]=gsolution(A,b)x0=232Z=

Emptymatrix:3-by-0沒有基礎(chǔ)解系！即基礎(chǔ)解系為空集！第一百一十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多解？并在有無窮個(gè)解時(shí)求出通解。例5

為何值時(shí)，非齊次方程組第一百一十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解法一：第一百一十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第一百一十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日方程組有唯一解。第一百二十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日方程組無解。方程組有無窮組解。此時(shí)第一百二十一頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日第一百二十二頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日即令，所以原方程組的通解為第一百二十三頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日驗(yàn)算可知，為非齊次方程組的解（特解），則為此齊次方程組的通解。

時(shí)原方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組為：顯然這與二階線性非齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)類似，這并不是偶然的。相關(guān)解釋見第四章。第一百二十四頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解法二：由于系數(shù)矩陣為方陣，因此也可以先通過求行列式獲知參數(shù)的取值情況。第一百二十五頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日由克萊姆法則可知，方程組有唯一解。系數(shù)行列式不為零。方程組變成第一百二十六頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日此時(shí)方程組無解。第一百二十七頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日方程組變成第一百二十八頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日方程組有無窮多解。第一百二十九頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日令，所以原方程組的通解為此時(shí)有同解方程組第一百三十頁，共一百四十六頁，2022年，8月28日解法二的優(yōu)點(diǎn)是增廣矩陣不含字母，進(jìn)行行初等變換比解法一方便，但先需計(jì)算含字母參數(shù)的行列式，同時(shí)只能針對(duì)方程組，另外可能需要根據(jù)字母參數(shù)的不同取值，多次變換類似的增廣矩陣。解法一則邏輯性較強(qiáng)。兩法使用時(shí)需酌情選擇。對(duì)于含有字母參數(shù)的線性方程組，一般方法仍然是將增廣矩陣化成行最簡矩陣，但在作行初等變換時(shí)，要盡量避免參數(shù)出現(xiàn)在