廣東省廣州市四十八中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省廣州市四十八中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.記,，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是．

．

．

．參考答案：由比較法不難得出，構(gòu)造函數(shù)，知此函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，從而得到即2.若將函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的最小正值是（）A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．

專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用兩角和的正弦函數(shù)對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱軸方程求出φ的最小值．解答： 解：函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的圖象向右平移φ的單位，所得圖象是函數(shù)y=sin（2x+﹣2φ），圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，當(dāng)k=﹣1時(shí)，φ的最小正值是．故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查正弦函數(shù)圖象的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．3.某幾何體的三視圖如圖所示，其中圓的半徑均為1，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2的一條對(duì)稱軸的方程是(

)參考答案：A化簡(jiǎn)，∴將選項(xiàng)代入驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，取得最值，故選.5.設(shè)，則“的

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：B6.若，，則角的終邊一定落在直線（

）上。A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D7.（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|，當(dāng)m取最大值時(shí)|PA|的值為（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PA|=m|PF|，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，即可求得|PA|的值．【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，則拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=﹣1，過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=，當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，屬中檔題．9.（5分）（2015?萬州區(qū)模擬）x，y滿足約束條件，若z=y﹣2ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1或﹣B．或﹣1C．2或1D．2或﹣1參考答案：【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，得到直線y=2ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．【解答】：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直線的截距最大，z也最大．若a=0，此時(shí)y=z，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)只在A處取得最大值，不滿足條件，若a＞0，目標(biāo)函數(shù)y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線y=2ax+z與直線2x﹣y+2=0平行，此時(shí)2a=2，即a=1．若a＜0，目標(biāo)函數(shù)y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線y=2ax+z與直線x+y﹣2=0，平行，此時(shí)2a=﹣1，解得a=﹣綜上a=1或a=﹣，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．10.已知集合，，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓與直線y=x相切于第三象限，則a的值是

．參考答案：因?yàn)閳A與直線y=x相切于第三象限，所以。則有圓心到直線的距離，即，所以12.某廠家擬在2011年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用萬元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件.已知2011年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）．（1）將2011年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；（2）該廠家2011年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？參考答案：解：（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，，∴即，∴，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為元.∴2009年的利潤(rùn)

（8分）（2）∵時(shí)，.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.（15分）答：該廠家2011年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬元.（16分）13.一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為

.

參考答案：14.△ABC中B=120°,AC=2,AB=2,則△ABC的面積為_________.參考答案：15.已知，若，且方程有5個(gè)不同根，則的取值范圍為________參考答案：【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由方程有個(gè)不同根轉(zhuǎn)化為二次方程的兩根，，并構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，得出，結(jié)合，可作出關(guān)于、的不等式組，作出可行域，將視為可行域中的點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，則方程有個(gè)不同根轉(zhuǎn)化二次方程的兩根，，構(gòu)造函數(shù)，可得不等式，即，結(jié)合，作出圖形如下圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形，不等式組表示的區(qū)域?yàn)橄聢D中的陰影部分（不包括軸），代數(shù)式視為可行域中的點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，結(jié)合圖形可知，取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，涉及二次函數(shù)零點(diǎn)分布、線性規(guī)劃以及點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)的分布，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.16.觀察下列等式：；；；…則當(dāng)且表示最后結(jié)果.

（最后結(jié)果用表示最后結(jié)果）．參考答案：。17.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為

，的值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù),的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中為常數(shù)，且．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)在上的值域．參考答案：略19.（本小題滿分13分）下表為某體育訓(xùn)練隊(duì)跳高、跳遠(yuǎn)成績(jī)的分布，共有隊(duì)員40人，成績(jī)分為1～5五個(gè)檔次，例如表中所示跳高成績(jī)?yōu)?分，跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)?分的隊(duì)員為5人.將全部隊(duì)員的姓名卡混合在一起，任取一張，該卡片隊(duì)員的跳高成績(jī)?yōu)閤分，跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)閥分.⑴求m+n的值；⑵求x=4的概率及x≥3且y=5的概率．yx跳

遠(yuǎn)54321

跳

高51310141025132104321m60n100113參考答案：20.[選修4-5不等式]已知函數(shù)（1）.證明:（2）若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：證明：因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗越獾?1.已知函數(shù).(1)求在區(qū)間[－2，1]上的最大值；(2)若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；(3)問過點(diǎn)A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線相切？(只需寫出結(jié)論)參考答案：略22.（本小題滿分13分）如圖，已知在直四棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）中，，，．（Ⅰ）求證：平面.（Ⅱ）求與平面所成的角的的正弦值；（Ⅲ）求二面角的正弦值．參考答案：見解析考點(diǎn)：利用直線方向向量與平面法向量解決計(jì)算問題