定點(diǎn)與定值問題課件

1.已知λ∈R,則不論λ取何值，曲線C：λx2-x-λy+1=0恒過定點(diǎn)()DA.(0,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(1,1)由λx2-x-λy+1=0,得λ(x2-y)-(x-1)=0.

x2-y=0x=1

x-1=0y=1,可知不論λ取何值,曲線C過定點(diǎn)(1,1).依題設(shè),即2.已知k∈R,直線y=kx+1與橢圓=1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.［1,5)∪(5,+∞)由于直線y=kx+1過定點(diǎn)P(0,1)，則當(dāng)P(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi)時，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，因此m≥１且m≠5,求得m∈［1,5)∪(5,+∞).3.雙曲線x2-y2=4上一點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線的一條漸近線上的射影為Q，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△POQ的面積為定值

.1如圖,雙曲線x2-y2=4的兩條漸近線為y=±x,即x±y=0.又|PQ|=,|PR|=，所以S△POQ=|PQ||PR|==1.4.已知定點(diǎn)A(2,3),F是橢圓=1的右焦點(diǎn),M為橢圓上任意一點(diǎn),則|AM|+2|MF|的最小值為

.6由于點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，過M點(diǎn)作橢圓右準(zhǔn)線x=8的垂線，垂足為B.由橢圓第二定義，得2|MF|=|MB|，則|AM|+2|MF|＝｜AM｜+|BM|，當(dāng)A、B、M三點(diǎn)共線且垂直于準(zhǔn)線時，|AM|+2|MF|的最小值為6.題型一定點(diǎn)問題例1已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一動點(diǎn)，且滿足||·||=·.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)M(m,2)在曲線C上，過點(diǎn)M作直線l1、l2與C交于D、E兩點(diǎn)，且l1、l2的斜率k1、k2滿足k1k2=2,求證：直線DE過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).

(1)設(shè)P(x,y),則=（1-x,-y),=(-1-x,-y),=(-2,0),=(2,0).因?yàn)閨|·||=·，所以·2=2(x+1),即y2=4x,所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x.(2)證明:由(1)知M(1,2),設(shè)D(,y1),E(,y2),所以k1k2==2,整理得(y1+2)(y2+2)=8.①kDE===k,所以y1+y2=.②由①②知y1y2=4-,所以直線DE的方程為y-y1=(x-),整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即4x-y+4-=0,即(x+1)k-(y+2)=0,所以直線DE過定點(diǎn)(-1,-2).題型二定值問題例2如圖，F(xiàn)1(-3,0),F2(3,0)是雙曲線C的兩焦點(diǎn),其一條漸近線方程為y=x,A1、A2是雙曲線C的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于A2的一動點(diǎn)，直線A1P,A2P交直線

x=分別于M、N兩點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；

(2)求證：是定值.

(1)由已知，c=3,=.又c2=a2+b2，所以a=2,b=5.所求雙曲線C的方程為=1.(2)證明：設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),M、N的縱坐標(biāo)分別為y1、y2,因?yàn)锳1(-2,0),A2(2,0),所以=(x0+2,y0),=(x0-2,y0),=(，y1),=(-,y2).因?yàn)榕c共線，所以(x0+2)y1=y0,y1=.同理y2=-.因?yàn)?(,y1),=(-,y2),所以·=-+y1y2=--=--=-10，為定值.題型三范圍與最值問題例3設(shè)F1、F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn).(1)若P是該橢圓上的一個動點(diǎn),求的最大值與最小值；(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍.(1)由方程易知a=2,b=1,c=3，所以F1(-,0),F2(,0).設(shè)P(x,y),則=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1--3=(3x2-8).因?yàn)閤∈［-2,2］，所以0≤x2≤４，故的最大值為1，最小值為-2.(2)顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

y=kx+2+y2=1,消去y,整理得(k2+)x2+4kx+3=0.所以x1+x2=,x1x2=.由Δ=(4k)2-4(k2+)×3=4k2-3>0,解得k>或k<-.①聯(lián)立方程組又0°<∠AOB<90°,即cos∠AOB>0,得>0,所以=x1x2+y1y2>0.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=.所以+>0,即k2<4.②結(jié)合①、②知,k的取值范圍是(-2,-)∪(,2).學(xué)例1

(2007·江西卷)設(shè)橢圓=1(a>b>0)的離心率為e=，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2+bx-c=0的兩個實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1,x2)()必在圓x2+y2=2內(nèi)B.必在圓x2+y2=2上C.必在圓x2+y2=2外D.以上三種情形都有可能A橢圓的離心率為e=，故a=2c,