山西省忻州市韓曲中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

山西省忻州市韓曲中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是（

）

A.

B．

C.

D．參考答案：C2.已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z，代入，它的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由題意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，則a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．3.已知等差數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于

A．30

B．45

C．90

D．186參考答案：C略4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，則此雙曲線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知直線x﹣y+2=0與圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圓心為C）交于點(diǎn)A，B，則∠ACB的大小為（）A．30° B．60° C．90° D．120°參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓心到直線的距離，利用三角函數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，圓心到直線的距離d==，圓的半徑為2，∴cos∠ACB=，∴∠ACB=90°，故選C．6.在R上定義運(yùn)算*：a*b=ab+2a+b,則滿足x*(x-2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）

A．（-2,1）

B．（0,2）

C．

D．（-1,2）參考答案：A7.復(fù)數(shù)的值是

（）A．-1 B．1 C． D．參考答案：A略8.設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）參考答案：D考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．專題：分類討論．分析：分類討論：①當(dāng)x≤1時(shí)；②當(dāng)x＞1時(shí)，再按照指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式求解，最后求出它們的并集即可．解答：解：當(dāng)x≤1時(shí)，21﹣x≤2的可變形為1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．當(dāng)x＞1時(shí)，1﹣log2x≤2的可變形為x≥，∴x≥1，故答案為[0，+∞）．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的轉(zhuǎn)化與求解，應(yīng)該轉(zhuǎn)化特定的不等式類型求解．9.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的求和．【分析】函數(shù)y1=與y2=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱中心（1，0），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)y1=，y2=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱中心（1，0），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y1＜0而函數(shù)y2在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，在（1，）和（，）上是減函數(shù)；在（，）和（，4）上是增函數(shù)．∴函數(shù)y1在（1，4）上函數(shù)值為負(fù)數(shù)，且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E、F、G、H相應(yīng)地，y1在（﹣2，1）上函數(shù)值為正數(shù)，且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D且：xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8．故選：A．10.已知函數(shù)，的最小值為a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：C因?yàn)榈淖钚≈禐榍視r(shí)，故恒成立，也就是，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，故，所以選C．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足:z(2－i)=4+3i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模等于

.參考答案：；12.給出下列六個(gè)命題：①不等式x2－4ax＋3a2＜0的解集為{x|a＜x＜3a}；②若函數(shù)y＝f（x＋1）為偶函數(shù)，則y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱；③若不等式|x－4|＋|x－3|＜a的解集為空集，必有a≤1；④函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線x＝a至多有一個(gè)交點(diǎn)；⑤若角α，β滿足cosα·cosβ＝1，則sin（α＋β）＝0;⑥命題“”的否定是“”．其中所有正確命題的序號(hào)是

．參考答案：②③④_⑤_略13.如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為_________.參考答案：略14.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：15.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為

.參考答案：64試題分析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由得，解得，所以，于是當(dāng)n=3或n=4時(shí)，a1a2…an取得最大值26=64.16.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、，asinAsinB+bcos2A=2a，則角A的取值范圍是．參考答案：（0，]【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范圍，再由A為三角形的內(nèi)角，且根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到A的范圍．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得：sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=2sinA，∴sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，由余弦定理得：cosA===≥=，∵A為三角形ABC的內(nèi)角，且y=cosx在（0，π）上是減函數(shù)，∴0＜A≤，則A的取值范圍是：（0，]．故答案為：（0，]．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．17.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是________.參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）當(dāng)a≥2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）若對(duì)任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）將a=1代入函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，從而求出極值，（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)，再分別討論a＞2，a=2，a＜2時(shí)的情況，綜合得出單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）時(shí)，f（x）在[2，3]上遞減，x=1時(shí)，f（x）最大，x=2時(shí)，f（x）最小，從而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）=﹣+ln2，進(jìn)而證出ma+ln2＞﹣+ln2．經(jīng)整理得m＞﹣，由2＜a＜3得；﹣＜﹣＜0，從而m≥0．【解答】解；（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），a=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，令f′（x）=0，得x=1，∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴f（x）極小值=f（1）=1，無(wú)極大值；（Ⅱ）f′x）=（1﹣a）x+a﹣=，當(dāng)=1，即a=2時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上遞減；當(dāng)＜1，即a＞2時(shí)，令f′（x）＜0，得0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＞0，得＜x＜1，當(dāng)＞1，即a＜2時(shí)，矛盾舍，綜上，a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞減，a＞2時(shí)，f（x）在（0，）和（1，+∞）遞減，在（，1）遞增；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）時(shí)，f（x）在[1，2]上遞減，x=1時(shí)，f（x）最大，x=2時(shí)，f（x）最小，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）=﹣+ln2，∴ma+ln2＞﹣+ln2．a(chǎn)＞0時(shí)，經(jīng)整理得m＞﹣，由2＜a＜3得；﹣＜﹣＜0，∴m≥0．19.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，{bn}，若－…，則稱{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.其中，，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知{an}為無(wú)窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.（1）若，求{bn}的前n項(xiàng)和；（2）證明：{bn}的“收縮數(shù)列”仍是{bn}；（3）若，求所有滿足該條件的{an}.參考答案：（1）（2）證明見解析（3）所有滿足該條件的數(shù)列為【分析】（1）由可得為遞增數(shù)列，，，從而易得；（2）利用，，可證是不減數(shù)列（即），而，由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.（3）首先，由已知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，（*），這里分析與的大小關(guān)系，，均出現(xiàn)矛盾，，結(jié)合(*)式可得，因此猜想（），用反證法證明此結(jié)論成立，證明時(shí)假設(shè)是首次不符合的項(xiàng)，則，這樣題設(shè)條件變?yōu)椋?），仿照討論的情況討論，可證明．【詳解】解：（1）由可得遞增數(shù)列，所以，故的前項(xiàng)和為.（2）因?yàn)?，，所以所?又因?yàn)椋?，所以的“收縮數(shù)列”仍是.（3）由可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以；當(dāng)時(shí)，，即（*），若，則，所以由（*）可得，與矛盾；若，則，所以由（*）可得，所以與同號(hào)，這與矛盾；若，則，由（*）可得.猜想：滿足的數(shù)列是：.經(jīng)驗(yàn)證，左式，右式.下面證明其它數(shù)列都不滿足（3）的題設(shè)條件.法1：由上述時(shí)的情況可知，時(shí)，是成立的.假設(shè)是首次不符合的項(xiàng)，則，由題設(shè)條件可得（*），若，則由（*）式化簡(jiǎn)可得與矛盾；若，則，所以由（*）可得所以與同號(hào)，這與矛盾；所以，則，所以由（*）化簡(jiǎn)可得.這與假設(shè)矛盾.所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設(shè)條件.法2：當(dāng)時(shí)，，所以即由可得又，所以可得，所以，即所以等號(hào)成立的條件是，所以，所有滿足該條件的數(shù)列為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)．第（1）（2）問(wèn)直接利用新概念“收縮數(shù)列”結(jié)合不等關(guān)系易得，第（3）問(wèn)考查學(xué)生的從特殊到一般的思維能力，考查歸納猜想能力，題中討論與大小關(guān)系是解題關(guān)鍵所在．本題屬于難題．20.（14分）已知函數(shù)f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）在x=1處的切線方程；（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍；（3）設(shè)g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．當(dāng)a=時(shí)，若對(duì)于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】分類討論；分類法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線的方程；（2）令，由題意可得g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，①若，②若，判斷單調(diào)性，求出極值點(diǎn)，即可得到所求范圍；（3）由題意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，運(yùn)用單調(diào)性分別求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范圍．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1處的切線斜率為0，切點(diǎn)為（1，﹣），則f（x）在x=1處的切線方程為；（2）令，則g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方等價(jià)于g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得極值點(diǎn)x1=1，，當(dāng)x2＞x1=1，即時(shí)，在（0，1）上有g(shù)'（x）＞0，在（1，x2）上有g(shù)'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g(shù)'（x）＞0，此時(shí)g（x）在區(qū)間（x2，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有g(shù)（x）∈（g（x2），+∞），不合題意；當(dāng)x2≤x1=1，即a≥1時(shí)，同理可知，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有g(shù)（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；②若，則有2a﹣1≤0，此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有g(shù)'（x）＜0，從而g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；要使g（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，由此求得a的范圍是[，]．綜合①②可知，當(dāng)a∈[，]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．（3）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)，所以對(duì)任意x1∈（0，2），都有，又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．因?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)b的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題及任意性和存在性問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.（14分）已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和,（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式-；（Ⅱ）設(shè)