高中數(shù)學(xué)每日一題(含答案)

高中數(shù)學(xué)每日一題1.平面內(nèi)的1條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點(diǎn)的直線把平面分成7部分，則n條彼此相交而無三條共點(diǎn)的直線，可把平面分成多少部分？思路分析：可通過畫圖尋找規(guī)律，當(dāng)直線條數(shù)n為3,4,5時(shí)，分別計(jì)算出它們將平面分成的區(qū)域數(shù)Sn，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再歸納出結(jié)論．解析：設(shè)平面被n條直線分成Sn部分，則當(dāng)n＝1時(shí)，S1

＝1＋1＝2；當(dāng)n＝2時(shí)，S2

＝1＋1＋2＝4；當(dāng)n＝3時(shí)，S3

＝1＋1＋2＋3＝7；當(dāng)n＝4時(shí)，S4

＝1＋1＋2＋3＋4＝11.

據(jù)此猜想，得．

Sn＝1＋點(diǎn)評：本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來，然后尋找規(guī)律，概括出整體的情況．2．(2010年山東卷)在如右圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA.求證：平面EFG⊥平面PDC；解析：證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC，在△PBC中，因?yàn)镚、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.

又GF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.

3.(2010年錦州模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝tanx，an＋1.(1)寫出a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明．解析：(1)a2＝a3＝

(2)猜想：an＝

，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之：①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立；②假設(shè)n＝k時(shí)(k≥1，k∈N*)猜想正確，猜想也正確．由①②知對任何n∈N*猜想都正確．4.已知關(guān)于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m滿足(

)A．m≤－B．m≥－C．m＝－D．m＝思路分析：因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，故可設(shè)根為a，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．解析：設(shè)實(shí)數(shù)a為方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0的實(shí)根，則a2＋(1－2i)a＋3m－i＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，答案：D點(diǎn)評：復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本思想方法．而復(fù)數(shù)相等是實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的常用方法．5．(2010年山東卷)已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a＋b＝(

)A．－1

B．1

C．2

D．3解析：由＝b＋i得a＋2i＝bi－1，所以由復(fù)數(shù)相等的意義知a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1，故選B.

答案：B6.(2011年廈門高三綜合測試)已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：(1)若ab>0，bc－ad>0，則(2)若ab>0，則bc－ad>0；(3)若bc－ad>0，則ab>0，其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A．0

B．1

C．2

D．3解析：對于(1)，由不等式的性質(zhì)得因?yàn)閍b>0，bc－ad>0，故該命題是真命題．類似可推得命題(2)(3)也是真命題．故正確命題的個(gè)數(shù)為三個(gè)，因此選D.答案：D7.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|α＜x＜β}，其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集7.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|α＜x＜β}，其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集解析：由已知條件得a＜0，∴原不等式可化為x2＋x＋<0，∵α，β為方程x2＋x＋＝0的兩根，∴＝－(α＋β)，＝αβ，由>0，a＜0得，c＜0，∴不等式cx2＋bx＋a＜0可化為x2＋x＋>0.∵＝×＝－＝－，＝>0，∴不等式x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，∴它的解集.點(diǎn)評：根據(jù)一元二次不等式解集的形式可以確定a＜0及c＜0，這是解答本題的關(guān)鍵．8.8.9.(2010年福州模擬)如右圖所示，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最?。?0.(2010年柳州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組，表示的平面區(qū)域的面積是(

)A．4

B．4

C．2

D．2思路分析：本題考查簡單的線性規(guī)劃的可行域、三角形的面積．解析：由題意，作出已知的不等式組表示的平面區(qū)域，即△ABC所在區(qū)域(如右圖所示)，其中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,4)、B(2,0)、C(0,2)．于是，三角形ABC的面積為S△ABC＝＝4.答案：B10.若f:y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個(gè)映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B.解析：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知a4=10,a2+3a=3k+1a2+3a=10,a4=3k+1.或（1）（2）∵a∈N，∴方程組（1）無解.解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.11.（09年東北師大附中月考）設(shè)，則的定義域?yàn)椋海ǎ〢：（-4，0）∪（0，4）B：（-4，-1）∪（1，4）

C：（-2，-1）∪（1，2）D：（-4，-2）∪（2，4）分析：已知f(x)的定義域[a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式a≤g(x)≤b解出.解析：∵f（x）的定義域是（-2，2），故應(yīng)有-2<x/2<2且-2<2/x<2，解得-4<x<-1或1<x<4.正確答案：B12.(2009年柳州模擬）函數(shù)y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值為a2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.0≤a≤1B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.-1≤a≤0解析：y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2(0≤x≤1)的最大值是a2，所以0≤-a≤1，即-1≤a≤0.答案：D

13.(2008年珠海質(zhì)檢)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,a］(a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，則方程f(x)=0在區(qū)間［-a,a］內(nèi)根的個(gè)數(shù)是()A.3B.2C.1D.0答案是：B14.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(