材料力學(xué)課件第10章

第10章變形能法變形能法（能量法）出發(fā)點(diǎn)：能量守恒與轉(zhuǎn)換原理。彈性體承載時(shí)，加力點(diǎn)發(fā)生位移——荷載做功，W彈性體變形——儲(chǔ)存變形能（應(yīng)變能），U略去在該過(guò)程中的微量能量損耗，則由能量守恒與轉(zhuǎn)換原理，得：外力功=變形能W=U由能量的觀點(diǎn)出發(fā)建立荷載與變形間關(guān)系的方法稱為變形能法（能量法）。10.1桿件變形能的計(jì)算一、基本變形時(shí)的變形能⒈軸向拉伸或壓縮軸力N是x的函數(shù)時(shí)⒉扭轉(zhuǎn)扭矩Mn是x的函數(shù)時(shí)⒊彎曲

純彎曲

橫力彎曲對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，剪力引起的變形能與彎矩引起的變形能相比很小，通?？珊雎圆挥?jì)。用廣義力和廣義位移表示變形能可將統(tǒng)一寫(xiě)為二、彈性變形能的主要特征（1）彈性變形能只與力或位移的最終值有關(guān)，與加載過(guò)程和次序無(wú)關(guān)。（2）一般情況下，變形能不能疊加。P1單獨(dú)作用時(shí)P2單獨(dú)作用時(shí)P1、P2共同作用時(shí)顯然，變形能不能疊加的力學(xué)本質(zhì)：一種荷載在另一種荷載引起的位移上做了功。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看：U不是P或者

的線性函數(shù)，所以不能疊加。如果構(gòu)件上有若干載荷，但其中任一種載荷在另一種載荷產(chǎn)生的位移上不做功，則每一種載荷單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的變形能之和等于共同作用時(shí)產(chǎn)生的變形能。但在某些情況下，變形能可以疊加。如拉扭組合變形時(shí)。三、變形能的普遍表達(dá)式廣義力P1,,Pn

力作用點(diǎn)沿力的方向的 廣義位移1,,

n

克拉貝隆原理四、組合變形時(shí)的變形能取一微段為研究對(duì)象由變形能的普遍表達(dá)式，有：例10-1-1

圖示平面剛架，已知抗彎剛度與抗拉剛度分別為EI和EA（二者都是常數(shù)），試求A端的豎直位移。解：（1）求內(nèi)力（2）變形能BC

段：AB

段：

（3）由能量守恒求δA上式中的第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)彎曲變形引起的位移，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)軸向拉壓變形引起的位移。若a=l，且各桿橫截面為直徑等于d的圓形，l=10d，則上式括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)小于0.05%，故在求解抗彎桿件結(jié)構(gòu)的變形時(shí)，一般可以不考慮軸力的影響。例10-1-2

軸線為平面半圓形曲桿如圖示。A端處作用有垂直于軸線所在平面的集中力，試求A端的豎直位移。解：

dd

10.2莫爾定理求任意點(diǎn)C的位移δ一、定理的證明：

Ｃ=1P0Ｃδq(x)

Ｃ0P=1q(x)δ上式即為莫爾定理也稱莫爾積分。上式δ也可為轉(zhuǎn)角，此時(shí)只需將單位力換成單位力偶即可，故δ是廣義的。此法也稱為單位載荷法或單位力法。莫爾定理的推廣：（1）曲桿的變形小曲率桿（曲率半徑與截面高度之比大于5），一般可忽略剪力和軸力的影響。則（2）桁架結(jié)構(gòu)（3）一般情況PABCDE加單位載荷的方法PABCDPABCD求結(jié)點(diǎn)C的豎向位移求B截面的轉(zhuǎn)角PABCD求C、E兩點(diǎn)的相對(duì)位移求鉸C兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角例10-2-1

求圖示1/4圓弧形曲梁B端的垂直位移、水平位移和轉(zhuǎn)角。P、R、EI

已知。PABR解：PABRABR（向下）(1)求B端的垂直位移（向左）(2)求B端的水平位移PABRABR（順時(shí)針）(3)求B端的轉(zhuǎn)角PABRABR例10-2-2

圓截面鋼架受力如圖，整個(gè)鋼架的抗扭剛度和抗彎剛度分別為GIp和EI，若不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，試求鋼架C截面沿豎直方向的位移。BC段：AB段：解：（向下）莫爾積分成為10.3計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法對(duì)等截面直桿，EI,GIp

或EA為常量。由于其中：是M圖形心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值。是M圖的面積；上述卷積計(jì)算法稱圖乘法。注意：⒈M

圖與圖在桿的同側(cè)時(shí)，圖乘為正；在桿的兩側(cè)時(shí)，圖乘為負(fù)。⒉若圖為折線，需分段圖乘。圖10-16給出了常用的面積和形心值。例10-3-1

外伸梁受載如圖所示。若抗彎剛度EI為常量，試求外伸端C的撓度。例10-3-2

帶中間鉸的靜定量（也稱為子母梁）結(jié)構(gòu)受載如圖示。已知抗彎剛度EI為常量，試求中間鉸C兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。10.4卡氏定理即：變形能對(duì)任一載荷的偏導(dǎo)數(shù)等于該載荷作用點(diǎn)沿載荷作用方向的位移。這是意大利工程師卡斯提列諾(AlbertoCastigliano，1847～1884)在1873年提出來(lái)的，也稱卡氏第二定理。證明：P1P2Pnδ1δ2δn(a)P1P2dPn+Pnδ2δnδ1(b)(a)圖：若給Pn

以增量dPn

，則：改變加載次序，先加dPn，然后再作用P1、

P2、…，則：(b)圖：忽略二階微量，即可得：P1P2Pnδ1δ2δnP1P2dPn+Pnδ2δnδ1(a)(b)注意：式中的位移和力均是廣義的。由U1=U2，則：卡氏第二定理卡氏定理的幾種常用形式

桁架設(shè)有m根桿，則變形能為:交換求導(dǎo)和積分的次序，有

直梁彎曲曲桿彎曲

組合變形例10-4-1

結(jié)構(gòu)如圖，試求A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。(1)求A截面的撓度AlPEI解：x(2)求A截面的轉(zhuǎn)角沒(méi)有與A向相對(duì)應(yīng)的力（廣義力），需加一附加力MfMfAlPEIxMfAlPEIx“負(fù)號(hào)”說(shuō)明

A與所加廣義力Mf方向相反。令得：注意：通常在積分前即令Mf=0，可使積分簡(jiǎn)單。例10-4-２

軸線為四分之一圓周的平面曲桿，曲桿的A端固定，自由端B上作用有豎直集中力P，求B點(diǎn)的豎直和水平位移。已知抗彎剛度EI為常量。(1)求B點(diǎn)的豎直位移δBV解：（向下）APBR（向右）APBRPf(2)求B點(diǎn)的水平位移δBH在B點(diǎn)附加一水平力Pf一、功的互等定理10.5功的互等定理和位移互等定理P1P212(c)（先作用P1，再作用P2）P1P212(d)（先作用P2，再作用P1）P112(a)P212(b)(c)圖(d)圖由U1=U2，得此即功的互等定理：載荷P1在由載荷P2引起的相應(yīng)位移上所做的功，等于載荷P2在由載荷P1引起的相