機(jī)械振動(dòng)講義連續(xù)系統(tǒng)

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)1引言力學(xué)模型的組成

連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具有分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)簡(jiǎn)化、離散化自由度n趨向于無(wú)窮連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別

連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)自由度連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。描述系統(tǒng)的變量有限個(gè)無(wú)窮多個(gè)時(shí)間時(shí)間和空間位置微分方程二階常微分方程組偏微分方程組方程消去時(shí)間變量后代數(shù)方程組微分方程的邊值問(wèn)題連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無(wú)質(zhì)量的弦連接n個(gè)離散的質(zhì)量mi。每個(gè)質(zhì)量上所受的力為Fi質(zhì)量mi的受力分析如圖。對(duì)質(zhì)量mi在y方向的受力和加速度運(yùn)用牛頓第二定律：由于弦兩端固定，因此有設(shè)或連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出或或兩邊除以Dxi當(dāng)質(zhì)量數(shù)無(wú)窮多時(shí)，Dxi趨近于零，方程可寫(xiě)成其中，由于用x替換了變量xi

，因此對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量比用對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)表示。連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出

設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)、兩端固定的弦上受均布載荷f(x,t)，弦上x(chóng)處的張力與單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度分別為T(x)和r(x)。

根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在微弦段上y方向的力與微弦段的加速度有如下關(guān)系

質(zhì)量為rAdx的微段dx，隔離體受力分析圖展開(kāi)、消去相關(guān)的項(xiàng)、略去dx的二次項(xiàng)，然后兩邊除以dx得或連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問(wèn)題方程邊界條件用分離變量法，設(shè)：代入方程：兩邊同除以Y(x)r(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為-w2：連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問(wèn)題從關(guān)于時(shí)間的方程

從關(guān)于位置x的方程可以確定位移的形狀Y(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件Y(0)=Y(L)=0。解得F(t)

上式為包含未知常數(shù)w2的二階常微分齊次方程，非平凡解Y(x)存在，且解中有兩個(gè)積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個(gè)。

從方程可以看出，如果Y(x)是偏微分方程的解，那么a

Y(x)（a是任意常數(shù)）也是方程的解。

這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程的未知常數(shù)wi和對(duì)應(yīng)的函數(shù)Yi

(x)。與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，wi2稱為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而Yi

(x)稱為特征函數(shù)（主振型）。連續(xù)系統(tǒng)

2

弦振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問(wèn)題

同樣地，與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，若特征函數(shù)Yi

(x)經(jīng)正則化處理，則它們關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)

與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數(shù)集Yi

(x)（i=1,2,…）的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的響應(yīng)。

代入方程，兩邊左乘Yi

(x)，并對(duì)整個(gè)區(qū)間[0,L]積分，利用特征函數(shù)的正交性：解為常數(shù)Ci和j

i由初始條件得到。連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動(dòng)自由振動(dòng)例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。解由題意，系統(tǒng)的T和r

為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知Y(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)由邊界條件Y(0)＝0可得B=0,則由邊界條件Y(L)＝0可得由于A不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為自由振動(dòng)例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。特征函數(shù)為正交性驗(yàn)證由正則化要求正則化的特征函數(shù)自由振動(dòng)例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證三角函數(shù)積化和差積分自由振動(dòng)例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證三角函數(shù)積化和差積分連續(xù)系統(tǒng)

3桿的縱向振動(dòng)振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出

設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)、兩端固定的桿上受均布軸向力f(x,t)，桿上x(chóng)處的軸向剛度與單位長(zhǎng)度質(zhì)量分別為E

A

(x)和m(x)。

根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的軸向內(nèi)力與軸向應(yīng)變成正比

取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或

根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關(guān)系自由振動(dòng)特征值問(wèn)題方程邊界條件用分離變量法，設(shè)：代入方程：兩邊同除以U(x)m

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為-w2：自由振動(dòng)特征值問(wèn)題從關(guān)于時(shí)間的方程

從關(guān)于位置x的方程可以確定位移的形狀U(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件U(0)=U(L)=0。解得F(t)與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較結(jié)論只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的Y(x)

、T(x)和r

(x)換作U(x)

、EA(x)

和m(x)

就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

2圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由邊界條件U(L)＝0可得由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

3圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)由x=0處的邊界條件可得a=0,則由x=L處的邊界條件可得由于b不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

4圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為由x=L處的邊界條件可得自由振動(dòng)特征值問(wèn)題討論作縱向振動(dòng)桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù)邊界狀況頻率振型函數(shù)兩端固定兩端自由一端固定一端自由自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

5設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：或固定端的邊界條件不變，U(0)＝0，而自由端有：代入整理得自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

5設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。對(duì)于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值wi

。特征方程由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)邊界條件由x＝L

處的邊界條件得或特征函數(shù)為U

i

為自由振動(dòng)特征值問(wèn)題討論作縱向振動(dòng)桿邊界條件的討論邊界狀況左端右端固定自由帶有彈簧k帶有集中質(zhì)量M振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出

設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩M(x,t)與軸的轉(zhuǎn)角q同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛度與單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為G

IP

(x)和J(x)。

根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之和與軸的剪應(yīng)變成正比

取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或

根據(jù)動(dòng)量矩定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關(guān)系自由振動(dòng)特征值問(wèn)題方程邊界條件用分離變量法，設(shè)：代入方程：兩邊同除以Q

(x)J

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為-w2：自由振動(dòng)特征值問(wèn)題從關(guān)于時(shí)間的方程

從關(guān)于位置x的方程可以確定位移的形狀Q

(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件。解得F(t)與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較結(jié)論只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的Y(x)

、T(x)和r

(x)換作Q

(x)

、GIP

(x)

和J(x)

就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

6圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知Q

(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)由邊界條件Q

(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為由x=L處的邊界條件可得自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

7設(shè)圖示軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1和J1的剛性薄圓盤組成，整個(gè)軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無(wú)約束。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：或兩邊的邊界條件為：自由振動(dòng)特征值問(wèn)題代入整理得例

7邊界條件利用自由振動(dòng)特征值問(wèn)題例

7分離變量后的方程從方程可知Q