高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 學(xué)案 有心二次曲線垂徑定理

有心二次曲線——課堂練習(xí)1.（2023年山東卷理科21題）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：

的離心率是，拋物線：的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn).（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交與不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn).（i）求證：點(diǎn)在定直線上;（ii）直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).附：參考答案【解析】（I）由題意知：，解得，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓的方程為（II）（=1\*romani）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，其直線方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程組消去并整理可得，故由其判別式可得且，故，代入可得因此，所以直線的方程為聯(lián)立可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上【用垂徑定理】，,所以，，又，所以，即點(diǎn)在定直線上.（=2\*romanii）由（=1\*romani）知直線的方程為，令得，所以，又，所以，，所以，令，則，因此當(dāng)，即時(shí)，最大，其最大值為，此時(shí)滿足，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為有心二次曲線——課后檢測（2023年浙江卷19題）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱．求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(2023年江蘇卷第18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k（1）當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；（3）對任意的，求證：.附：參考答案1.【解】(1)由題意知，可設(shè)直線的方程為.由消去，得.因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.①將線段中點(diǎn)代入直線方程解得.②由①②得或.【用垂徑定理】設(shè)中點(diǎn)，因?yàn)?，，則，即，又，所以，，又因?yàn)椋?2)令，則，且到直線的距離為.設(shè)的面積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．故面積的最大值為.【解】（1）由題設(shè)知，，故，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線平分線段，故直線過線段的中點(diǎn)，又直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以【用垂徑定理】因?yàn)?又，所以直線的方程為，代入橢圓方程，得，因此，于是，直線的斜率為1，故，因此，.解法一：將直線，代入，解得，記，則，，故直線的斜率為，方程為，