高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步單元測試學(xué)業(yè)分層測評12

學(xué)業(yè)分層測評(十二)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面面積為π，則球的體積為()\f(32,3)π \f(8π,3)C．8eq\r(2)π \f(8\r(2),3)π【解析】設(shè)球的半徑為R，截面的半徑為r.∵πr2＝π，∴r＝1，∴R＝eq\r(2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.【答案】D2．64個半徑都為eq\f(a,4)的球，記它們的體積之和為V甲，表面積之和為S甲；一個半徑為a的球，記其體積為V乙，表面積為S乙，則()A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲<V乙且S甲<S乙C．V甲＝V乙且S甲>S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙【解析】64個半徑都為eq\f(a,4)的球，它們的體積之和為V甲＝64×eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\f(a,4))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,3)πa3，表面積之和為S甲＝64×4πeq\b\lc\(\rc\)(\f(a,4))eq\s\up12(2)＝16πa2；一個半徑為a的球，其體積為V乙＝eq\f(4,3)πa3，表面積為S乙＝4πa2，所以V甲＝V乙且S甲>S乙，故選C.【答案】C3．一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1cm的金屬球，將它浸沒在底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當金屬球被拉出水面時，容器內(nèi)的水面下降了()\f(4,3)cm \f(3,16)cm\f(3,4)cm \f(1,3)cm【解析】設(shè)容器內(nèi)的水面下降了hcm，則球的體積等于水下降的體積，即eq\f(4,3)π·13＝π·22·h，解得h＝eq\f(1,3).【答案】D4．一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是eq\f(32π,3)，那么該三棱柱的體積是()【導(dǎo)學(xué)號：10690035】A．96eq\r(3) B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)【解析】用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如圖所示：設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4π,3)R3＝eq\f(32π,3)，所以R＝2.所以正三棱柱底面邊長a＝4eq\r(3)，其高h＝2R＝4，V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).【答案】D5．若與球相切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πrR D．π(R＋r)2【解析】法一：如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.法二：如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質(zhì)得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.【答案】C二、填空題6．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為________．【解析】如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，∵正四棱錐P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，∴該球的表面積為4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\f(9,4))eq\s\up12(2)＝eq\f(81π,4).【答案】eq\f(81π,4)7．如圖1-7-33是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________．圖1-7-33【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個半球與一個圓錐組合而成，所以其表面積為S＝S半球＋S側(cè)＝eq\f(1,2)×4π×12＋π×1×eq\r(5)＝(2＋eq\r(5))π.【答案】(2＋eq\r(5))π8．圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖1-7-34所示)，則球的半徑是________cm.圖1-7-34【解析】設(shè)球的半徑為r，放入3個球后，圓柱液面高度變?yōu)?r.則有πr2·6r＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，∴r＝4.【答案】4三、解答題9．(2023·汕頭高一檢測)設(shè)正方體的表面積為24，求其內(nèi)切球的體積及外接球的體積．【解】設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝24，∴a＝2，正方體內(nèi)切球的直徑等于其棱長，∴2r＝2，r＝1，故內(nèi)切球的體積V內(nèi)＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π.外接球的直徑等于正方體的對角線長，∴2R＝eq\r(3)a，∴R＝eq\r(3)，故外接球的體積V外＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.10.如圖1-7-35，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的體積．(其中∠BAC＝30°)圖1-7-35【解】過C作CO1⊥AB于O1，在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R.AO1＝AC·sin60°＝eq\f(3,2)R，BO1＝AB－AO1＝eq\f(R,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3.V圓錐AO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\f(\r(3),2)R)eq\s\up12(2)·eq\f(3,2)R＝eq\f(3,8)πR3，V圓錐BO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\f(\r(3),2)R)eq\s\up12(2)·eq\f(1,2)R＝eq\f(1,8)πR3，V幾何體＝V球－Veq\s\do10(圓錐AO1)－Veq\s\do10(圓錐BO1)＝eq\f(4,3)πR3－eq\f(3,8)πR3－eq\f(1,8)πR3＝eq\f(5,6)πR3.[能力提升]1．如圖1-7-36，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()圖1-7-36\f(500π,3)cm3 \f(866π,3)cm3\f(1372π,3)cm3 \f(2048π,3)cm3【解析】如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．【答案】A2．(2023·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36π B．64πC．144π D．256π【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO-ABC＝VC-AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π，故選C.【答案】C3．一個四面體的所有棱長都為eq\r(2)，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為________．【解析】如圖，把四面體ABCD補成正方體，則正方體的棱長為1，正方體的體對角線長等于外接球的直徑，球的直徑2R＝eq\r(3)，球的表面積S＝4πR2＝3π.【答案】3π4．已知正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為eq\r(2)a，求它的外接球的體積．【解】如圖，作PE垂直底面ABCD于E，則E在AC上．設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，連接OA，OC，則OA＝OC＝OP，