高中數(shù)學(xué)人教B版第三章基本初等函數(shù) 高質(zhì)作品學(xué)業(yè)分層測評22

學(xué)業(yè)分層測評(二十二)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.設(shè)f(x)＝3x＋9，則f－1(x)的定義域是()A.(0，＋∞) B.(9，＋∞)C.(10，＋∞) D.(－∞，＋∞)【解析】∵f(x)＝3x＋9>9，∴反函數(shù)的定義域為(9，＋∞)，故選B.【答案】B2.設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－1，c＝logeq\f(2,3)x，若x>1，則a，b，c的大小關(guān)系為()<b<c <c<a<a<b <a<c【解析】∵x>1，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，∴0<a<b，而y＝logeq\f(2,3)x是減函數(shù)，∴l(xiāng)ogeq\f(2,3)x<logeq\f(2,3)1＝0.∴c<a<b.故選C.【答案】C3.已知函數(shù)y＝ex的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則()(2x)＝e2x(x∈R)(2x)＝ln2·lnx(x>0)(2x)＝2ex(x∈R)(2x)＝lnx＋ln2(x>0)【解析】由y＝ex得f(x)＝lnx，∴f(2x)＝ln2x＝ln2＋lnx(x>0).【答案】D4.函數(shù)y＝x＋2(x∈R)的反函數(shù)為()＝2－y ＝y(tǒng)－2＝2－x(x∈R) ＝x－2(x∈R)【解析】由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y(tǒng)－2(x∈R).互換x，y，得y＝x－2(x∈R).【答案】D5.已知函數(shù)y＝log3(3－x)(0≤x<3)，則它的反函數(shù)是()＝3－3x(x≥0) ＝3＋3x(x≤1)＝3＋3x(x≥0) ＝3－3x(x≤1)【解析】由y＝log3(3－x)，得3－x＝3y，∴x＝3－3y，∴有f－1(x)＝3－3x，排除B、C，∵原函數(shù)中0≤x<3，∴0<3－x≤3，∴y＝log3(3－x)≤1，所以f－1(x)的定義域為x≤1，故選D.【答案】D二、填空題6.若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f－1(x)＝x2(x>0)，則f(4)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：60210091】【解析】設(shè)f(4)＝b，則4＝f－1(b)＝b2且b>0，∴b＝2.【答案】27.已知函數(shù)y＝ax＋b的圖象過點(1,4)，其反函數(shù)的圖象過點(2,0)，則a＝________，b＝________.【解析】由函數(shù)y＝ax＋b的圖象過點(1,4)，得a＋b＝4.由反函數(shù)的圖象過點(2,0)，則原函數(shù)圖象必過點(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.【答案】318.設(shè)函數(shù)g(x)的圖象與f(x)＝eq\f(2x＋1,4x＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠－\f(3,4)))的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則g(2)的值等于________.【解析】∵g(x)的圖象與f(x)＝eq\f(2x＋1,4x＋3)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，∴g(x)與f(x)互為反函數(shù)，由eq\f(2x＋1,4x＋3)＝2，解得x＝－eq\f(5,6)，∴g(2)＝－eq\f(5,6).【答案】－eq\f(5,6)三、解答題9.求函數(shù)y＝2x＋1(x<0)的反函數(shù).【解】因為y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.所以1<y<2.由2x＝y(tǒng)－1，得x＝log2(y－1).所以f－1(x)＝log2(x－1)(1<x<2).10.已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x).【解】(1)要使函數(shù)有意義，必須ax－1>0，當(dāng)a>1時，x>0；當(dāng)0<a<1時，x<0.∴當(dāng)a>1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)；當(dāng)0<a<1時，f(x)的定義域為(－∞，0).(2)當(dāng)a>1時，設(shè)0<x1<x2，則1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴l(xiāng)oga(ax1－1)<loga(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2).故當(dāng)a>1時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；類似地，當(dāng)0<a<1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù).(3)令y＝loga(ax－1)，則ay＝ax－1，∴x＝loga(ay＋1).∴f－1(x)＝loga(ax＋1).由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，∴a2x－1＝ax＋1，解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.[能力提升]1.設(shè)a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，則()＜b＜c ＜c＜a＜a＜b ＜b＜a【解析】a＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，而log23＞log2e＞1，所以a＜b.又c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))，而eq\r(5)＞2＝log24＞log23，所以c＜a.綜上知c＜a＜b.【答案】C2.設(shè)函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的圖象過點(2,1)，其反函數(shù)的圖象過點(2,8)，則a＋b等于() 【解析】f(x)＝loga(x＋b)的反函數(shù)為f－1(x)＝ax－b，又f(x)過點(2,1)，∴f－1(x)過點(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a2－b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,a＝－2，))又a>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))∴a＋b＝4.【答案】B3.函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<0，,ex，x≥0))的反函數(shù)是________.【導(dǎo)學(xué)號：60210092】【解析】當(dāng)x<0時，y＝x＋1的反函數(shù)是y＝x－1，x<1；當(dāng)x≥0時，y＝ex的反函數(shù)是y＝lnx，x≥1.故原函數(shù)的反函數(shù)為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1.))【答案】y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1))4.設(shè)a>0，且a≠1，函數(shù)y＝ax2－2x＋3有最大值，求函數(shù)f(x)＝loga(3－2x)的單調(diào)區(qū)間.【解】設(shè)t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.當(dāng)x∈R時，t有最小值，為2.∵y＝ax2－2x＋3有最大值，∴0<a<1.由f(x)＝loga(3－2x)，得其定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).設(shè)u(x)＝3－2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，則f(x)＝logau(x).∵u(x)＝3－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a