高中數(shù)學人教A版第一章空間幾何體 同課異構

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側面積的比是()\f(1＋4π,4π) \f(1＋2π,2π)\f(1＋2π,π) \f(1＋4π,2π)解析：設圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則l＝2πr，S表＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr·2πr＝2πr2(1＋2π)，S側＝2πr·l＝2πr·2πr＝4π2r2，∴S表∶S側＝eq\f(1＋2π,2π).答案：B2．圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是16eq\r(2)π，則圓錐的體積是()\f(64π,3) \f(128π,3)C．64π D．128eq\r(2)π解析：設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h(如圖所示)，則由題意得l＝eq\r(2)r，h＝r，∵S圓錐側＝πrl＝πr·eq\r(2)r＝16eq\r(2)π，∴r＝4，l＝4eq\r(2)，h＝r＝4，∴V圓錐＝eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(1,3)π×42×4＝eq\f(64π,3).答案：A3．已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．108cm3 B．100cm3C．92cm3 D．84cm3解析：根據(jù)三視圖還原出幾何體，再根據(jù)幾何體的形狀及相應的尺寸求其體積．此幾何體為一個長方體ABCD－A1B1C1D1被截去了一個三棱錐A－DEF，如圖所示，其中這個長方體的長、寬、高分別為6、3、6，故其體積為6×3×6＝108(cm3)．三棱錐的三條棱AE，AF，AD的長分別為4、4、3，故其體積為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×3))×4＝8(cm3)，所以所求幾何體的體積為108－8＝100(cm3)．答案：B4．一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐的側面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8解析：由正視圖得出四棱錐的底面邊長與高，進而求出側面積與體積．由正視圖知：四棱錐的底面是邊長為2的正方形，四棱錐的高為2，∴V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).四棱錐的側面是全等的等腰三角形，底為2，高為eq\r(5)，∴S側＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5).答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)5．(2023·安慶市石化一中高二(上)期中)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于________cm3.解析：幾何體為三棱柱去掉一個三棱錐后的幾何體，底面是直角三角形，直角邊長分別為3,4，側面的高為5，被截取的棱錐的高為3.如圖：V＝V棱柱－V棱錐＝eq\f(1,2)×3×4×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝24(cm3)．答案：246．(2023·蚌埠市五河高中高二(上)期中)圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，則圓錐的表面積是________．解析：因為圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，所以圓錐的側面積等于扇形的面積＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，設圓錐的底面圓的半徑為r，因為扇形的弧長為eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圓的面積為eq\f(4,9)π.所以圓錐的表面積為eq\f(16,9)π.答案：eq\f(16,9)π7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：將三視圖還原為原來的幾何體，再利用體積公式求解．原幾何體為組合體：上面是長方體，下面是圓柱的一半(如圖所示)，其體積為V＝4×2×2＋eq\f(1,2)π×22×4＝16＋8π.答案：16＋8π三、解答題(每小題10分，共20分)8.如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點．設三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，求V1∶V2.解析：通過點D，E，F(xiàn)為中點得出三棱柱與三棱錐的底面面積以及高之間的關系，然后利用體積公式得到體積之間的比值．設三棱柱的底面ABC的面積為S，高為h，則其體積為V2＝Sh.因為D，E分別為AB，AC的中點，所以△ADE的面積等于eq\f(1,4)S.又因為F為AA1的中點，所以三棱錐F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱錐F－ADE的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.9.如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？解析：因為圓錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))