高中數學人教A版1本冊總復習總復習 課后提升作業(yè)二十五

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)二十五生活中的優(yōu)化問題舉例(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.用長為24m的鋼筋做成一個長方體框架,若這個長方體框架的底面為正方形,則這個長方體體積的最大值為() 【解析】選A.設長方體的底面邊長為xm,則高為(6-2x)m,所以0<x<3,則V=x2·(6-2x)=6x2-2x3,V′=12x-6x2,令V′=0得x=2或x=0(舍),所以當x∈(0,2)時,V是增函數,當x∈(2,3)時,V是減函數,所以當x=2時,Vmax=4×2=8(m3).2.某工廠需要建一個面積為512m2的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,則要使砌墻所用材料最省,則堆料場的長和寬各為()m,16m m,16mm,8m m,8m【解析】選B.如圖所示,設場地一邊長為xm,則另一邊長為512xm.因此新墻總長度L=2x+512L′=2-512x因為L在(0,+∞)上只有一個極值點,所以它必是最小值點.因為x=16,所以512x故當堆料場的寬為16m,長為32m時,可使砌墻所用的材料最省.【拓展延伸】求幾何體面積或體積的最值問題的關鍵:1.分析幾何體的幾何特征,根據題意選擇適當的量建立面積或體積的函數,2.再用導數求最值.3.某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務,經預算,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數為k(k>0).已知貸款的利率為,且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去.設存款利率為x,x∈(0,,若使銀行獲得最大收益,則x的取值為()2 4 3 6【解析】選B.依題意,存款量是kx2,銀行支付的利息是kx3,獲得的貸款利息是,其中x∈(0,.所以銀行的收益是y=(0<x<,則y′=.令y′=0,得x=或x=0(舍去).當0<x<時,y′>0;當<x<時,y′<0.所以當x=時,y取得最大值,即當存款利率為時,銀行獲得最大收益.4.要做一個圓錐形漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大,則其高應為()2033 20【解析】選A.設高為xcm,則底面半徑為400-所以圓錐體積V=13π·(400-x2=π(400x-x3)3令V′=0,得x=2033或x=經判斷可得x=2035.(2023·梅州高二檢測)設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,則其表面積最小時,底面邊長為()A.3V B.32V C.34V【解析】選C.如圖,設底面邊長為x(x>0),則底面積S=34x2所以h=VS=4S表=x·4V3x2×3+34x2×2=4S′表=3x-43Vx2,令S′因為S表只有一個極值,故x=34V6.把一個周長為12cm的長方形作為一個圓柱的側面,當圓柱的體積最大時,該圓柱底面周長與高的比為()∶2 ∶π ∶1 ∶π【解析】選C.設圓柱高為x,底面半徑為r,則r=6-x2π,圓柱體積V=π=14π(x3-12x2V′=34π當x=2時,V最大.此時底面周長為4,底面周長∶高=4∶2=2∶1.7.三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,則三棱錐O-ABC體積的最大值為() C.43 D.【解析】選=13×2x22·y=x2V′=6x-3x2令V′=0,得x=2或x=0(舍去),所以x=2時,V最大為438.(2023·昆明高二檢測)某公司生產一種產品,固定成本為20000元,每生產一單位的產品,成本增加100元,若總收入R與年產量x的關系是R(x)=-x是() 【解析】選D.因為總利潤p(x)=-當0≤x≤390時,p′(x)=-1300x2+30令p′(x)=0,得x=±300,當x∈(0,300)時,p′(x)>0,p(x)遞增,當x∈(300,390)時,p′(x)<0,p(x)遞減,所以當x=300時,p(x)有最大值40000元,當x>390時,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,所以當x=300時,總利潤最大.【補償訓練】某廠生產某產品x(萬件)的總成本C(x)=1200+275x3萬件 萬件萬件 萬件【解析】選B.設單價為a萬元,由題意知a2=kx且502=k100,所以k=502×100=25×10所以a2=25×104x,總利潤y=a·x-C(x)=500x·x-1200+275x3=500×y′=250x

-12-令y′=0得x=25,所以產量定為25萬件時總利潤最大.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2023·河源高二檢測)把長為60cm的鐵絲圍成矩形,長為,寬為時,矩形的面積最大.【解析】設長為xcm,則寬為(30-x)cm,此時S=x·(30-x)=30x-x2,S′=30-2x=0,所以x=15.所以長為15cm,寬為15cm時,矩形的面積最大.答案:15cm15cm【補償訓練】若商品的年利潤y(萬元)與年產量x(百萬件)的函數關系式y=-x3+27x+123(x>0),則獲得最大利潤時的年產量為百萬件.【解析】依題意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),當0<x<3時,y′>0;當x>3時,y′<0.因此,當x=3時,該商品的年利潤最大.答案:310.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站千米處.【解析】設倉庫與車站相距x千米,依題意可設每月土地占用費y1=k1x,每月庫存貨物的運費y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離,k1,k于是由2=k110得k1=20;由8=10k2得k2=所以兩項費用之和為y=20x+4y′=-20x2+45得x=5或x=-5(舍去).當0<x<5時,y′<0;當x>5時,y′>0.所以當x=5時,y取得極小值,也是最小值.所以當倉庫建在離車站5千米處時,兩項費用之和最小.答案:5三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2023·韶關高二檢測)已知A,B兩地相距200km,一只船從A地逆水行駛到B地,水速為8km/h,船在靜水中的速度為vkm/h(8<v≤v0).若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比,當v=12km/h,每小時的燃料費為720元,為了使全程燃料費最省,船的實際速度為多少?【解析】設每小時的燃料費為y1元,比例系數為k(k>0),則y1=kv2,當v=12時,y1=720,所以720=k·122,得k=5.設全程燃料費為y元,由題意y=y1·200v-8=1所以y′=2=1000令y′=0,得v=16,所以當v0≥16,v=16km/h時全程燃料費最省,ymin=32000(元);當v0<16,v∈(8,v0]時,y′<0,即y在(8,v0]上為減函數,所以當v=v0時,ymin=1000綜上,當v0≥16,v=16km/h時,船的實際速度為16-8=8(km/h),此時全程燃料費最省,為32000元;當v0<16,v=v0時,船的實際速度為(v0-8)km/h,此時全程燃料費最省,為1000【誤區(qū)警示】忽視定義域致錯本題在解題過程中容易忽視定義域,誤以為v=16時取得最小值.本題的關鍵是弄清極值點是否在定義域范圍內.12.某種產品每件成本為6元,每件售價為x元(6<x<11),年銷量為u萬件,若已知5858-u與x(1)求年利潤y萬元關于售價x的函數關系式.(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.【解析】(1)設5858-u=kx因為售價為10元時,年銷量為28萬件,所以5858-28=k10所以u=-2x-21=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).(2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,顯然,當x∈(6,9)時,y′>0;當x∈(9,11)時,y′<0.所以函數y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.所以當x=9時,ymax=135,所以售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.【補償訓練】某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為x,y(單位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的總面積為8m2,問:x,y分別是多少時用料最省?(精確到【解析】依題意,有xy+12·x·x所以y=8-x24x=8于是框架用料長度為l=2x+2y+22x2=32l′=32+2-16解得x1=8-42,x2=42-8(舍去).當0<x<8-42時,l′<0;當8-42<x<42時,l′>0,所以當x=8-42時,l取得最小值,此時,x=8-42≈(m),y≈.即當x為,y為時,用料最省.【能力挑戰(zhàn)題】請您設計一個帳篷,它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時,帳篷的體積最大?最大體積是多少?【解題指南】帳篷可看做一個正六棱錐與一個正六棱柱的組合體.【解析】設OO1為xm,則1<x<4.由題設可得正六棱錐底面邊長為32-(x-1)于是底面正六邊