高中數(shù)學(xué)北師大版5第二章幾個(gè)重要的不等式

第二章§1、2一、選擇題1．已知3x＋y＝10，則x2＋y2的最小值為()A．eq\f(1,10) B．1C．10 D．100答案：C2．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋2y2≤6，則2x＋y的最大值為()A．eq\r(11) B．4C．2eq\r(3) D．eq\r(13)解析：由柯西不等式知(2x＋y)2≤(eq\f(4,3)＋eq\f(1,2))(3x2＋2y2)≤eq\f(11,6)×6＝11，∴2x＋y≤eq\r(11).答案：A3．已知a，b，c，d，e是滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的實(shí)數(shù)，則e的最大值為()A．3 B．4C．5 D．eq\f(16,5)解析：∵(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)，∴(8－e)2≤4(16－e2)，∴0≤e≤eq\f(16,5).答案：D4．下面幾個(gè)不等式正確的個(gè)數(shù)是()(1)a，b，c，d∈R，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；(2)a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da(a，b，c，d∈R)；(3)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，則a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)；(4)若a，b∈(0，＋∞)，則(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)答案：D二、填空題5．方程eq\r(4x＋3)＋2eq\r(1－2x)＝eq\r(15)的解為_(kāi)_______．解析：將原方程變形為：15＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)·\r(2x＋\f(3,2))＋2·\r(1－2x)))2≤[(eq\r(2))2＋22]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2x＋\f(3,2))))2＋\r(1－2x)2))＝15，其中等號(hào)成立的充要條件是eq\f(\r(2x＋\f(3,2)),\r(2))＝eq\f(\r(1－2x),2)，解得x＝－eq\f(1,3).答案：x＝－eq\f(1,3)6．已知a∈R，若關(guān)于x的方程x2＋x＋|a－eq\f(1,4)|＋|a|＝0有實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：∵二次方程x2＋x＋|a－eq\f(1,4)|＋|a|＝0有實(shí)根，則由Δ＝1－4(|a－eq\f(1,4)|＋|a|)≥0得|a－eq\f(1,4)|＋|a|≤eq\f(1,4)，由絕對(duì)值的幾何意義知，0≤a≤eq\f(1,4).故填0≤a≤eq\f(1,4).答案：0≤a≤eq\f(1,4)三、解答題7．設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc).所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc.而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3)，所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).8．設(shè)a，b，c，d為正數(shù)，a＋b＋c＋d＝1，求a2＋b2＋c2＋d2的最小值．解析：∵a，b，c，d為正數(shù)，∴由柯西不等式得(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2.∵a＋b＋c＋d＝1，∴4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，即a2＋b2＋c2＋d2≥eq\f(1,4).∴a2＋b2＋c2＋d2的最小值為eq\f(1,4).9．已知：α、β、γ為空間向量．求證|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.證明：|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.證明：設(shè)α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，γ＝(c1，c2，c3)，則α－β＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，β－γ＝(b1－c1，b2－c2，b3－c3)，γ－α＝(c1－a1，c2－a2，c3－a3)，則|α－β|＝eq\r(a1－b12＋a2－b22＋a3－b32)，|β－γ|＝eq