高中數(shù)學北師大版1第二章空間向量與立體幾何空間向量的運算 第2章

§2空間向量的運算1．會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律．(重點)2．會利用兩個空間向量共線的充要條件解決有關(guān)問題．(難點)3．能夠利用空間向量的數(shù)量積的定義求兩個向量的數(shù)量積．(重點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1空間向量的運算閱讀教材P29～P30的部分，完成下列問題．空間向量的運算定義(或法則)運算律空間向量的加減法加法設(shè)a和b是空間兩個向量，過一點O作a和b的相等向量eq\o(OA,\s\up12(→))和eq\o(OB,\s\up12(→))，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對角線OC對應(yīng)的向量eq\o(OC,\s\up12(→))就是a與b的和，記作a＋b，如圖所示①結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；②交換律：a＋b＝b＋a減法與平面向量類似，a與b的差定義為a＋(－b)，記作a－b，其中－b是b的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量a與一個實數(shù)λ的乘積是一個向量，記作λa，滿足：①|(zhì)λa|＝|λ||a|②當λ＞0時，λa與a方向相同；當λ＜0時，λa與a方向相反；當λ＝0時，λa＝0①λa＝aλ(λ∈R)②λ(a＋b)＝λa＋λb(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．空間向量的數(shù)量積空間兩個向量a和b的數(shù)量積是一個數(shù)，等于|a||b|cos〈a，b〉，記作a·b①交換律：a·b＝b·a②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)與數(shù)量積有關(guān)的結(jié)論①|(zhì)a|＝eq\r(a·a)②a⊥b?a·b＝0③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)實數(shù)與向量之間可進行加法、減法運算．()(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0.()【解析】(1)實數(shù)與向量之間不能進行加、減法運算．(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0，注意0與0的區(qū)別．【答案】(1)×(2)×2．如圖2-2-1所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))－eq\o(BB1,\s\up12(→))＝()圖2-2-1\o(AB1,\s\up12(→)) B．eq\o(DC,\s\up12(→))\o(AD,\s\up12(→)) D．eq\o(BA,\s\up12(→))【解析】eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))－eq\o(BB1,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1B1,\s\up12(→))＋eq\o(B1B,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1B,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→)).【答案】B3．在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，則eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))為________．【解析】eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→)).【答案】eq\o(AD,\s\up12(→))4．若空間向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，求a·a＋a·b＝_____.【解】由空間向量數(shù)量積的性質(zhì)a·a＝|a|2＝1，由空間向量數(shù)量積的定義得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，從而a·a＋a·b＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).教材整理2共線向量定理閱讀教材P29“定理”的部分，完成下列問題．空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)若向量a，b共線，則一定存在實數(shù)λ，使得a＝λb.()【解析】當a≠0，b＝0，實數(shù)λ不存在．【答案】×教材整理3單位向量閱讀教材P31“例2”以上的部分，完成下列問題．對于任意一個非零向量a，我們把eq\f(a,|a|)叫作向量a的單位向量，記作a0，a0與a同方向．[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]空間的線性運算(1)已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(CB,\s\up12(→))＝b，eq\o(AD,\s\up12(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up12(→))等于()A．a(chǎn)＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c【自主解答】eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝－eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝－a＋b＋c【答案】C(2)化簡(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝________.【自主解答】法一：(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.法二：(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DB,\s\up12(→)))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.【答案】0(3)如圖2-2-2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算的結(jié)果為eq\o(AC1,\s\up12(→))的共有()圖2-2-2①(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(CC1,\s\up12(→))；②(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))；③(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BB1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))；④(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1B1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→)).A．1個 B．2個C．3個 D．4個【自主解答】①(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(CC1,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋CC1＝eq\o(AC1,\s\up12(→))；②(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AD1,\s\up12(→))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AC1,\s\up12(→))；③(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BB1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AC1,\s\up12(→))；④(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1B1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AC1,\s\up12(→)).【答案】D1．在運算時，要注意運算律的應(yīng)用，在例題中，利用向量加法的結(jié)合律以及數(shù)乘向量的分配律簡化了計算．2．對向量式的化簡，要結(jié)合圖形，充分利用圖形的性質(zhì)．空間向量的共線定理的應(yīng)用如圖2-2-3四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷eq\o(CE,\s\up12(→))與eq\o(MN,\s\up12(→))是否共線？圖2-2-3【精彩點撥】要判斷eq\o(CE,\s\up12(→))與eq\o(MN,\s\up12(→))是否共線，由共線向量定理可判斷是否存在實數(shù)λ使eq\o(CE,\s\up12(→))＝λeq\o(MN,\s\up12(→)).若存在，則eq\o(CE,\s\up12(→))與eq\o(MN,\s\up12(→))共線；否則，eq\o(CE,\s\up12(→))與eq\o(MN,\s\up12(→))不共線．【自主解答】∵M，N分別是AC，BF的中點，而四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→)).又eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MC,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))＋eq\o(EB,\s\up12(→))＋eq\o(BN,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))－eq\o(AF,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))－eq\o(AF,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→)).∴eq\o(CE,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋2eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FB,\s\up12(→))＝2(eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FN,\s\up12(→)))＝2eq\o(MN,\s\up12(→))，即eq\o(CE,\s\up12(→))＝2eq\o(MN,\s\up12(→)).∴eq\o(CE,\s\up12(→))∥eq\o(MN,\s\up12(→))，即eq\o(CE,\s\up12(→))與eq\o(MN,\s\up12(→))共線．1．判定向量a與b共線就是要找到實數(shù)λ，使得a＝λb成立．要充分運用空間向量的運算法則，同時結(jié)合空間圖形，化簡得a＝λb，從而判定a與b共線．2．向量共線定理是證明三點共線，線線平行問題的重要依據(jù)，有關(guān)空間和平面幾何中的線線平行問題均可轉(zhuǎn)化為向量的共線問題．[再練一題]1．如圖2-2-4，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點，且eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，eq\o(CG,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up12(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．【導學號：32550024】圖2-2-4【證明】∵E、H分別是AB、AD的中點，∴eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AH,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(EH,\s\up12(→))＝eq\o(AH,\s\up12(→))－eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\f(3,2)eq\o(CG,\s\up12(→))－eq\f(3,2)eq\o(CF,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up12(→))，∴eq\o(EH,\s\up12(→))∥eq\o(FG,\s\up12(→))且|eq\o(EH,\s\up12(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up12(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up12(→))|.又F不在EH上，∴四邊形EFGH是梯形．[探究共研型]空間向量的數(shù)量積的特征探究1如何正確地理解空間向量的數(shù)量積？【提示】(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，其符號由夾角θ的余弦值的符號決定；θ為銳角時，a·b＞0，但a·b＞0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b＜0，但a·b＜0時，θ可能為π.(3)當a≠0時，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，這是因為任一個與a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.探究2在應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運算律時要注意什么？【提示】要準確區(qū)分兩向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量、實數(shù)與實數(shù)的乘積之間的差異．注意以下幾點：(1)數(shù)量積的運算不滿足約去律，即a·b＝b·c推不出a＝c.(2)數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．(3)數(shù)量積的運算不滿足除法，即對于向量a，b，若a·b＝k，不能得到a＝eq\f(k,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或b＝\f(k,a))).例如當非零向量a，b垂直時，a·b＝0，但a＝eq\f(0,b)顯然是沒有意義的．探究3如何靈活地應(yīng)用空間向量的數(shù)量積公式？【提示】空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用主要有以下三個方面：(1)利用|a|＝eq\r(a2)，求線段的長；(2)利用cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求兩直線所成的角；(3)利用a⊥b?a·b＝0，證明兩直線垂直．如圖2-2-5所示，已知正四面體O-ABC的棱長為1.圖2-2-5求(1)eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→)))．【精彩點撥】在正四面體中，所有棱的長度都相等，每一個面都是正三角形，所以從同一頂點出發(fā)的任意兩條棱所對應(yīng)向量間的夾角等于60°或120°(與方向有關(guān))．【自主解答】如圖所示．(1)eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝|eq\o(OA,\s\up12(→))|·|eq\o(OB,\s\up12(→))|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).(2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→)))＝(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))＝(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))－2eq\o(OC,\s\up12(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.數(shù)量積的定義式、數(shù)量積的運算律、模與向量的數(shù)量積關(guān)系是重要的基礎(chǔ)知識點．正四面體中從同一頂點出發(fā)的任意兩條棱的夾角有兩種情況，應(yīng)注意向量的方向．[再練一題]2．本例條件不變，求|eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))|.【解】|eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))|＝eq\r(\o(OA,\s\up12(→))＋\o(OB,\s\up12(→))＋\o(OC,\s\up12(→))2)＝eq\r(\a\vs4\al(\o(OA,\s\up12(→)))2＋\o(OB,\s\up12(→))2＋eq\o(OC,\s\up12(→))2＋2eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＋2eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OC,\s\up12(→))＋2eq\o(OB,\s\up12(→))·eq\o(OC,\s\up12(→)))＝eq\r(12＋12＋12＋2×1×1×cos60°×3)＝eq\r(6).[構(gòu)建·體系]1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up12(→))＝a，eq\o(CB,\s\up12(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up12(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up12(→))等于()A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c【解析】eq\o(A1B,\s\up12(→))＝eq\o(A1C1,\s\up12(→))＋eq\o(C1C,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝－a＋b－c.【答案】D2．下列命題中正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a與c所在直線平行B．向量a，b，c共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個向量共面D．若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb【解析】a∥b，b∥c則a∥c，a與c所在直線可能平行也可能重合，故選項A錯誤，選項B中它們所在直線可能不共面；當b＝0，a≠0時，不存在λ使得a＝λb，故選項D錯誤，故選C.【答案】C3．如圖2-2-6已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(C1B,\s\up12(→))＝()圖2-2-6A．－2 B．2C．－1 D．1【解析】eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(C1B,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(D1A,\s\up12(→))＝(eq\r(2))2cos〈eq\o(AB1,\s\up12(→))，eq\o(D1A,\s\up12(→))〉＝2cos(180°－60°)＝2cos120°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1.故選C.【答案】C4．設(shè)a，b