平面連桿機構(gòu)綜合的解析法

平面連桿機構(gòu)綜合的解析法第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日2，根據(jù)所要實現(xiàn)的從動件的運動規(guī)律不同，一般將連桿機構(gòu)尺度綜合分為下列三個基本問題：(1)剛體導(dǎo)引機構(gòu)綜合，或稱為位置綜合該綜合要求能引導(dǎo)某個構(gòu)件(剛體)按次序經(jīng)過若干個給定的位置。例如圖5-1所示的手術(shù)椅、工作中需要它能處于圖示的三個位置。若用連桿機構(gòu)來實現(xiàn)該功能時，就是一個三位置剛體導(dǎo)引機構(gòu)綜合問題。(2)函數(shù)生成機構(gòu)綜合該綜合要求連桿機構(gòu)的輸入和輸出構(gòu)件間的位移關(guān)系滿足預(yù)先給定的函數(shù)關(guān)系。

(3)軌跡生成機構(gòu)綜合該綜合要求機構(gòu)中連桿上某點沿給定的軌跡運動。如圖所示軋輥機構(gòu)第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日

連桿機構(gòu)綜合所用的方法有解析法和幾何法。解析法根據(jù)運動學(xué)原理建立設(shè)計方程，然后解析求解或用計算機求數(shù)值解。幾何法應(yīng)用運動幾何學(xué)的原理作圖求解。在解析法中又分精確點法綜合和近似綜合。3，機構(gòu)的綜合可分為三個階段：（1）選擇合適的機構(gòu)類型，即型綜合；（2）按所需要的自由度確定機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)與運動副數(shù)；即數(shù)綜合（3）尺度綜合，通過計算，確定機構(gòu)的基本尺寸；4，機構(gòu)的檢驗準(zhǔn)則對通過上述過程得到的平面連桿機構(gòu)，是否合適，應(yīng)符合以下準(zhǔn)則：第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日（1）有曲柄準(zhǔn)則曲柄存在準(zhǔn)則：最短桿與最長桿之和≤其余兩桿長度之和；在此條件下，取最短桿或與最短桿相鄰接的構(gòu)件作機架，必有曲柄。（2）運動連續(xù)性準(zhǔn)則(3)運動的順序準(zhǔn)則平面機構(gòu)運動綜合中,應(yīng)符合規(guī)定的運動順序要求。（4）傳力準(zhǔn)則機構(gòu)的最小傳動角≥40°。第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日5-2剛體位移矩陣一、剛體繞坐標(biāo)原點的旋轉(zhuǎn)矩陣

剛體上的一個矢量就能完全確定此剛體在平面中的位置。圖5-3表示剛體上一個矢量由位置v1，繞原點旋轉(zhuǎn)a角到位置v2

。兩者的關(guān)系為由于Z軸不變,上式寫成矩陣簡化記為:第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日

前面公式的意義:在于知道剛體第一個位置的坐標(biāo)后，可以用第一個位置的坐標(biāo)和轉(zhuǎn)角，來表示剛體轉(zhuǎn)動后的坐標(biāo)。二，剛體平面運動的一般情況（轉(zhuǎn)動+移動）

如圖所示，平面上某剛體由初始位置運動到末位置。該一般位移可以分解為隨同基點的平動和相對基點的轉(zhuǎn)動。

已知條件：剛體的初始位置q1，P1，剛體在其余位置時，相對于初始位置的轉(zhuǎn)角θ1j和Pjx，Pjy，

求：剛體平面運動后的坐標(biāo)；qjx，qjy解;剛體先作定軸轉(zhuǎn)動:qj’‘第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日再加上沿x,y軸的移動：轉(zhuǎn)動在X方向的移動第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日上式可以簡記為：

對作一般平面運動的剛體,從位置1到位置j,根據(jù)理論力學(xué)的瞬心法，可以在平面內(nèi)找到一個瞬心P0。如圖所示：P1q1PjqjP0

在采用瞬心作為參考點的情況下，Pj=P1=P0，由于轉(zhuǎn)動的效果相同，且d13j，d23j是已知的，所以：解出瞬心P0x，P0y第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日

如圖5-5所示，給定剛體的若干個位置，其上某點a相應(yīng)位置為a1、a2、…aj，若它們位于一圓弧上，則該點稱為圓點，可作為連架桿與連扦的鉸接點，而該圓弧的圓心a0。可作為連架桿與機架的鉸接點。5-3，剛體導(dǎo)引機構(gòu)的綜合一，連桿的三位置綜合以知條件：給定連桿的三個位置，即三個參考點坐標(biāo)P1，P2，P3，和兩個相對轉(zhuǎn)角θ12，θ13。

求：四桿機構(gòu)的基本尺寸。公式推導(dǎo)：第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日由此可得平面R-R導(dǎo)引桿的位移約束方程—定長方程。

若給定連桿的三個位置，這時定長方程中的j＝2、3，連架R-R導(dǎo)引桿的長度約束方程為：方程中：a0（a0x，a0y），a1，a2，a3點均為未知數(shù)，共8個Rotation第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日

對四桿機構(gòu)來講，a點也在連桿上，隨連桿作一般平面運動，所以，滿足前面講的剛體一般平面運動方程。

在這個方程組里面，可以用a1（a1x，a1y）來表示a2（a2x，a2y），a3代回到定長方程中，消去a2，a3。

在定長方程中，還有a0和a1，共4個未知數(shù)，但只有兩個方程。如何解？

選定定鉸點坐標(biāo)a0（a0x，a0y），解出a1（a1x，a1y），所以方程有無數(shù)組解。第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日j=2，3代入定長方程j=2，3化簡后：AjBjCj第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日所以，方程可以表示為：a1xA2+a1yB2=C2（1）a1xA3+a1yB3=C3

（2）解出a1x，a1y

作為四桿機構(gòu)，在求出a1x，a1y以后，僅僅完成一半，還要再求出b1x，b1y，方法與前相同，但需要選定b0（b0x，b0y）。a0a1b1b0第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日

例5-1已知連桿的三個位置，即連桿上P點的三個位置及連桿的兩個轉(zhuǎn)角:試綜合該四桿導(dǎo)引機構(gòu)。素.=第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日A2=d112d132+d212d232+(1-d112)a0x-d212a0y=1×1+0×(-0.5)+0+0=1B2=d122d132+d222d232+(1-d222)a0y-d122a0x=0×1+(1×(-0.5)=-0.5C2=d132a0x+d232a0y-(d1322+d2322)/2=1×0-0.5×0-(12+0.52)/2=1.25/2(取a0x,a0y為0,0)第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日A3=d113d133+d213d233+(1-d113)a0x-d213a0yB3=d123d133+d223d233+(1-d223)a0y-d123a0xC3=d133a0x+d233a0y-(d1332+d2332)/2=第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日可得方程組:解方程得:a1x=0.955,a1y=3.24

取另一定鉸鏈點的坐標(biāo)為:(5,0),代入計算，得b1x=3.5477,b1y=-1.6545最后計算各桿的桿長:(1)(2)(5,0)作業(yè):P885-3a0點取(0,0),b0點,取(15,0)，計算a2，a3，b2，b3，并按尺寸作圖驗證。第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日二,曲柄滑塊機構(gòu)

對給定剛體的幾個位置如果能在剛體上找到一個點b，其相關(guān)點b1，b2，。。。bj在一條直線上，則該點可作為滑塊與連桿的鉸接點，而該直線，則代表滑塊與機架組成移動副的方位線。如果能找到這樣的點，則滿足以下方程：上式就是P-R導(dǎo)引桿的位移約束方程——定斜率方程Plane-Rotation第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日1，若給定連桿的三個位置，即b點的三個坐標(biāo)和θ12，θ13，只能建立一個約束方程：2，由于b點也在連桿上，所以，應(yīng)滿足剛體平面位移矩陣：

通過上面兩個方程，可以用b1表示b2，b3，代回定斜率方程，消去b2，b3，這樣，方程還有兩個未知數(shù)：b1x，b1y。（1）（2）（3）第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日3，將前面用b1表示的b2和b3代入定斜率方程，化簡后，得：式中：（4）

式（4)是圓的一般方程式，它表示滿足連稈的三個給定位置時，導(dǎo)引滑塊鉸鏈點bl可在該圓上任取。導(dǎo)引滑塊鉸鏈點bl的這個位置分布圓稱為滑塊軌跡圓。將式(4)改寫成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式：滑塊軌跡圓的圓心坐標(biāo)C0：圓的半徑

由上述可知，給定連桿的三個位置時，可得無數(shù)個滿足給定位置要求的導(dǎo)引滑塊，我們可根據(jù)其它條件，在滑塊圓上選定一個，再求出另外一個，得到一個適當(dāng)?shù)慕?。第二十頁，共五十三頁?022年，8月28日4，求另一個動鉸鏈點a1a0a1b1

采取前面講的R-R導(dǎo)引桿求a1點的方法進(jìn)行求解。例5-2設(shè)計一曲柄滑塊機構(gòu)，要求能導(dǎo)引連桿平面通過以下三個位置：第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：(1)導(dǎo)引滑塊的綜合

1)求滑塊鉸鏈中心的軌跡圓，計算剛體平面位移矩陣將各元素值代入式（4），計算下面的系數(shù)表達(dá)式得到：第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日將這些系數(shù)代入，得軌跡圓方程可知滑塊軌跡圓的圓心坐標(biāo)為：軌跡圓半徑為R＝4．623

2)選定滑塊鉸鏈中心bl的位置坐標(biāo)b1x、b1y。設(shè)b1點取在軌跡圓與y軸的交點上，則b1x＝0，代入軌跡圓方程，得解上式，得b1y的兩個解取b1（0，4.4262)第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日3)求滑塊導(dǎo)路的傾角a。滑塊鉸鏈點的第二、第三個位置B2，B3，可按式(6—22)求得(2)導(dǎo)引曲柄的綜合

1)求動鉸鏈點A1的位置坐標(biāo)a1x，a1y，設(shè)取曲柄的固定鉸鏈中心a0＝(0，-2.4)，代入式(5-16)得方程組第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日解此線性方程組可得:2)求動鉸鏈點A的其它兩個位置A2、A3

3)計算機構(gòu)各構(gòu)件的相對尺寸第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日P-R導(dǎo)引桿偏距故有曲柄存在。由于第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日

三、連桿四個、五個位置綜合問題

給定連桿的四個位置綜合R-R導(dǎo)引桿時，式(5-1I)中的J＝2、3、4，于是可得一組3個設(shè)計方程可以利用關(guān)系式對用a1,表示a2，a3，a4第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日

這樣，前面的方程組便成為只包含四個未知量aox、aoy，a1x，a1y的非線性代數(shù)方程組。它們不容易化成簡單的線性方程組。因此，常用迭代方法求數(shù)值解。如可用牛頓-羅夫森方法。因為只有三個方程，所以可給定四個未知量中的任一個而求其余三個。也可以給定其中任一個以一系列的值，而求出一系列的其他三個值。

例5-3在例5-1中再加上連桿的第四個位置：試決定四桿機構(gòu)簡圖尺寸。

點(a1x，a1y)是在以點(a0x，a0y)為圓心的圓周上運動的點，稱為圓點，而點(a0x，a0y)稱為圓心點。因此，我們將求出來的一系列的值畫成曲線，那就是圓心曲線與圓點曲線。這一系列工作可由計算機編程計算完成。第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日

5-4函數(shù)生成機構(gòu)綜合

函數(shù)生成機構(gòu)是指這樣一類機構(gòu)，它可以近似實現(xiàn)所要求的輸出構(gòu)件相對輸入構(gòu)件的某種函數(shù)關(guān)系。輸入和輸出構(gòu)件可以是曲柄，也可以是滑塊。

例1:管道的蝶閥開啟機構(gòu)

在管道輸送壓力一定的情況下，蝶閥開啟的的大小，與流體的流量應(yīng)符合一定的函數(shù)關(guān)系。

要控制流體的流量，可以控制閥門的開度。第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日例2，液面指示器

函數(shù)發(fā)生機構(gòu)常用于操作，控制和儀表系統(tǒng)的機構(gòu)設(shè)計。1，機構(gòu)的輸入?yún)?shù)，輸出參數(shù)與給定函數(shù)的關(guān)系

當(dāng)函數(shù)發(fā)生機構(gòu)的輸入桿與輸出桿均為轉(zhuǎn)動時，函數(shù)的自變量相應(yīng)于機構(gòu)的輸入桿轉(zhuǎn)角θ，而因變量相應(yīng)于機構(gòu)的輸出桿轉(zhuǎn)角φ；且都成正比。第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日

由于四桿機構(gòu)的特性，按照函數(shù)關(guān)系y=f（x）設(shè)計出來的函數(shù)發(fā)生機構(gòu)，不能完全與函數(shù)一致，只能在函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)的有限幾個點上完全一致，這樣的點，就稱為“精確點”。精確點的概念：自變量x變化范圍：x0≤x≤xm，函數(shù)值y為：y0~ym相應(yīng)輸入桿的轉(zhuǎn)角范圍：θ0≤x≤θm；輸出桿為：φ0~φmΔx=xm－x0，Δθ=

θm－θ0；Δy=f（xm）－f（x0）；Δφ=φm－φ0由于x與θ成正比，y與φ成正比，所以：比例因子Δθi=kθ（xi-x0）；Δφi=kφ（yi-y0）

第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日3，切貝雪夫精確點位置配置法:

由于四桿機構(gòu)不可能完全與給定函數(shù)一致，這種誤差稱為四桿機構(gòu)的“結(jié)構(gòu)誤差”。我們只能希望盡可能減小這種結(jié)構(gòu)誤差。結(jié)構(gòu)誤差的大小與“精確點”的取值x1，x2，xm是有關(guān)系的。如何在函數(shù)的工作區(qū)間x0~xm內(nèi)合理配置精確點，就是一個要解決的問題。yxR（x）x0x1x2x3xmxR（x）x0x1x2x3xm給定函數(shù)f（x）發(fā)生的函數(shù)

要使誤差最小，應(yīng)合理安排插值點的位置，使誤差的最大值，最小值和端點處的誤差的絕對值相等。

切貝雪夫精確點位置配置法就是滿足上述要求的方法。第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日n：插值點數(shù)目；Δx=xm-x0若取3個精確點，則上述取法得到的精確點，稱切貝雪夫(chebyshev)精確點。若取4個精確點，則n＝4，有第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日4，平面相對位移矩陣

對平面函數(shù)發(fā)生機構(gòu)，已知條件是輸入桿與輸出桿轉(zhuǎn)角應(yīng)滿足的函數(shù)關(guān)系，要求能綜合出相應(yīng)的四桿機構(gòu)。為了簡化問題，便于求解，設(shè)定鉸點的坐標(biāo)為a0（0,0），b0（1,0），這樣，需要求解a1（a1x，a1y），b1（b1x，b1y）。4.1平面四桿函數(shù)機構(gòu)(1)a0a1桿按給定角度轉(zhuǎn)θ1j到a0a1j相應(yīng)的,b0b1到b0b1j;

這個表達(dá)式未包含φ1j第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日(2)將a0a1jb1jb0剛化,逆時針轉(zhuǎn)-φ1j,使b0b1j回到b0b1的位置，這個過程可以看成是繞b0點的轉(zhuǎn)動。在上式中，b0x=1，b0y=011第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日把上式展開，得簡記為：由=

到此，已將輸入桿的轉(zhuǎn)角與輸出桿的轉(zhuǎn)角聯(lián)系起來，并用一個方程組來表示。滿足該方程組的四桿機構(gòu)，將符合給定的輸入桿轉(zhuǎn)角與輸出桿轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)關(guān)系。這個矩陣稱為”相對位移矩陣”相對位移矩陣第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日4.2平面曲柄滑塊函數(shù)機構(gòu)

曲柄滑塊函數(shù)機構(gòu)是指曲柄的轉(zhuǎn)角與滑塊的位移滿足給定函數(shù)關(guān)系的機構(gòu)。（1）a0a1轉(zhuǎn)θ1j到a0aj，滑塊從b1到bj

將a0ajbj剛化，沿滑塊移動的逆方向從bj到b1，使剛體作平面運動。第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日按照剛體作平面運動的平面位移方程：在上式中，由于剛體是平動，所以θ1j=0

選坐標(biāo)原點a0為參照點：即公式中的P點P1x=a0x=0，P1y=a0y=0Pjx=-sijcosa；Pjy=-sijsina代入平面位移方程：得再將前面的定軸轉(zhuǎn)動方程代入：第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日

對鉸鏈四桿機構(gòu)作為函數(shù)發(fā)生機構(gòu)時，需確定各桿的長度、主動桿和從動桿初始角。

在四桿機構(gòu)的四桿長度中，在機架長度為單位長度的情況下，選定連架桿的初始角度后，只有3個獨立的參數(shù)。所以，加上兩個連架桿的初始角，共有5個未知數(shù)。按照方程數(shù)與未知數(shù)相等的原理，平面四桿機構(gòu)函數(shù)機構(gòu)最多有5組精確點，在精確點少于5個時，可以選定其余的參數(shù)。a0a1b1b0abCd第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日5，三個精確點的綜合（1）已知條件：

已知函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），精確點按切貝雪夫精確點公式進(jìn)行計算，可以求出兩組對應(yīng)的轉(zhuǎn)角θ12，θ13，φ12，φ13。選取兩個連架桿的初始轉(zhuǎn)角θ0，φ0（2）建立方程的條件

對平面四桿機構(gòu)，按前面的推導(dǎo)過程，可以看成是以b0b1為機架，a0b0轉(zhuǎn)動-φ1j而成。這個過程，稱為倒置機架。

這樣，就轉(zhuǎn)化成為剛體的導(dǎo)引問題，由于在前面的假設(shè)中，機架a0b0的長度是設(shè)為單位長度，是已知的，所以，建立方程的條件就是ab桿定長。第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日給定三個點,可以建立兩個定長方程

通過用a1代替a2’，a3’，定長方程中，還有a1，b1共4個未知數(shù)。方程化簡后，為：

在P66的公式（5-16）中，將a0x，a0y，換成b1x，b1y即可。bbbbbAjBjCjj=2，3b1x-b1x]b1y]b1y-b1x+d23jb1y第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日所以，方程可以表示為：a1xA2+a1yB2=C2（1）a1xA3+a1yB3=C3

（2）（3）解方程，由于有兩個方程，4個未知數(shù)，故選定b1x，b1y因為是選定b1，在b1不同時，解也不同，所以，方程有無數(shù)組解。例5-4設(shè)計一鉸鏈四桿機構(gòu)，使能近似實現(xiàn)給定的函數(shù)主、從動連架桿的最大擺角分別為60°和90°。第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日2）算比例系數(shù)3）用切貝雪夫公式計算精確點：因為n=3，所以：=1.067=1.5=1.933按函數(shù)關(guān)系式,計算函數(shù)值:第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日4),計算對應(yīng)的轉(zhuǎn)角:選定θ0

，φ0,θ0=86°,φ0=23.5°θ12=θ2-θ1=116-90.02=25.98°5)計算相對位移矩陣的值:第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日6)選定b1x=1.348,b1y=0.217。計算方程的系數(shù)A,B,C,建立方程組解方程得:問題;選b1x,b1y是隨意選嗎?b1x,b1y選定一個,求出另一個。-0.018第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日a0b0a1b1(0.0,0.0)(1.0,0.0)

在題中,選b1x=1.348,在計算時，考慮b點的坐標(biāo)后，應(yīng)為：b1y=(1.348-1)tg31.93°=0.2177)計算各桿的長度因已假定固定鉸鏈的坐標(biāo)(1,0)8),作圖驗證應(yīng)設(shè)定合適的機構(gòu)放大比例尺,本題選定的放大倍數(shù)為