氣體動理論(大學物理)

（Thetheoryofmolecularmotionofgas)

氣體動理論熱學:研究熱現(xiàn)象及其規(guī)律的學科熱力學系統(tǒng)以外的物體稱為外界。例：若汽缸內(nèi)氣體為系統(tǒng)，其它為外界1.熱學的研究對象及內(nèi)容對象：宏觀物體（大量分子原子的系統(tǒng)）或物體系

—稱為熱力學系統(tǒng)。

8.1

熱學的基本概念宏觀：熱現(xiàn)象是與溫度有關的現(xiàn)象微觀：熱現(xiàn)象是與分子熱運動有關的現(xiàn)象

8.1.1熱力學系統(tǒng)平衡態(tài)孤立系統(tǒng)——和外界無質(zhì)量、能量交換封閉系統(tǒng)——和外界無質(zhì)量交換、有能量交換開放系統(tǒng)——和外界既有質(zhì)量交換、也有能量交換2.熱學的研究方法▲

熱力學（thermodynamics）宏觀基本實驗規(guī)律熱現(xiàn)象規(guī)律邏輯推理▲

統(tǒng)計力學（statisticalmechanics）對微觀結構提出模型、假設統(tǒng)計方法熱現(xiàn)象規(guī)律熱力學系統(tǒng)的分類:

系統(tǒng)狀態(tài)的描述：（1）宏觀描述法用一些可以直接測量的物理量（稱為宏觀量）來描述系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)例如：p,V,T,Ｍ等（2）微觀描述法

給出系統(tǒng)中每個微觀粒子的力學參量（稱為宏觀量）來描述系統(tǒng)例如：分子的質(zhì)量、速度、直徑、動量微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。在不受外界影響的條件下,熱力學系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的狀態(tài),稱為平衡態(tài)。平衡態(tài)：體系的溫度、壓強、密度等宏觀量處處相同，在p-V圖上可用一點表示

3.平衡態(tài)（equilibriumstate）處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運動,而且因為碰撞,每個分子的速度經(jīng)常在變--------動態(tài)平衡平衡態(tài)是熱學中的一個理想化狀態(tài)。一組狀態(tài)參量一個平衡態(tài)描述對應狀態(tài)參量之間的函數(shù)關系稱為狀態(tài)方程,記作:描寫平衡態(tài)下系統(tǒng)宏觀屬性的一組獨立宏觀量，稱為狀態(tài)參量（stateparameter）例如：氣體系統(tǒng)的p、V、T

8.1.2熱力學第零定律

如果兩個物體各自與第三個物體達到熱平衡，它們彼此也必處在熱平衡cabcab處在同一熱平衡狀態(tài)下的熱力學系統(tǒng)，具有一個共同的宏觀性質(zhì)，定義它為系統(tǒng)的溫度。溫度的測量：溫度計溫度的標度（溫標）1）經(jīng)驗溫標：以某物質(zhì)的某一屬性隨冷熱程度的變化為依據(jù)而確定的溫標稱為經(jīng)驗溫標。經(jīng)驗溫標除標準點外，其他溫度并不完全一致。如：水冰點沸點攝氏溫標：00C1000C華氏溫標：32F212F2）理想氣體溫標：以理想氣體作測溫物質(zhì)3）熱力學溫標：不依賴任何具體物質(zhì)特性的溫標規(guī)定：水的三相點

T0=273.16K8.1.3理想氣體及其狀態(tài)方程理想氣體：嚴格遵守四條定律(玻馬定律、蓋-呂薩克定律、查理定律和阿伏伽德羅定律)的氣體其狀態(tài)方程為：理想氣體的狀態(tài)方程：R=8.31J/mol·KT----KV----m3p----Pa設：m--單個分子質(zhì)量;μ--摩爾質(zhì)量；分子數(shù)為Ｎ，Ｍ為體系內(nèi)氣體的總質(zhì)量單位：

n----分子數(shù)密度(單位體積中的分子數(shù))

k=R/NA

=1.3810–23J/K----玻耳茲曼常數(shù)因為----理想氣體狀態(tài)方程的另一形式8.2

理想氣體的壓強和溫度

8.2.1理想氣體的壓強

1.理想氣體的微觀模型和統(tǒng)計假設a.氣體分子當作質(zhì)點，不占體積；(1)

對單個分子個體力學性質(zhì)的微觀假設b.分子之間只在碰撞時有力作用(忽略重力)c.

分子之間是完全彈性碰撞d.

分子的運動規(guī)律遵從牛頓力學(2)統(tǒng)計規(guī)律大量偶然事件從整體上反映出來的一種必然的規(guī)律性。定義:某一事件i發(fā)生的概率為Pi

Ni……事件

i發(fā)生的次數(shù)；

N……各種事件發(fā)生的總次數(shù)

統(tǒng)計平均值的計算：統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:a.只對大量偶然的事件才有意義b.它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律

(量變到質(zhì)變)c.總是伴隨著漲落伽耳頓板表演實驗個體事件有偶然性，大量偶然事件整體遵守統(tǒng)計規(guī)律單個粒子行為---偶然大量粒子行為---必然

dV----體積元

(宏觀小,微觀大)即：氣體分子在空間的分布是均勻的，分子數(shù)密度處處相同b.平衡態(tài)時分子的速度按方向的分布是各向等概率的。a.平衡態(tài)時，在無外場的情況下，分子在各處出現(xiàn)的概率相同，(3)對分子集體的統(tǒng)計規(guī)律假設由矢量合成法則，分子速度的方均值為：則注意：統(tǒng)計假設是對系統(tǒng)中大量分子平均而言的，若系統(tǒng)包含的分子數(shù)越多，假設就愈接近實際情況。即前提：平衡態(tài)，忽略重力，分子看成質(zhì)點（即只考慮分子的平動）；討論對象：同一種氣體，每個分子質(zhì)量為m，

N……總分子數(shù)，V……體積，2.理想氣體壓強公式的推導

一個分子一次碰撞對器壁的沖量利用壓強的定義得到氣體對器壁的壓強

全部分子一次碰撞對器壁的沖量推導思路：(1)如圖考慮速度為的第i個分子對A面的一次碰撞AA′x0y0z0xyz因為是彈性碰撞，分子碰到A面后速度分量由vix變?yōu)楱Cvix(-mvix)-mvix=-2mvix分子受的沖量為-2mvix

A面受到的沖量為2mvix分子的動量增量為(2)第i個分子與A面碰撞一次所需時間為:

AA′x0y0z0xyz(3)時間內(nèi)第i個分子與A面碰撞的次數(shù):(4)時間內(nèi)A面受到第i個分子的沖量為

(5)時間內(nèi)A面受到所有分子的沖量為

由壓強的定義:

AA′x0y0z0xyz----理想氣體壓強公式定義分子平均平動動能：壓強公式又可表示為：1.壓強公式是一個統(tǒng)計規(guī)律；2.壓強是由于大量氣體分子碰撞器壁產(chǎn)生的，它是對大量分子統(tǒng)計平均的結果。對單個分子無壓強的概念。說明：宏觀量p微觀量的統(tǒng)計平均值壓強公式∴壓強只有統(tǒng)計意義3.上述壓強公式適用于任意形狀的容器4.無法用實驗直接驗證將p=nkT

代入壓強公式得1.表示宏觀量溫度T與微觀量的統(tǒng)計平均值之間的關系----溫度的統(tǒng)計意義。2.溫度是大量氣體分子熱運動劇烈程度的量度與氣體種類無關----溫度的微觀實質(zhì)。8.2.2理想氣體的溫度3.分子的平均平動動能只與T有關，與氣體性質(zhì)無關,與整體定向運動速度無關。稱為方均根速率5.成立條件：理想氣體平衡態(tài)。4.運動是絕對的,因而絕對零度不可能達到例.在273K時：H2分子O2分子例題

一容器體積V=1m3,有N1=1×1025個氧分子，N2=4×1025氮分子，混合氣體的壓強p=2.76×105pa,求分子的平均平動動能及混合氣體的的溫度。解:由壓強公式所以=8.26×10-21J又混合氣體的的溫度：=400K例題

兩瓶不同種類的氣體，溫度、壓強相同，但體積不同，則相同。(2)它們單位體積中的氣體質(zhì)量不相同。(3)它們單位體積中的分子平均平動動能的總和(p=nkT)(=mn)相同。(1)它們單位體積中的分子數(shù)自由度－確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標數(shù)，用i表示

。i

=t=3t……平動自由度8.3能量均分原理1.單原子分子（如He,Ne,Ar等

）

可視為質(zhì)點,確定它在空間的位置需3個獨立坐標，故有3個自由度，稱為平動自由度。8.3.1自由度r=2（，

）r……

轉動自由度，總自由度：i=t+r=52.剛性雙原子分子（如O2，H2

，CO）兩原子之間成細桿啞鈴似的結構,C確定質(zhì)心C,

需知要3個平動自由度，t=3（x，y，z）確定軸的取向，需要2個轉動自由度（

，

）；0zxy軸C(x,y,z)γlr=3（

，

，）t=3（質(zhì)心坐標x，y，z）i=t+r＝６總自由度：3.剛性多原子分子(可看作剛體)質(zhì)心,要3個平動自由度；確定過質(zhì)心的軸的方位需２個轉動自由度（

，

）；確定分子繞軸轉動需要１個轉動自由度

；xzy一個平動自由度對應的平均動能為即：——能量按自由度均分原理由于分子碰撞頻繁，平均地說，能量分配沒有任何自由度占優(yōu)勢。即：在溫度為T的平衡態(tài)下，分子熱運動的每一個自由度所對應的平均動能都等于由及我們可以得知：8.3.2能量按自由度均分原理由此可知，如果一個分子有i個自由度，其平均動能所以，根據(jù)能量均分原理，

每個剛性分子熱運動的平均動能為內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有分子的動能和勢能的總和。8.3.3.

理想氣體內(nèi)能對理想氣體：分子有動能，它與氣體溫度有關。分子間無相互作用，則無相互作用勢能所以：內(nèi)能=所有分子動能之和設理想氣體有N個分子，則內(nèi)能公式：說明：(1)理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)(3)利用理想氣體的狀態(tài)方程可得(1)kT/2----分子的一個自由度平均分配的動能(2)3kT/2----分子的平均平動動能(3)ikT/2----分子的平均動能(4)3RT/2----1摩爾分子的平均平動動能的總和(5)MiRT/2μ----質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為μ

的分子的平均動能的總和1mol單原子理想氣體的內(nèi)能Emolνmol理想氣體的內(nèi)能E例：說明下列各式的物理意義例:一容器內(nèi)裝有某一理想氣體，其溫度為00C，壓力為1.0×10-2大氣壓，密度為1.24×10-2Kg/m3。求：（1）氣體的摩爾質(zhì)量，（2）氣體分子的平均平動動能和轉動動能，（3）容器單位體積內(nèi)分子的總平動動能，（4）若該氣體有0.3mol，求其內(nèi)能。)(/1028)1(:23CONmolkgpRTμRTμMpV或解-×==\=r

8.4麥克斯韋速率分布律8.4.1

速率分布函數(shù)麥克斯韋（Maxwellslawofdistributionofspeeds）

氣體中個別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整體來看，在一定的條件下，氣體分子的速率分布也遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。這個規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。設：一定量理想氣體，dNv

為速率vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，N為總分子數(shù),則易知即由于dNv

/N

是速率v附近dv區(qū)間的分子數(shù)與總分子數(shù)之比，所以它應與v

的大小有關，可以寫成：即f(v)稱為速率分布函數(shù)（functionofdistributionofSpeeds）f(v)的物理意義：速率在v附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，或單位速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率，即概率密度因為所以這稱為速率分布函數(shù)的歸一化條件。即應用速率分布函數(shù)，可以求出一些統(tǒng)計平均值，如：平均速率，速率平方的平均值等。分立：連續(xù)：平均速率:所有分子速率的平均值。同理，可得速率平方的平均值：8.4.2

麥克斯韋速率分布函數(shù)

1859年麥克斯韋（Maxwell）導出了理想氣體在無外場的平衡態(tài)（T）下，分子速率分布函數(shù)為：

f(v)0vv+dvT，m一定v圖中曲線下的面積為該速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率。

f(v)0vv+dvT，m一定v曲線包圍的面積總各為1?？芍河蓺w一化條件應用麥克斯韋速率分布函數(shù)，可以求得理想氣體分子的一些統(tǒng)計平均值。如：平均速率，方均根速率和最概然速率。

1.理想氣體分子的最概然速率

f(v)0vpT，m一定v由圖可知，vp的物理意義是vp附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。如圖示，相應于速率分布函數(shù)f(v)的極大值的速率稱為最概然速率，記作v

p

。由有：當分子質(zhì)量m一定時，速率大的分子數(shù)比例越大，

f(v)0vp1m

一定vvp2T1T2>T1思考:

T一定，m2>

m1，速率分布曲線如何？氣體分子的熱運動越激烈。左圖表明：溫度越高，代入麥氏速率分布函數(shù)，經(jīng)計算可得：理想氣體分子的平均速率利用理想氣體分子的方均根速率—主要在討論分子平均平動動能時用—主要在討論分子碰撞問題時用—主要在討論分子的速率分布時用比較可得：例：試說明下列各式的物理意義。表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子的個數(shù)。表示在速率v1~v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的概率。表示在速率v1~v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。分子速率的總和補充：一個與速率有關的物理量g(v)的統(tǒng)計平均值的公式——物理量g(v)在速率區(qū)間[v1,v2]之間的平均值——物理量g(v)在全部速率區(qū)間的平均值例:

如圖表示氫氣和氧氣在同一溫度下的速率分布,求氫分子和氧分子的方均根速率例：設某氣體的速率分布函數(shù)求：（3）速率在之間分子的平均速率解：（1）常量a和v0的關系（2）平均速率（1）歸一化條件vv00為（2）設總分子數(shù)為N，則（3）對否？—不對！上式分母上的N應為

1920.Stern實驗

1934.葛正權實驗

1955.Milletandkusch

實驗實驗O---鉍蒸氣源,

溫度為T

S1,S2,S3---狹縫Q---圓筒,轉速可達

500轉/秒G---玻璃薄板

8.4.3麥克斯韋速率分布律的實驗驗證設速率為v

的分子沉積在P’處飛行時間一定的S

值相應于一定的分子速率

v?；￠LPP’

=S分子的v小，沉積處S大。實驗的物理思想:用測微光度計測定薄玻璃板上各處分子的沉積厚度。分子的沉積厚度隨S的變化關系實驗結果：符合麥克斯韋速率分布率。分子數(shù)與速率的關系實驗中,圓筒轉動約十幾小時;8.6碰撞及輸運過程8.6.1氣體分子的碰撞與平均自由程1.有關分子碰撞的幾個統(tǒng)計量(1)自由程—