工力應力狀態(tài)孫訊芳

第七章應力狀態(tài)和強度理論孫訊芳2010低碳鋼?塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？?鑄鐵低碳鋼一、一點的應力狀態(tài)

1.一點的應力狀態(tài)：通過受力構件一點處各個不同截面上的應力情況。

2.研究應力狀態(tài)的目的：找出該點的最大正應力和切應力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構件破壞原因并進行失效分析。二、單元體

1.單元體：圍繞構件內(nèi)一所截取的微小正六面體?！?-1

應力狀態(tài)概述（1）應力分量的角標規(guī)定：第一角標表示應力作用面，第二角標表示應力平行的軸，兩角標相同時，只用一個角標表示。（2）面的方位用其法線方向表示3.截取原始單元體的方法、原則①用三個坐標軸(笛卡爾坐標和極坐標，依問題和構件形狀而定)在一點截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體②單元體各個面上的應力已知或可求；③幾種受力情況下截取單元體方法：2.單元體上的應力分量最一般單元體PPa)一對橫截面，兩對縱截面As=P/AsAMeMeb)橫截面，周向面，直徑面各一對Bt=Me/WnBPMeMec)同b)，但從上表面截取CtssCCBAtBtCsCsCsAsAP從梁上取單元體BACPA(a)abcdA(b)(c)31固定端平面zMzT4321yx2、4點請同學們考慮yxz主應力：主平面上的正應力，分別用表示。并且，有且只有三個。主平面：單元體上沒有切應力的面，即t＝0的平面。主單元體：由主平面組成的單元體?？臻g（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面（二向）應力狀態(tài)：一個主應力為零單向應力狀態(tài)：兩個主應力為零單向應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)空間應力狀態(tài)§7-2

平面應力狀態(tài)的應力分析一、解析法求斜截面的應力-解析法xybzacd平面應力狀態(tài)的普遍形式如圖所示。單元體上有x,x和y,y。單元體用平面圖形來表示xy(一)、斜截面上的應力xy圖bnef截面法:

假想地沿斜截面ef

將單元體截分為二(圖b),留下左邊部分的單體元ebf

作為研究對象(圖c)。befb圖c：從x軸到外法線n逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。正應力：拉應力為正，壓應力為負。剪應力：對單元體任一點的矩順時針轉(zhuǎn)為正，反之為負。ebfef設斜截面的面積為

dA

,則eb

的面積為

dAcos,bf的面積為dAsinb對研究對象列法線方向和切線方向的平衡方程并解之得a截面的應力公式推導過程A、平面應力狀態(tài)下,任一斜截面(截面)上的應力

?公式B、主平面位置確定主平面：單元體上沒有切應力的面，即t＝0的平面。數(shù)學上正切定義xyxy根據(jù)數(shù)學定義判斷2a0是第幾象限角。求出a0就可以確定主平面。C、求主應力將a0代入任意截面正應力公式得：}7－37－4主應力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3最大切應力二、平面應力狀態(tài)應力分析－解析法xy根據(jù)數(shù)學定義判斷2a0是第幾象限角。求出a0就可以確定主平面位置。}主應力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3：從x軸到外法線

n

逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。xyxy習題

圖示單元體,已知x

=-40MPa,y

=60MPa,xy=-50MPa.試求e-f截面上的應力情況及主應力和主單元體的方位.n30°ef解:（1）求

e-f

截面上的應力（2）求主應力和主單元體的方位因為x

<y,所以0=-22.5°與min對應xyxy22.5°13習題從受力構件內(nèi)某點處截取的單元體如圖所示。其各側(cè)面上的應力如圖，試求1、a＝－60O的斜截面上的應力；2、主平面位置和主應力值，并畫出主單元體；3、最大切應力。10xy15110aa二、圖解法─應力圓1.理論依據(jù)：將上兩式平方后相加得：當斜截面隨方位角變化時,其上的應力，在-直角坐標系內(nèi)的軌跡是一個圓。圓心位于橫坐標軸(軸)上，離原點的距離為半徑為此圓習慣上稱為應力圓

,或稱為莫爾圓o(b)（2）應力圓作法D1量取OB1=x,B1D1=x

,得D1點B1xx在

-坐標系內(nèi),

選定比例尺o圖9-4(b)B1xxD1量取OB2=y,B2D2=y,

得D2點D2yB2yo圖9-4(b)B1xxD1yyB2D2連接D1D2兩點的直線與軸相交于C

點,以C為圓心,CD1或CD2為半徑作圓

Co(b)B1xxyyB2D2C該圓的圓心C點到坐標原點的距離為

半徑為該圓就是相應于該單元體應力狀態(tài)的應力圓D1點的坐標為(x,x)因而D1點代表單元體x平面上的應力。D1D2點的坐標為(y,y)因而D2點代表單元體y平面上的應力。xD2oB1xxyyB2Cef（3）利用應力圓求單元體上任一截面上的應力從應力圓的半徑CD1按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2,得到半徑CE,圓周上E點的?坐標就依次為

?。（證明略）2ED1說明點面之間的對應關系：單元體某一面上的應力，必對應于應力圓上某一點的坐標。夾角關系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。oc2ABo圖9-4(b)B1xxD1yyB2D2Cef2E應力圓畫法及求任意截面的應力o（4）利用應力圓求主應力數(shù)值和主平面位置xD1yyB2D2C主應力數(shù)值A1和A2兩點為與主平面對應的點，其橫坐標為主應力1,2（7-3）（7-4）oxD1yyB2D2C主平面方位2由CD1順時針轉(zhuǎn)2a0到CA1所以從x軸順時針轉(zhuǎn)a0（負值）即到smax對應得主平面得外法線a0確定后smax對應得主平面方位即確定例7-3圖示單元體,試用應力圓求主應力并確定主平面位置.解:（1）求主應力和主單元體的方位-解析法804060單位：MPa（2）求主應力和主單元體的方位-圖解法tsOD(80,-60)D’(-40,60)40MPaC22.5°13例7-4

簡支梁如圖所示.已知m-m

截面上A點的彎曲正應力和切應力分別為

=-70MPa,=50MPa.確定A點的主應力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖因為x

<y

，所以0=27.5°與min對應xAA01313習題：單元體應力狀態(tài)如圖。用解析法和圖解法求：主應力，并在單元體中畫出主應力方向。5020(1)解析法=57-7502005020(2)圖解法D1D2CA1A220(3)畫主應力方向D’習題求1）圖示單元體α=300斜截面上的應力

2）主應力、主平面（單位：MPa）。60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例畫此單元體對應的應力圓403020單位：MPaasata40203014.9os"s's"s'

習題圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應力；②主應力并畫出主單元體；③極值切應力。求：1)a=30o斜截面上的應力；

2)主應力及其方位；

3)極值切應力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020單位：MPaxasata40.3-40.3

習題

用應力圓法重解上題。

α38MPa28MPa48MPa114MPa習題：已知平面應力狀態(tài)下某點處的兩個截面上的應力如圖所示。試利用應力圓求該點處的主應力值和主平面方位，并求出此兩截面間的夾角a值。解：由已知按比例作圖中A，B兩點，作AB的垂直平分線交

軸于點C，以C為圓心，CA或CB為半徑作圓，得（或由

得

。

應力圓半徑量得主應力為量得主平面位置為s2A(38,28)B(114,48)CHOxsts1兩截面夾角為習題二向應力狀態(tài)如圖所示(應力單位為MPa),試求主應力并作應力圓。80805050tt300(a)D1(80,0)D2(40,0)st解：習題一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知

求（1）主應力；（2）繪出主應力單元體。120ootsCa120oD解：（1）作應力圓b目錄（2）根據(jù)應力圓的幾何關系確定主應力120ootsa120ob半徑因此主應力為：目錄（3）繪出主應力單元體。120ootsa120obCDs1s2s2s1目錄★分析：1、本題亦可用解析法求解。2、在某些情況下，單元體可以不取立方體，如平面應力狀態(tài)問題，零應力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零應力面垂直的任意兩個面上的應力，就可以求出其它任意斜截面上的應力以及主應力。例如：CD目錄3、一點處的應力狀態(tài)有不同的表示方法，而用主應力表示最為重要。otsa目錄習題為一直徑為d＝40mm的實心軸承受力P=50kN和力偶的聯(lián)合作用。(1)指出危險點位置，計算其應力值，并畫出危險點的單元休；(2)試求該單元體的主應力大小、主平面方位，并畫出主單元體；(3)試求該單元體的最大切應力。PPmmK解：1、根據(jù)軸向壓縮和扭轉(zhuǎn)應力分布規(guī)律，可知危險點在橫截面邊緣上各點，取k點畫單元體。tss1s22、用公式或應力圓，求主平面和主應力。畫主單元體求最大切應力s3習題求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖

102AB解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO主應力軌跡線下圖表示一受任意橫向力作用的矩形截面梁,在橫截面

m–m上,分別圍繞1、2、3、4,、5五點各取出一單元體。假設該橫截面上的剪力和彎矩都是正值。12345mm12345mm1223x3x445利用公式或應力圓求出主平面位置和主應力所以在梁的xy

平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線。一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力1的方向，而另一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力3的方向,這樣的曲線稱為梁的主應力跡線。梁內(nèi)任一點處的兩個主應力必然一個為拉應力,一個為壓應力,兩者的方向互相垂直。主應力跡線的概念主應力跡線1122

(2)從1-1上任一點

a

開始,求出該點處主應力1的方向,將這一方向線延長至2-2截面線,相交于b點,再求出b點處主應力1的方向,延長至c點。

(1)按一定的比例畫出梁在xy平面的平面圖,畫出代表一些橫截面位置的等間距直線1-1,2-2等等abc主應力跡線的繪制1122

(4)按同樣的方法可繪得主應力3跡線

(3)依此類推,就可以畫出一條折線,作一條與此折線相切的曲線,這一曲線就是主應力1的跡線abcFxF/2F/2圖中繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應力跡線實線表示主應力1

的跡線,虛線表示主應力3

的跡線,所有的跡線與梁軸線(代表梁的中性層位置)間的夾角都是45°,在梁的橫截面上=0的各點處,跡線的切線則與梁的軸線平行或正交45縱向鋼筋彎起鋼筋qσ1σ3q簡支梁的主應力軌跡線及其配筋圖懸臂梁的主應力軌跡線及其配筋圖P彎起鋼筋45(b)(a)P應力狀態(tài)2平面應力狀態(tài)應力分析－解析法xy根據(jù)數(shù)學定義判斷2a0是第幾象限角。求出a0就可以確定主平面位置。}主應力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3：從x軸到外法線

n

逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。.平面應力狀態(tài)應力分析－圖解法（應力圓法）xy下面利用應力圓法介紹空間應力狀態(tài)xyzo上面右側(cè)面前面

空間應力狀態(tài)一般情況§7-3

三向應力狀態(tài)的應力圓在受力物體內(nèi)的任一點處一定可以找到一個單元體，其三對互相垂直的平面均為主平面，其主應力為s1、s2、s3。為主單元體。三個主應力均不等于零的應力狀態(tài)為空間應力狀態(tài)；在空間應力狀態(tài)，一般應用應力圓法；即在同一坐標系下分別作三視圖的應力圓。見下頁圖。s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2任意截面的應力均可用三個應力圓上的點，或其陰影部分表示由圖中可以看出，最大切應力為：例7-6

單元體的應力如圖所示,作應力圓,并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位.解:

該單元體有一個已知主應力因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z

無關,依據(jù)x截面和y截面上的應力畫出應力圓.

求另外兩個主應力xyz50MPa30MPa70MPa40MPa由x,xy

定出D

點由y,yx

定出D′

點以DD′為直徑作應力圓

A1,A2

兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力

1和

3

A1A2D′ODC13

1=74.97MPa

3=5.3MPa該單元體的三個主應力

1=74.97MPa

2=50MPa

3=5.3MPa根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓習題

單元體的應力如圖a所示,作應力圓,并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位。因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z無關,依據(jù)x截面和y截面上的應力畫出應力圓.解:

該單元體有一個已知主應力oA1A246MPa-26MPa量得另外兩個主應力為c該單元體的三個主應力按其代數(shù)值的大小順序排列為ocA1A2B根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓。從應力圓上量得主單元體見下頁max主單元體習題

已知某結構物中一點處為平面應力狀態(tài),x=-180MPa,y=-90MPa,x=y=0,試求此點處的最大切應力。解:根據(jù)給定的應力可知,主應力1=z=0,2=y=-90MPa,3=x=-180MPa,將有關數(shù)據(jù)代入公式(9-9)可

習題

試確定左圖所示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力，并確定主平面和最大切應力作用面位置。x300150y140z90解：①給定應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即sz=90MPa。因此，可將該應力狀態(tài)沿z方向投影，得到平面應力狀態(tài)，可直接求主應力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根據(jù)s1、s2、s3的排列順序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa④主應力方位：⑤單元體內(nèi)的最大剪應力：第一象限角xzysy=140txy=150sx=300正視圖s2y'31o31os1x's3主單元體可畫出三個應力圓(略)習題求圖示單元體的主應力和最大切應力。（MPa）解：1)x面為主平面之一2)建立應力坐標系如圖，畫y—z平面的應力圓及三向應力圓得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax解析法——1)由單元體知：x面為主平面之一,2)求y—z面內(nèi)的最大、最小正應力。3)主應力4)最大切應力xyz305040CBA（MPa

）20030050otmax平面應力狀態(tài)作為三向應力狀態(tài)的特例§7-4

廣義胡克定律一、廣義虎克定律1.有關概念：

①主應變：沿主應力方向的應變，分別用e1≥e2≥e3表示；

②正應力只引起線應變，切應力只引起剪應變；2.廣義虎克定律：①推導方法：疊加原理②主應變與主應力關系：③一般情況：s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的應變：s2方向上的應變：s3方向上的應變：IIIs3上式中：

體應變q：單位體積的改變可以寫成以下形式其中例7-7

在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設鋼塊不變形，試求圓柱的主應力。取E=200GPa，n=0.30。FpFF/Apppp

④柱內(nèi)各點的三個主應力為：求得：

③由廣義虎克定律：

②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內(nèi)任一點均為二向均壓應力狀態(tài)，柱內(nèi)任一點的徑向與周向應力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應變e2的值為：解：①在柱體橫截面上的壓應力為：解；一一對應。由于構件自由表面，所以主應力2=0。該點為平面應力狀態(tài)。習題已知一受力構件自由表面上的兩個主應變數(shù)值為。構件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求該點處的主應力值，并求該點處另一主應變2

的數(shù)值和方向。該點處另一主應變2的數(shù)值為習題

邊長a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積較大,變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比=0.34,當受到P=300kN的均布壓力作用時,求該銅塊的主應力.體積應變以及最大切應力。解：銅塊橫截面上的壓應力為Zyxzxy（b)aaaP（a)銅塊應力如圖b所示變形條件為解得銅塊的主應力為體積應變最大剪應力分別為圖示一鋼質(zhì)桿直徑d=20mm，已知:A點在與水平線成600方向上的正應變60°=4.1×10-4，=0.28,E=210GPa.求：荷載P的值習題A一受扭轉(zhuǎn)的圓軸,直徑d=2cm,=0.3,材料E=200GPa,

現(xiàn)用變形儀測得圓軸表面與軸線450方向上的應變45°=5.2×10-4.求：軸上的扭矩T習題注意:x為負值TTA求：（1）A點處的主應變1，

2，3設3=041.4-21.4求：（2）A點處的線應變x，

y，z習題在一塊鋼板上先畫上直徑

d=300mm

的圓，然后在板上加上應力，如圖所示。試問所畫的圓將變成何種圖形？并計算其尺寸。已知鋼板的彈性常數(shù)E=206GPa，

v=0.28。解：求出主應力和主平面位置求主應變