2020北京東城高三一模數(shù)學(xué)

．2020京東城高三一模．?dāng)?shù)

學(xué)

2020.5本試卷共4頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小，每小題分，40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求一項(xiàng)。(1)已集合A

(B)

(C)

(D)

(2)函f(x

2

的定義域?yàn)?A)

(-]

(B)

[2(C)[,+

(D)[2,(3)已

2i

()

，則(A)1(4)若曲線Cx

2

(B)0(C)2的條漸近線與直線yx平，則的為

(A)

(B)

(C)

(D)2(5)如所示，某三棱錐的正（主）視圖、俯視圖、側(cè)（左）視圖均為直角三角形，則該三棱錐體積為4(B)6(C)

(6)已那么在下列不等式中，成立的是1/

2(A)x22

(B)

1

(C)x

(D)

x(7)在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M在單位圓上按逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)每12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一.若點(diǎn)M的初13始位置坐標(biāo)為,)22

，則運(yùn)動(dòng)到3

分鐘時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M所位置的坐標(biāo)是(A)(

3113,)(B)(,)2222(C)(

3,)22

(D)

(

3,)22(8)已三角形ABC

，那么“

+ABAC

”是“三角形ABC

為銳角三角形”的(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件(9)設(shè)O為標(biāo)點(diǎn)，點(diǎn)A(,0)，動(dòng)點(diǎn)P拋物線xOM的率的范圍為

(B)必而不充分條件(D)既不充分也不必要條件上，且位于第一象限，M是段中點(diǎn)，則直線(A)，]

22(B))(C)(0，](D)[22

(10)假設(shè)在兩個(gè)物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食,則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者現(xiàn)我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模.假捕食者的數(shù)量以(t)表示，被捕食者的數(shù)量以(t)表下圖描述的是這兩個(gè)物種隨時(shí)間變化的數(shù)量關(guān)系，其中箭頭方向?yàn)闀r(shí)間增加的方向下說正確的是：（A若在t，t

時(shí)刻滿足：(t(t)2

，則x(t)=(t2

；）果(t數(shù)是先上升后下降的，那么(t)的量一定也是先上升后下降；（C被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)不會(huì)同時(shí)到達(dá)最大值或最小值；（D被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)總和達(dá)到最大值時(shí)，被捕食者的數(shù)量也會(huì)達(dá)到最大2/

共110分）

xa二、填空題共5小題每小題5分共25分xa(11)已知量,),,c,)，ab

共線，則實(shí)數(shù)=

(12)在

2(x)x

6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.(數(shù)字作)(13)圓心軸，且與直線l:x和l:y都切的圓的方程___.2(14)

是邊三角形，點(diǎn)D在AC的長線上，且ADCD，7，CD

，sin(15)設(shè)函f(x)

(x

給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)，

，

使得

f(x)

無解；②對(duì)

，

，使得

(x)

有兩解；③當(dāng)a

時(shí)，

，使得

f

有解；④當(dāng)a2時(shí)R

，使得

f(x)

有三解其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.注本給的論，多符題要。部對(duì)得分，選有選0，其得分。三、解答題共6小題共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)（本小題14分如圖，在四棱錐P-ABCD中PD面，面ABCD為行四邊形，，AC，PD．（Ⅰ）求證：//

平面；（Ⅱ）求二面角PCB的弦值的大小3/

++++++++++(17)（本小題14分++++++++++ππ已知函數(shù)()sin()()(a，滿.66（Ⅰ）求函數(shù)

(x)

的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若關(guān)于方程

)在間[上有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)m的值范圍從①

fx)

的最大值為，

f)

的圖象與直線

的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，③f(x)

的圖象過點(diǎn)π(,6

這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作.注如選多條分解，第個(gè)答分(18)（本小題14分中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，預(yù)計(jì)2020年斗全球系統(tǒng)建設(shè)將全完.下圖是在室外開放的環(huán)境下，北斗二代和北斗三代定位模塊，分別定位的5個(gè)位的橫、縱坐標(biāo)誤差的值，其中“”表北斗二代定位模的誤差的值，”表示北斗三代定位模塊的誤差的值.（單位米）（Ⅰ）從北斗二代定位的5個(gè)位中隨機(jī)抽取一個(gè)，求此點(diǎn)橫坐標(biāo)誤差的值大于1米概率；（Ⅱ）從圖中四個(gè)點(diǎn)位中隨機(jī)選出兩個(gè)，記

42

yX為其中縱坐標(biāo)誤差的值小于點(diǎn)位的個(gè)數(shù),

5

+

+

+

+

510

x

152求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）試比較北斗二代和北斗三代定位模塊縱坐標(biāo)誤

++++++++++++++D+++

+

46差的方差的大小.（結(jié)論不要求明）810124/

(19)（本題14分）2y已知橢圓:a0)它的上，下頂點(diǎn)分別為，，左，右焦點(diǎn)分別為F，，四邊形b2AFBF為方形，且面積為2.2（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線ll2形，求出該菱形周長的最大值.

，與橢圓E分交于點(diǎn),D,M,N，且四邊形CDMN是(20)（本題15分）已知函數(shù)

f(x(lnx)

(aR).（Ⅰ）若a，求曲線f()點(diǎn)(1,f(1))處切線方程；（Ⅱ）若fx)有個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，求fx)在間2

上的最小值(21)（本小題14分?jǐn)?shù)列

，，x，，，，對(duì)于給定的t(t)2n+

，記滿足不等式：xn

(n)(，)的t*構(gòu)的集合為+

t)

.（Ⅰ）若數(shù)列

：x=

，寫出集合(2)

；（Ⅱ）如果

t)(t，t+

均為相同的單元素集合，求證：數(shù)列

x，，，，2n

為等差數(shù)列；（III)如

t)(tNt+

為單元素集合，那么數(shù)列

xx，，2n

還是等差數(shù)列嗎？如果是等差數(shù)列，請(qǐng)給出證明；如果不是等差數(shù)列，請(qǐng)給出反.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）5/

2020京一選題共10小，小分共40分）（1）D（2）B）A（4）A（6）D（7）C）B（9（10）C二填題共5小，小5分共25分（11）

3

）

160（13）

(x2

）

2

（15）③④三、解答題共6小題共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)（本小題14分解：（Ⅰ）如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為行四邊形，所以AD//BC，因?yàn)锽C面PBC，AD平PBC，所以AD//面．…………6（Ⅱ）取C為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)C的平行線為

軸，依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．由題意得，(0,，A，(0,0,0)，．所以，(1,1,0)，AC．設(shè)平面PBC的法向量為ny,z)

，則

0,0,

即

y0,x0.6/

令則x所以n

，z．因?yàn)闉槠叫兴倪?，且AC所以CDAC．因?yàn)槊?，所以PDAC．又因?yàn)?，所以面PDC．所以平面的向量為AC=(1,0,0)，所以ACnAC|

33

，由題意可知二面角DB的面角為鈍角，所以二面角PC余弦值的大小為(17)（本小題14分ππ解：（Ⅰ）因?yàn)?x)sin(x)2(x)6sin()

33

.……………分sin(22)]62)6所以函數(shù)f()的小正周期

.因?yàn)?，所函?shù)(x)

的最大值和最小值分別為a,

.π若選①，則，數(shù)f(x)2sin(2x)

；若選②，則函數(shù)f()

π的最小值，從而a，函f(x)2sin(2)67/

；

選③，(

πππ)，而，函數(shù)f(x)2sin(2)6

.

……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)()的大值為；因?yàn)殛P(guān)于x的程f(x)在間[m]

上有兩個(gè)不同解，當(dāng)]

πππ時(shí)，2,2m]66

.[

4π)

5π9πππ所以≤，得.2623所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.…………分(18)（本小題14分解（Ⅰ）由圖知，在北斗二代定位的個(gè)中，橫坐標(biāo)誤差的絕值大0有3點(diǎn)，所以從中機(jī)選出一點(diǎn)，此點(diǎn)橫坐標(biāo)誤差的絕對(duì)值大1的概率為

.………4分（Ⅱ）由圖知,

，，C，D

四個(gè)點(diǎn)位中縱坐標(biāo)誤差值小于

的有兩個(gè)點(diǎn)

CD

.所以所可取值為.PX0)

C2

,PX

23

,P2)

22

.所以的布為

2P

8/

所以X

的期望

16

.…………12分（Ⅲ）北斗二代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差大于北斗三………14分(19)（本題14分）解：（Ⅰ）因?yàn)?

22a0)，b2所以

a

2

2

2

.因?yàn)樗倪匒FBF

為正方形，且面積為2

,所以22，

)c

.所以bc，

a

2

2

2

.所以橢圓:

.

………4分（Ⅱ）設(shè)平行直線l:，l:，不妨設(shè)直線y與

交于

yy122

由

，得x

，

kx化簡得：，其中km)

2)k

m

即

.所以xx

km

，x2

22k2

，由橢圓的對(duì)稱性和菱形的中心對(duì)稱性，可知OOD，所以xy，，kxm9/

3(4)xy3(4)mmkm

，

3

k

所以CD|=(1

2

)[(x1

2

x]1

2

)[

16k2m2m](2k22k2

(1)(3222=

8+3k

222k2

3(42

k2

)3所以當(dāng)且當(dāng)

22

時(shí)，

|CD

的最大值為3.此時(shí)四邊CDMN周最大值為43.(20)（本小題15分

…………分解（Ⅰ）當(dāng)

a

時(shí)，

，所以.(1)又因?yàn)樗郧芯€程為

，y

，即x

.

………4分10/

ae)aae)a2)

ax

，設(shè)

g(x)lnx

，當(dāng)a≤0易證g(x)

在

不題.當(dāng)時(shí)

a

，令

，當(dāng)0,

a

時(shí)，

上單調(diào)遞增，當(dāng)

x

時(shí)，

a

上單調(diào)遞減，所以

處取得極大值

a

.依題意，函數(shù)

有兩個(gè)零點(diǎn)，則

10,即a2a2a

，解得

.又由于

，ga

a0，e

12

12

，由

xxx0)

得g(

111222

a實(shí)數(shù)的取值范圍為

0

12

時(shí)，

有兩個(gè)極值點(diǎn).

…………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)，xg

1a2

，11/

所以

在上單調(diào)遞減，

上的最小值為

f)a(ln2a

2

.………15(21)（本小題14分解：（Ⅰ）由于A：=n2n

，(2)

為滿足不等式xn)(N)t+

的

*

構(gòu)成的集合，所以有：

2

(N,n+

，當(dāng)時(shí)上式可化為+2

，所以

.當(dāng)n=1，上式可化

.所以T(2)

為[.………4（Ⅱ）對(duì)于數(shù)列

：x，x，x，

，若T(t)

(N，+

中均只有同一個(gè)元素，不妨設(shè)為a

.下面證明數(shù)列

為等差數(shù)列當(dāng)

n=t+1，有t

t

(1)

；當(dāng)

nt

時(shí)，有

xtt

(

(2)

；由于(，(2)兩式對(duì)任意大于1的整數(shù)均成立，所以有

xt

at

成立，從而數(shù)列

x，