向量與空間解析幾何

例設(shè)例已知由參數(shù)方程確定二階可導(dǎo)函數(shù)（1）求證點(diǎn)x=0是y=f(x)的極大值點(diǎn)；（2)求曲線y=f(x)在點(diǎn)（0，0）處的曲率。一、內(nèi)容小結(jié)

二、實(shí)例分析空間解析幾何設(shè)1.向量運(yùn)算一、內(nèi)容小結(jié)

向量模單位向量向量的方向余弦運(yùn)算性質(zhì)：加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律叉積:向量方向:且符合右手規(guī)則模:運(yùn)算性質(zhì)(2)分配律(3)結(jié)合律平行四邊形的面積

向量關(guān)系:混合積平行六面體的體積運(yùn)算性質(zhì)1）具有輪換對(duì)稱(chēng)2）兩向量積互換，混合積變號(hào)定義.一條平面曲線（1）旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸.例如:2.空間曲面思考：當(dāng)曲線C

繞y

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖將代入將代入得方程axyoz.雙曲線繞y

軸一周

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面..x0zy.繞x

軸一周

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面x0zy.

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.繞x

軸一周y.oxz.

旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z

軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面環(huán)面yxorR繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面環(huán)面方程.生活中見(jiàn)過(guò)這個(gè)曲面嗎？yxo..例

試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方（2）柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程解:在xoy

面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱(chēng)為圓故在空間過(guò)此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程,定義.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.xzy0母線F(

x,y)=0z

=0準(zhǔn)線

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一點(diǎn)都滿(mǎn)足方程；曲面S外的每一點(diǎn)都不滿(mǎn)足方程表示母線平行于z軸的柱面點(diǎn)N滿(mǎn)足方程，故點(diǎn)M滿(mǎn)足方程

一般柱面

F(x,y)=0母線準(zhǔn)線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面

一般柱面

F(y,z)=0abzxyo橢圓柱面zxy=0yo

雙曲柱面（3）二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類(lèi)型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面yzoxa.

單葉雙曲面.xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面橢圓拋物面xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面橢圓拋物面.用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法

（馬鞍面）

雙曲拋物面截痕法

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面截痕法.

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面（1）空間平面一般式點(diǎn)法式截距式3.空間直線與平面的方程為直線的方向向量.（2）空間直線一般式對(duì)稱(chēng)式參數(shù)式為直線上一點(diǎn);面與面的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:（3）線面之間的相互關(guān)系直線線與線的關(guān)系直線垂直:平行:夾角公式:平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關(guān)系直線:點(diǎn)的距離為到平面

：Ax+B

y+C

z+D

=0d(4)點(diǎn)到面的距離點(diǎn)到直線的距離為（5）點(diǎn)到直線的距離4、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy

面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox

面上的投影曲線方程例求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面的交線在

xoy

平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xoy

面的投影柱面方程為此曲線在xoy

面上的投影曲線方程為,它與所給平面的例設(shè)(a×b)c=2,則[(a+b)×(b+c)](c+a)=

.及平面（A）平行于π.（B）在π上.（C）垂直于π.（D）與π斜交.例設(shè)有直線，則直線L【】例求點(diǎn)到平面的距離

例求過(guò)直線且垂直于平面的平面方程.例求平行于平面而與三坐標(biāo)面所構(gòu)成的四面體體積為一個(gè)單位的平面。設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡(jiǎn)得令代入體積式所求平面方程為例求過(guò)點(diǎn)平行于平面，且與直線相交的直線方程