(壓軸題)高中數(shù)學高中數(shù)學選修2-2第四章《定積分》測試題

244244一、選題1．給出下列函數(shù)：

f

12

；

f

；③

f

.

使得

f

的函數(shù)是（）A．②

B．③

C．③

．②③2．設

x3

，

x

，

1

xdx

則a，，的小0

0A．a(chǎn)>b>c

B．Ca>c>b．b>c>a3．若函數(shù)

f

1在x

是增函數(shù)則

的取值范圍()A．

12

B．

．,D4．由

y

2

和

圍成的封閉圖形的面積是（）A．

．

C

32D335．知

f(xx

x

，則函數(shù)f(在f(0))處切線l與標軸圍成的三角形的面積為A．

1B．2

．D．6．一物體在力x)＝－x＋力位，移單位m)用力下，沿與力(x相的方向由x＝m直線運動到x＝m處做的功)．A．925JB850JC825J．J7．由曲線xy直線yy

所圍成的平面圖形的面積為（）A．

2

B．

4ln3

C．

4

．

3298．已知函數(shù)

xxx，120,1

f

（）A．

B．

C．

2

．

4

9．函數(shù)

(x)

x

(

在[上（）A．有最大值0，最小值

B．最大值0最小值

C．小值

323

，無最大值

．無最大值，也無最小值10．

10

(1x2

)dx）

2323A．

2

2

B．

C．

2

12

．

11．列積分值最大的是（）A．

（

x

B．

22

C．

．

e

1

12．曲線

y4

，y

1x

，x2

圍成的封閉圖形的面積為A．

172

2ln2

B．

152

2

C．

152

+2ln

．

172

+2ln二、填題13．積分

21

1x

的值等________.14．積分

1

xdx

的值為．15．知

fx,x

(e為自然對數(shù)的底)則

e0

f

_________.16．函數(shù)

f

的圖象與直線

x,x

及軸圍成圖形的面積稱為函數(shù)

f

在知數(shù)

f

在

上的面積為

f

在

上的面積為．．定積分

sin

________．18．知平面區(qū)域

4

，直線

lmx

和曲線:y

有兩個不同的交點，直線

l

與曲線

C

圍成的平面區(qū)域為M，區(qū)域內隨機投一點A，A在區(qū)域M內概率為

(M，若()

,12

，則實數(shù)

m的取值范圍___________.19．線20．線

y

x

與直線所圍成的封閉圖形的面積_．和曲線x圍一個葉形圖（如圖所示陰影部分），其面積是________．

00三、解題21．知函數(shù)fx)

ln（aR）

F(x)bx

（

）（）論

f(

的單調性；（）

，

(x)f(x)F)

，若

（

x）gx)12

的兩個零點，且xx122

，試問曲線

yg()

在點x

處的切線能否與軸行？請說明理由.22．圖，函數(shù)

f(x

（其中

2

）的圖象與坐標軸的三個交點為,R

，且

P(Q(,0)3

，M為

QR

3的中點，且的縱坐標為.4（）

f(x)

的解析式；（）線段與數(shù)f()

圖象圍成的圖中陰影部分的面.23．形頂B、在以為直徑的圓上，=2米，(1)如1，若電熱絲由AB，，這部分組成，在，上米可輻1單位熱量，在BC上米可輻射2單位熱量，請設計BC的長度，使得電熱絲輻射的總熱量最大，并求總熱量的最大值；(2)如圖2，電熱絲由弧AB,CD和BC這部分組成，在弧,CD上米可輻射1單位熱量，在弦上每米可輻射2單熱量，請設計的度，使得電熱絲輻射的總熱量最大．

aa24．物體沿直線以速度

v(t)2t（的位為秒v的位為米秒）的速度作變速直線運動，求該物體從時刻t=0秒時刻t=5秒運動的路?25．知函數(shù)

f()

ax

，其中∈R.(1)當＝時，求f(的值；(2)討并求出x在其定義域內的單調區(qū)間．26．知函數(shù)(x

x

．（）函數(shù)

f(x)

的圖象在f(1))處切線經(jīng)過點(0,，求的；（）否存在整數(shù)，使函數(shù)值；若不存在，請說明理由；

f(

的極大值為正值？若存在，求出所有負整數(shù)a的（）

a

，求證：函數(shù)

f(x)

既有極大值，又有極小值【參考答案】***試卷處理標記，請不要除一選題1．解析：【分析】利用定義判①②的函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)和定積分的性質，判①②；利用反證法，結合定積分的性質，判③.【詳解】對，

的定義域為Rf(1)ln(12)2)()即函數(shù)

為奇函數(shù)，則

使得

f的定義域為R對，f)cosx(x)

，即函數(shù)

為奇函數(shù)，則

使得

f對，

，使得

f

成立則

2

，解得a，0矛，則不足故選：【點睛】

10331033本題主要考查了定積分的性質以運用，屬于中檔.2．A解析：【解析】借助定積分的計算公式可算得

a

33x22

，1b

2x213

，

c410

，所以，應選答案A。3．D解析：【解析】由題意得

f

1x

在

上恒成立，即x

，因為

1yx2

在

上單調遞減，所以y

x

x

134a4

，選D.點睛：已知函數(shù)單調性求參數(shù)值或取值范圍的一般方法：）利用導數(shù)結合參數(shù)討論函數(shù)單調區(qū)間取法，根據(jù)單調區(qū)間與定義區(qū)間包含關系，確定參數(shù)值或取值范圍；）利用導數(shù)轉化為導函數(shù)非正或非負恒成立問題，結合變量分離轉化為不含參數(shù)的函數(shù)，利用導數(shù)求新函數(shù)最值得參數(shù)值或取值范.4．C解析：【解析】試題分析：畫出函數(shù)圖象如下圖所示，所以圍成的面積為

1

2

x2

1

323

.

111考點：定積.5．A解析：【解析】試題分析：由

f(xx

x

知

f(x

x

，則

f

x

，而f(0)

，即切點坐標為

，切線斜率

，則切線l:y

x

，切線l與標軸的交點分別為,0和

，則切線

l

與坐標軸圍成的三角形的面積

12考點：函數(shù)在某點處的切線6．C解析：【解析】＝x)dx＝

(322x＋＝x－＋x)

＝000－＋－－＋＝825(J)．7．C解析：【詳解】由，解得，解得yx

13

，

yyx

解得，圍成的平面圖形x的面積為

，則

113xx12x

，

Sln

，故選C.8．D解析：【解析】

f

sin，xdx|0

的幾何意義是以原點為圓心，半徑為

的圓的面積的

，故

1

4

f4

，故選9．B

解析：【分析】根據(jù)定積分的運算，可得

f)

13

x

x

，再利用導數(shù)求得

f(

的單調性和極值，檢驗端點值，即可得答案【詳解】由題意，函數(shù)

f()

x

t(tdt

x

13

x

，則f)xx4)

，當

x[時f

0

，

f(x)

單調遞增；當

x4)時f

，

f(

單調遞減；當(4,5]時f

，

f(

單調遞增；又由

f

32，f(0)0，(4)，f(5)3

，所以函數(shù)

f(

的最大值為0，小值為

.故選：【點睛】本題考查定積分的運算，利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查分析理解，求值化簡的能力，屬中檔題10．解析：【分析】函數(shù)

x2

的圖象是以

(1,0)

為圓心，以1為徑的上半圓，作出直線

，則圖中陰影部分的面積為題目所要求的定積.【詳解】由題意，

x

x2dx()dx

，如圖：

(1,0)()dxx)1x(1,0)()dxx)1xdx1dx()x()dx（2xsinx

x2

的大小相當于是以為圓心以為半徑的圓的面積的

14

，故其值為所以，

4

1，，2210

4

12所以本題選D.【點睛】本題考查求定積分，求解本題關鍵是根據(jù)定積分的運算性質將其值分為兩部分來求，其中一部分要借用其幾何意義求值，在求定積分時要注意靈活選用方法，求定積分的方法主要有兩種，一種是幾何法，借助相關的幾何圖形，一種是定義法，求出其原函數(shù)，本題兩種方法都涉及到了，由定積分的形式分析，求解它的值得分為兩部分來求，和.

11．解析：【分析】對各個選項計算出被積函數(shù)的原函數(shù)，再將上下限代入即可得到結果，進行比較即可得到結果.【詳解】A：

2

xxdx

，函數(shù)x

sin奇函數(shù)，故

x

sin

，

dx|

2

，B:

(x

2

，C:

表示以原點為圓心，以2為徑的圓的面積的，

211115211115

4

14

，D:

1x

dxlnx

ln

，通過比較可知選項的分值最，故選【點睛】計算定積分的步驟：先被積函數(shù)變形為基本初等函數(shù)的和、差等形式②根據(jù)定積分的基本性質，變形③別利用求導公式的逆運算，找到相應的的原函數(shù)④利用積分基本定理分別求出各個定積分的值，然后求代數(shù)差．12．解析：【解析】【分析】聯(lián)立方程組，確定被積區(qū)間和被積函數(shù)，得出曲邊形的面積x)，可求x2解，得到答案．【詳解】由題意，聯(lián)立方程組1，得x

12

，所以曲線

y4x

，

，x2圍的閉圖形的面積為S(4x)dx(2xlnx|(22))]2x222

，故選．【點睛】本題主要考查了利用定積分求解曲邊形的面積，其中解答中根據(jù)題意求解交點的坐標，確定被積分區(qū)間和被積函數(shù)，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填題13．【分析】直接根據(jù)定積分的計算法則計算即可【詳解】故答案為：【點睛】本題考查了定積分的計算關鍵是求出原函數(shù)屬于基礎題解析：【分析】直接根據(jù)定積分的計算法則計算即可．【詳解】

1313

1x

lnx|

，故答案為：．【點睛】本題考查了定積分的計算，關鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎題．14．【解析】根據(jù)定積分的定義知故填解析：

23【解析】根據(jù)定積分的定義知，

1

112133

，故填.15．【解析】因為所以解析：

43【解析】因為

fx,x

，所以

fx0

1131x|e316．【解析】解：令則問題等價于求解在區(qū)間上的面積由題中所給的結論可知：函數(shù)的周期為結合正弦函數(shù)的性質可知：將函數(shù)的圖象向上平移兩個單位得到函數(shù)的圖象增加的面積為：綜上可得：函數(shù)在上的面積為解析【解析】

解：令t

3

，則問題等價于求解

g在區(qū)

上的面積，由題中所給的結論可知：

sin3

13

，函數(shù)gt的期為

2

，結合正弦函數(shù)的性質可知：

sin3tdt

23

，將函數(shù)

yt

的圖象向上平移兩個單位得到函數(shù)的圖象，增加的面積為：

，綜上可得：函數(shù)

f

在

上的面積為

23

.

17．【解析】試題分析：因為所以考點：定積分的計算【方法點睛】本題主要考察利用換元法求定積分計算定積分首先要熟悉常見函數(shù)的導函數(shù)因題中恰好為的導函數(shù)所以可以考慮用換元法來求定積分；本題也可利用三角恒等變換解析：【解析】試題分析：因為2ttdt0

，所以

.考點：定積分的計算【方法點睛】本題主要考察利用換元法求定積分，計算定積分，首先要熟悉常見函數(shù)的導函數(shù)，因題中

恰好為

的導函數(shù)，所以可以考慮用換元法來求定積分；本題也可利用三角恒等變換來求，因為

，所以有

sint

2tdt240

14

udu11u402

.18．【分析】試題分析：平面區(qū)Ω=的面積為當時結合圖形可知直線斜率當時由可知令一交點為由定積分可知面積所以考點：數(shù)形結合法定積分幾何概型概率等點評：本題涉及到的知識點較多題目有一定的難度在求解過程中多次解析：【分析】試題分析：平面區(qū)域Ω=y)|{積為，4

([2SM

，當

S

時，結合圖形可知直線斜率當

時由

ymx

，

可知令一交點為

m2mm

，由定積分可知面積

，所以

m

考點：數(shù)形結合法，定積分，幾何概型概率等點評：本題涉及到的知識點較多，題目有一定的難度，在求解過程中多次用到了數(shù)形結合法，這種方法在求解函數(shù)題，幾何題時應用廣泛，需加以重視【詳解】請在此輸入詳解！19．【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面積即可求得結論【詳解】曲線y=sinx與直線x=0x=π4y=0所圍成的封閉圖形的面積為0π4sinxdx=-cosx|0故答案解析：【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面即求得結.【詳解】曲線

與直線

所圍成的封閉圖形的面積為，故答案為.【點睛】本題主要考查利用定積分求面積，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于基礎.20．【分析】先求出兩個曲線的交點坐標得所求陰影部分應該是曲線從到1的一段投影到x軸的面積減去曲線從0到1的一段投影到x軸的面積最后根據(jù)定積分的幾何意義用積分計算公式可以算出陰影部分面積【詳解】設陰影部1解析：3【分析】先求出兩個曲線的交點坐標

C(1,1)，得所陰影部分應該是曲線

x從到1的段投影到x軸面積減曲線

y

x

從0到1的一段投影到軸面積，最后根據(jù)積分的幾何意義，用積分計算公式可以算出陰影部分面.【詳解】設陰影部分面積為S，題意得兩個圖象的交點為，S

x

313x3

32

3

.故答案:

13

.【點睛】本題著重考查了定積分的幾何意義和積分的計算公式等知識點，屬于中檔.

2x222x222xx,x三、解題21．1）時

f

，

f(x)

在

單調遞增，af(x調減是調增區(qū)間

；（）yf(x)

在x

處的切線不能平行于軸。【解析】試題分析：1）對函數(shù)求導，再依據(jù)到函數(shù)值與函數(shù)單調性之間的關系分類探求單調區(qū)間；（）假曲線

y的切線能否與x軸平，然后依據(jù)假設建立方程0組，最后再構造函數(shù)

tt

導的知識斷定假設不成。解：（）f

2x2xxxx(1)當時

f

單調遞增，（）時，fa

有

,f

-0+f

↘

極小值

↗aa所以時fx的單調減區(qū)間是增區(qū)間是(

2

x假設

y的切線能平行于x軸0

x由假設及題意得：x1111

.................2ln2222

................

200b201222633200b201222633xx2

.................g.............x0由-得，21212x即x.................⑤x1由⑤得，x令x2

12ln21x01

1212.則式可化為

t

2tt

，設函數(shù)

h

2tt

，則

14tt

,所以函數(shù)

2tt

在于是，當

0

時，有

h

tt

與矛.所以

y切線不能平行于x軸0點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，精心設置了兩個問題，旨在考查導數(shù)知識在研究函數(shù)的單調性、極值（最值）等方面的綜合運用。求解第一問時，先函數(shù)的解析式進行求導，再對參數(shù)進行分類討論研究導函數(shù)的值的符號，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；求解第二問時，先假設存在處的切線平行于軸然后在假設的前提下進行分析推證，從而得0出與已知和假設矛盾的結論，使得問題獲解。22．1）

fx

3；（）【解析】分析：1）

P

,0周期

,又ym

3，則y，，而可得結果；2將陰4影部分的面積分成兩部分，分別利用定積分的幾何意義求的曲邊形的面積，求和即.

詳解：1），周期又（）圖可知設軸上方的陰影部分面積為則

，軸方的陰影部分面積為，則點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質以及定積分的幾何意義，屬于中檔.一情況下，定積分

f

的幾何意義是介于軸曲線

y

f

以及直線

x

之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其在軸方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反所以在用定積分求曲邊形面積時，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求23．1）設計BC長為

74

9米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單位．2）應設2計BC長3米電熱絲輻射的總熱量最大．【解析】試題分析：1）角為自變量設＝，別表示，，根據(jù)題意得函數(shù)θ+4sin

,利二倍角余弦公式得關于sin二次函數(shù),據(jù)二次函數(shù)對稱軸與定義區(qū)間2位置關系求最值2）角為自:設＝，用長公式表示,,得函數(shù)2θ＋利導數(shù)求函數(shù)單調并定最值試題解：設AOB＝，(0，)則＝，＝θ，總熱量單位f(θ＝θ+4sin＝8(sin4sin＋，sin＝，此時＝θ＝)，總熱量最大(單位．答：應設計長為米，熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單．

(2)總熱量單位g(θ＝θ＋θ，(0，)令g'θ)0，2－θ＝，＝，增區(qū)間（，），減區(qū)間（，）當θ＝，(θ)最，時＝θ＝

米答：應設計長為

米，電熱絲輻射的總熱量最大．24．

米【解析】當

3時()t當時()t2

.物從時刻t=0秒時刻秒運動的路程

=

929)42

(米25．1）＝－f(x的大點＝＋為(x的小值點；（）見解析【解析】【分析】(1)利導數(shù)求函數(shù)極值點；）先求出

f

1x(2

2

2－＋，a分類討論求出函數(shù)的單調區(qū).【詳解】解：fx)的義域為，＋，4時，x＝x＋

6x

，f

x2xx(x2x

.令fx)0x＝2±3.列表f′(x

(02－3)＋

2－30

(2，＋－

230

(2＋，＋f(x

極大值

極小值所以，＝－為(x的大值點x＝＋3為x)的小值點．(2)

1a1x2(x

，設gx)＝2－＋1，x＞，①＜0時gx)0，x0在x(0＋上恒成立，此時函數(shù)f(x)在間，∞)單調遞增；

2212111212221222121112122212②當＞時g(x)x.24當1－

2

≥0，0＜≤2時，x＞，′(x)＞在x(0，上成立，時函數(shù)(x)在區(qū)間，＋上調增；當a＞時，方程g(x＝的根分別為x

aa2,x2

，且＜＜，當(0，)時，g()＞，′()＞，函x在，上調遞增；當(x，)時，(x＜，′(x＜，故函數(shù)x在，x單調遞減；當(x，＋時，x0，′(x＞，故函數(shù)fxx，＋上調遞增．綜上所述，當a時，函數(shù)x的調增區(qū)間為

(