Chap 7 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題-20140925

數(shù)學(xué)物理方法

48學(xué)時(shí)李清旭數(shù)理學(xué)院2014.09liqx@,2523課程概況

上課時(shí)間、地點(diǎn)(周四9-11節(jié)、4215)

教材

數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼等，高等教育出版社。

參考書(shū)1.數(shù)學(xué)物理方法,姚端正,武漢大學(xué)出版社。

2.數(shù)學(xué)物理方法,吳崇試,北京大學(xué)出版社。最終成績(jī)=平時(shí)成績(jī)(30%)+期末考試成績(jī)(70%)師資隊(duì)伍教師名錄應(yīng)用物理教學(xué)部李清旭教師資料下載QQ:453042413課程內(nèi)容數(shù)學(xué)物理方程及其傅里葉解積分變換方法常微分方程的冪級(jí)數(shù)解球函數(shù)和柱函數(shù)5第七章

數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題6

數(shù)學(xué)物理方程的研究范圍十分廣泛，本課程主要講述線性偏微分方程，尤其是二階線性偏微分方程的相關(guān)內(nèi)容。這些方程是從各種物理問(wèn)題中歸納總結(jié)出來(lái)的。常見(jiàn)的二階線性偏微分方程有如下三類(lèi)：機(jī)械波的波動(dòng)方程根據(jù)牛頓定律可以證明，機(jī)械波的波函數(shù)應(yīng)滿足如下波動(dòng)方程：（一維波動(dòng)方程）8靜電勢(shì)的Laplace方程和Poisson方程由靜電場(chǎng)的性質(zhì)：或者:在沒(méi)有電荷的區(qū)域，靜電勢(shì)滿足Laplace方程：在有電荷分布的區(qū)域，靜電勢(shì)滿足Poisson方程：（靜電場(chǎng)方程）穩(wěn)定問(wèn)題:與時(shí)間無(wú)關(guān).9量子力學(xué)中的Schr?dinger方程如果勢(shì)能函數(shù)不顯含時(shí)間，則上述方程可簡(jiǎn)化為：含時(shí)Schr?dinger方程定態(tài)Schr?dinger方程101112

微分方程中的疊加原理實(shí)際上是物理規(guī)律中的疊加原理的反映。我們知道幾個(gè)物理量同時(shí)存在時(shí)的效果常常等價(jià)于各個(gè)物理量單獨(dú)存在時(shí)效果的疊加。疊加原理又稱(chēng)為獨(dú)立作用原理。疊加原理是線性問(wèn)題和非線性問(wèn)題最本質(zhì)的區(qū)別。在非線性的情況下，疊加原理不成立。13弦的橫振動(dòng)方程

考察長(zhǎng)為l

，兩端固定、水平拉緊的均勻柔軟而有彈性的弦．當(dāng)它在平衡位置附近作垂直于弦的微小橫振動(dòng)時(shí)，求弦上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。14根據(jù)牛頓第二定律，u方向運(yùn)動(dòng)可以描述為：由于弦作微小橫振動(dòng)，從而有：由得到15弦的自由振動(dòng)：f

=

0,弦的受迫振動(dòng)：f≠

0,波速上述弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)過(guò)程表明，該方程反映弦振動(dòng)這一類(lèi)物理問(wèn)題所遵循的物理規(guī)律。該方程不涉及體系和外界的邊界，也不涉及體系的歷史狀況，從而并沒(méi)有確定一個(gè)確定的物理體系或者物理過(guò)程；通常稱(chēng)該方程為泛定方程。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，僅僅振動(dòng)方程并不能確個(gè)確定的振動(dòng)函數(shù)。17邊界條件與初始條件

由物理學(xué)規(guī)律出發(fā)得到的數(shù)學(xué)物理方程是某一類(lèi)（或幾類(lèi)）物理現(xiàn)象所必需遵循的，并不能唯一地、確定地描寫(xiě)某一個(gè)具體的物理過(guò)程。例如從Newton第二定律得到的動(dòng)力學(xué)方程并不能唯一地確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；完全確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還需要有初始條件。一般地，要完全描寫(xiě)一個(gè)具有確定解的物理問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上就是要構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題。除了微分方程之外，構(gòu)成定解問(wèn)題還必須有邊界條件和初始條件。邊界條件用于確定體系和外界的相互作用；初始條件用于確定體系的歷史狀況。18初始條件

初始條件用于確定體系的歷史狀況，當(dāng)所考察的物理現(xiàn)象隨時(shí)間變化時(shí)，需要確定體系的初始條件來(lái)唯一確定地描述該現(xiàn)象。（穩(wěn)定問(wèn)題不需要初始條件）對(duì)于傳導(dǎo)或擴(kuò)散過(guò)程，需要確定體系的初始狀態(tài)：對(duì)于振動(dòng)過(guò)程，初始條件還需要包含速度的信息：19邊界條件

體系的邊界會(huì)影響體系的物理狀態(tài),體系的邊界情況由邊界條件確定.邊界條件反應(yīng)體系和外界的界面上的情況.常見(jiàn)的邊界條件可以分為三類(lèi)第一類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件20第一類(lèi)邊界條件(Dirichlet條件)21第二類(lèi)邊界條件(Neumann條件)22第三類(lèi)邊界條件(混合邊界條件)

第三類(lèi)邊界條件給出未知函數(shù)和在邊界上的法線方向的導(dǎo)數(shù)的線性組合在邊界上的取值，即如桿的縱振動(dòng)問(wèn)題,若一端與一個(gè)一端固定的彈簧相連,則相應(yīng)的邊界條件為23第一、二、三類(lèi)邊界條件可以統(tǒng)一地寫(xiě)成24定解問(wèn)題的分類(lèi)

數(shù)學(xué)物理方程（泛定方程）加上相應(yīng)的定解條件一起構(gòu)成了定解問(wèn)題。根據(jù)定解條件的不同，又可以把定解問(wèn)題分為三類(lèi)：

初值問(wèn)題：定解條件僅有初值條件；

邊值問(wèn)題：定解條件僅有邊值條件；

混合問(wèn)題：定界條件有初值條件也有邊值條件。25定解問(wèn)題的適定性

定解問(wèn)題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，統(tǒng)稱(chēng)為定解問(wèn)題的適定性。存在性：定解問(wèn)題是否有解.唯一性：定解問(wèn)題的解是否唯一.穩(wěn)定性：定解問(wèn)題的解是否穩(wěn)定.

只要對(duì)實(shí)際物理問(wèn)題的抽象是合理的，初始條件完全、確定地描寫(xiě)了初始時(shí)刻體系內(nèi)部和邊界上的狀況；邊界條件完全而確定地描寫(xiě)了邊界上的狀況;

構(gòu)成的定解問(wèn)題就一定是適定的，解一定存在且唯一和穩(wěn)定。261.行波法2.分離變量法3.冪級(jí)數(shù)解法4.格林函數(shù)法

5.積分變換法6.保角變換法7.變分法8.計(jì)算機(jī)仿真解法9.數(shù)值解法數(shù)學(xué)物理方程的常用解法

在求解常微分方程時(shí)，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用給定條件確定通解中的積分常數(shù)。對(duì)于如上定解問(wèn)題，這種做法一般情況下是行不通的。原因在于通常很難求出偏微分方程的通解。

這里有一個(gè)特例，可以沿用求解常微分