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微積分疑難分析系列講座無窮級數(shù)5月25日(星期三)晚7:20地點(diǎn):A203微積分(下)期末考試要點(diǎn)題型分析:填空題15%基本計(jì)算題55-65%證明題5-15%選擇題15%選擇題??純?nèi)容:1、多元函數(shù)連續(xù)、可微、可偏導(dǎo)之間的關(guān)系;2、求多元數(shù)量值函數(shù)積分:二重積分、三重積分、第一類線、面積分計(jì)算.(注意對稱性)3、冪級數(shù)的阿貝爾定理;5、一個(gè)給定級數(shù)的收斂情況.(是絕對收斂或條件收斂或發(fā)散或不定)4、傅立葉級數(shù)的狄立克萊收斂定理;務(wù)必掌握的計(jì)算:1、二階線性常系數(shù)非齊次微分方程
y’’+ay’+by=f(x)
的求解.2、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).3、求多元函數(shù)的(無條件、條件)極值.4、求空間曲線的切線與法平面;求空間曲面的切平面與法線;尤其是抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).如:z=f(xy,x-y);方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).如:6、用格林公式計(jì)算第二類曲線積分;用高斯公式計(jì)算第二類曲面積分.7、求冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù);
將函數(shù)f(x)展開為冪級數(shù)、傅立葉級數(shù).5、計(jì)算二重積分、三重積分、第一類曲面積分、
第二類曲面積分.或二型線積分與路徑無關(guān).證明題??純?nèi)容:主要是關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性證明;(僅2003,2008年沒有考)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)例選擇題CB
二重積分的計(jì)算步驟1、作積分區(qū)域圖.2、根據(jù)區(qū)域的形狀及被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)選擇坐標(biāo)系;
3、化二重積分為二次積分;(1)直角坐標(biāo)系中,需確定是先對y后對x積分還是先對x后對y積分;(2)極坐標(biāo)系中,一般是先對r后對積分.注意:(1)坐標(biāo)系選擇不當(dāng),不僅會增加計(jì)算難度,而且還可能導(dǎo)致積不出來;
(2)直角坐標(biāo)系中,積分次序選擇不當(dāng),也可能會增加計(jì)算難度,甚至積不出來;一、三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在柱面坐標(biāo)系下的計(jì)算三、三重積分在球面坐標(biāo)系下的計(jì)算
三重積分的計(jì)算法1:“先一后二法”(投影法)法2:“先二后一法”(截面法)三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算:而容易積分時(shí),才考慮“先二后一法”.注:
當(dāng)截面Dz容易確定、容易表達(dá);(1)“先一后二法”(投影法)(2)“先二后一法”(截面法)三重積分在柱坐標(biāo)下的計(jì)算:方法:則可選用柱坐標(biāo)系.若(1)被積函數(shù)為f(x2+y2);(2)區(qū)域V的邊界面的方程含x2+y2
;(如邊界面為球面、圓柱面、圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面等)實(shí)質(zhì):將直角坐標(biāo)系中的“先一后二”法或“先二后一”法中的“二”在極坐標(biāo)系中計(jì)算.球坐標(biāo)最佳適用情況:
被積函數(shù)為f(x2+y2+z2);區(qū)域V的邊界面為球面、圓錐面等.*球面坐標(biāo)的體積元素三重積分在球面坐標(biāo)下的計(jì)算:方法三、(直接法)化為定積分。方法二、格林公式:方法一、積分與路徑無關(guān),(注意:積分無關(guān)的區(qū)域D必須是單連通區(qū)域!)(注意:(1)積分曲線L要封閉;(2)P,Q函數(shù)要在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo).)第二類曲面積分的計(jì)算方法二:總投影法(定義法);方法三:分別投影法.方法一:高斯公式法;(注意:曲面S要封閉!)注意:1.線、面積分的被積表達(dá)式中的(x,y,z)
滿足積分曲線或曲面的方程。利用對稱性可簡化積分的運(yùn)算.(但第二類線、面積分的對稱性不僅與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)而且還與積分區(qū)域的方向有關(guān)!)(但二重積分與三重積分沒有此特性?。┕士捎汕€(曲面)方程進(jìn)行等值代換來化簡被積表達(dá)式化簡!!分析:證明:完謝謝大家!例1:填空題例2選擇題:四、第二類曲面積分的計(jì)算方法二:總投影法(定義法);方法三:分別投影法.方法一:高斯公式法;(注意:曲面S要封閉!)(上側(cè)取正,下側(cè)取負(fù)?。┓椒ǘ嚎偼队胺ǎǘx法)(右側(cè)取正,左側(cè)取負(fù)?。ㄇ皞?cè)取正,后側(cè)取負(fù)!)關(guān)鍵:確定將S向哪個(gè)坐標(biāo)面投影。并正確求出法向量。方法三、分別投影法:(1)
1、在D內(nèi)與積分路徑無關(guān)
2、P(x,y)dx+Q(x,y)dy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x,y)的全微分,設(shè)D為平面內(nèi)的單連通區(qū)域,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),(稱u(x,y)為P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一個(gè)原函數(shù))平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件例1填空題:0(2003級期末考題8分)ALOD
(積分路徑
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