數(shù)學(xué)建模答辯-制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析

制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析河南科技大學(xué)

2009年9月2009年數(shù)學(xué)建模A題一、問(wèn)題分析

1.電慣量補(bǔ)償機(jī)械慣量的方法

控制器在控制系統(tǒng)制動(dòng)的過(guò)程中，制動(dòng)器的扭轉(zhuǎn)力矩，電動(dòng)機(jī)的扭轉(zhuǎn)力矩，它們滿足的動(dòng)力學(xué)方程：通過(guò)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償?shù)姆椒梢詫?shí)現(xiàn)汽車(chē)慣量的電慣量的等效模擬。電動(dòng)機(jī)在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補(bǔ)償由于機(jī)械慣量不足而缺少的能量。

2.控制方法與評(píng)價(jià)

由于制動(dòng)器性能的復(fù)雜性，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流與時(shí)間之間的精確關(guān)系很難得到。工程實(shí)際中常用的計(jì)算機(jī)控制方法是：把整個(gè)制動(dòng)時(shí)間離散化為許多小的時(shí)間段，然后根據(jù)前面時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/或瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)出本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流的值，這個(gè)過(guò)程逐次進(jìn)行，直至完成制動(dòng)。評(píng)價(jià)控制方法優(yōu)劣的一個(gè)重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小。二、模型的基本假設(shè)

根據(jù)對(duì)模型的分析提出以下假設(shè)：1.飛輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中除受制動(dòng)器和驅(qū)動(dòng)電機(jī)產(chǎn)生的扭矩外，不考慮其他任何外力對(duì)其產(chǎn)生的扭矩。2.電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比。3.不考慮觀測(cè)誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問(wèn)題離散化所產(chǎn)生的誤差。4.忽略車(chē)輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量。5.認(rèn)為主軸的角速度與車(chē)輪的角速度始終一致。三、模型的建立

圖1試驗(yàn)臺(tái)上電慣量式制動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖1.模型的分析

根據(jù)機(jī)械動(dòng)力學(xué)原理，機(jī)械慣性式制動(dòng)器滿足：

①制動(dòng)力矩恒定：

②制動(dòng)力矩變化：

根據(jù)以上分析，我們分別建立了基于恒定力矩和非恒定力矩的兩種數(shù)學(xué)模型。

2.模型一：基于恒定力矩的數(shù)學(xué)模型

制動(dòng)器施加的扭矩，電動(dòng)機(jī)施加的扭矩。

當(dāng)時(shí)，實(shí)現(xiàn)電慣量對(duì)機(jī)械慣量的模擬。可得：

電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流為：

圖2飛輪組系統(tǒng)的在恒力矩下隨時(shí)間變化示意圖

系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定轉(zhuǎn)速后，制動(dòng)器開(kāi)始制動(dòng)。

曲線1中，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩，得

由曲線2，得電流控制方法

依據(jù)以上模型，設(shè)計(jì)電流控制方法。這種方法根據(jù)前一時(shí)間段的瞬時(shí)扭矩與理論扭矩的相對(duì)大小，決定電機(jī)電流的增減值,然后逐段向后遞推。首先根據(jù)試驗(yàn)需要模擬的初轉(zhuǎn)速、末轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算出扭矩的理論值。根據(jù)，可以計(jì)算出前一段時(shí)間導(dǎo)致扭矩不等于理論值的電流值為：

應(yīng)使下一段的電流在前一段的基礎(chǔ)上變化。假如，則；假如，則；假如，則。

3.模型二：基于非恒定力矩的數(shù)學(xué)模型

假定制動(dòng)器的阻力距是前一段適用于下一段。

第k-2處瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為，第k-1處瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為，則有：

則A過(guò)程的制動(dòng)力矩：將應(yīng)用于B過(guò)程，設(shè)第k處轉(zhuǎn)速為,則其滿足：

與上式聯(lián)立得圖3求解驅(qū)動(dòng)電流時(shí)的分段示意圖從而我們知道了下段時(shí)間末處即第處要盡量達(dá)到的瞬時(shí)速。

第k-1處飛輪組的動(dòng)能為：第k處飛輪組的動(dòng)能為：由能量轉(zhuǎn)換關(guān)系可得：從而得到第處的扭矩：由它得第三段的電流I。按上述方法向下工作，從而循環(huán)運(yùn)行。該模型是電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流依賴于可觀測(cè)量的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)，其本身也是根據(jù)前一個(gè)時(shí)間段的觀測(cè)值，設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流值的計(jì)算機(jī)控制方法。

四、模型的求解

1.問(wèn)題一的分析與求解

車(chē)輛的平動(dòng)動(dòng)能：

等效的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：

令

則有：

代入數(shù)據(jù)得等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為522.問(wèn)題二的分析與求解

飛輪模型如圖4所示。圖4飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量模型

由于又知可得由上式計(jì)算得三個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

結(jié)合基礎(chǔ)慣量，經(jīng)組合可得8種機(jī)械慣量，分別為可對(duì)兩種機(jī)械慣量進(jìn)行補(bǔ)償，需要電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償?shù)膽T量分別為

由模型一可知：當(dāng)時(shí)，得：負(fù)號(hào)表示電動(dòng)機(jī)的扭轉(zhuǎn)力矩與制動(dòng)器產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)力矩方向相反。當(dāng)時(shí)，得：假設(shè)制動(dòng)減速度為常數(shù)的前提下，模型一、二等效，說(shuō)明如下：由模型二的以下兩式在假設(shè)條件下可得

這與模型一的表達(dá)形式一樣，運(yùn)用模型二進(jìn)行求解的結(jié)果與模型一的結(jié)果相同。

3.問(wèn)題三的分析與求解

4.問(wèn)題四的分析與求解系統(tǒng)從制動(dòng)開(kāi)始到制動(dòng)結(jié)束，能量的變化量的理論值為能量的變化量的實(shí)際值為則得到能量的相對(duì)誤差為：從能量誤差這個(gè)主要指標(biāo)來(lái)看，這種控制方法是可行的，但不是很好。5.1模型一中的控制方法與評(píng)價(jià)

5.問(wèn)題五的分析與求解

采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法。

由于隨機(jī)量的存在，每一次的程序運(yùn)行結(jié)果都會(huì)略有不同。經(jīng)多次運(yùn)行程序發(fā)現(xiàn)，得到的能量誤差在1.5%到5%之間變動(dòng)。再?gòu)霓D(zhuǎn)速變化與勻減速的接近程度上看，該控制方法是可行的。

圖6模型一中轉(zhuǎn)速、扭矩隨時(shí)間的變化曲線圖5模型一控制與模擬流程圖5.2模型二中的控制方法與評(píng)價(jià)圖8模型二轉(zhuǎn)速、扭矩隨時(shí)間的變化曲線

模擬過(guò)程中選擇的隨機(jī)變量比例與模型一中相同。得到的能量誤差在2%到7%之間變動(dòng)，該控制方法是可行的。

采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法。圖7模型二控制與模擬流程圖6.1模型一的改進(jìn)與評(píng)價(jià)

6.問(wèn)題六的分析與求解圖9模型一改進(jìn)后轉(zhuǎn)速、扭矩隨時(shí)間的變化曲線

采用使電流值在最初階段迅速上升的方法,盡量減小扭矩逐漸增加的初始階段對(duì)轉(zhuǎn)速變化的平滑性的影響。結(jié)果如圖7，電流值上升階段的時(shí)間明顯地縮短整個(gè)轉(zhuǎn)速變化曲線更加平滑。

6.2模型二的改進(jìn)與評(píng)價(jià)

該模型中初值的選擇對(duì)控制結(jié)果有一定程度影響,為減小能量誤差可采用如下方法。

先隨意給定初值后反向計(jì)算，逐段向前推導(dǎo)，可推出一個(gè)初值，以該值作為初值可使電動(dòng)機(jī)力矩快速趨于正常。圖10誤差與初值的關(guān)系圖

從圖8中可以看出，誤差的變化范圍隨初值增大而減小，初值（在一定范圍內(nèi)）較大時(shí)，誤差波動(dòng)范圍較小，控制比較穩(wěn)定。

五、模型的評(píng)價(jià)

1.對(duì)模型一的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：從物理學(xué)角度出發(fā)建立的合適的數(shù)學(xué)模型，符合一般的實(shí)驗(yàn)情況。缺點(diǎn)：僅適用于恒力矩制動(dòng)的情況。2.對(duì)模型二的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：基于變力矩補(bǔ)償慣量的數(shù)學(xué)模型，與模型一互補(bǔ)。缺點(diǎn)：假定制動(dòng)器的阻力距是前一段適用于下一段，該假設(shè)是提高模型的精度和模型的推廣方面的“瓶頸”。六、模型的進(jìn)一步改進(jìn)

1.基于能量補(bǔ)償?shù)目刂品椒?/p>

提出一種慣量模擬的能量補(bǔ)償法，通過(guò)控制電動(dòng)機(jī)輸出功來(lái)補(bǔ)償待模擬的慣量。

2.模糊整定PID控制算法計(jì)算機(jī)控制方案