華南理工大學本科基礎工程34～38

3.4文克勒地基上梁的計算(jìsuàn)一、無限長梁的解答精品資料1.微分方程式對圖（b）的梁的微單元，考慮(kǎolǜ)豎向的靜力平衡條件得：由此得根據材料力學，梁撓度w的微分方程式為（3-9）將上式連續(xù)對x取兩次導數后，利用關系可得精品資料上式是基礎梁的撓曲微分方程，對哪一種(yīzhǒnɡ)地基模型都適用。采用文克勒地基模型時，根據變形協(xié)調條件，地基沉降等于梁的撓度：即s=w。對梁的無荷載部分（q=0），上式變?yōu)檫@就是文克勒地基上梁的撓曲微分方程式。上式還可寫成如下形式：（3-13）式中——梁的柔度特征值，，它的倒數1/稱為特征長度。特征長度愈大（或值愈小），則梁相對愈剛。精品資料以上四階常系數線性常微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的通解為：（3-14）其中待定的積分常數C1、C2、C3和C4可按梁兩端的邊界條件確定。精品資料2.集中(jízhōng)荷載作用下的解答（1）豎向集中(jízhōng)力F0作用下坐標原點O：F0的作用點a）x→∞時，w→0，由此可得C1＝C2＝0。于是，對梁的右半部（x>0）（3-15）精品資料b），由此可得C3＝C4＝C。則式（3-15）變?yōu)椋?-16）c）在O點處緊靠F0的左、右側(yòucè)把梁切開，則作用于O點左右兩側截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根據符號規(guī)定，在右側(yòucè)截面有V=－F0/2。F0+V符號(fúhào)規(guī)定精品資料由此得。代入式（3-16）

（3-17）將上式對x依次取一階、二階和三階導數(dǎoshù)，就可以求得梁截面的轉角、彎矩和剪力。將所得公式歸納如下：精品資料（3-18）式中

這四個系數都是的函數，其值也可由表3-1查得。對F0左邊(zuǒbian)的截面（x＜0），需用x的絕對值代入計算，計算結果為w和M時正負號不變，但和V則取相反的符號?；追戳Π磒=kw計算。w，，M,V的分布圖如右圖所示。精品資料（2）集中(jízhōng)力偶M0作用下坐標原點O：M0的作用點a）x→∞時，w→0，由此可得C1＝C2＝0。于是，對梁的右半部（x>0）

（3-15）b）x=0時，w→0，由此可得C3＝0。于是精品資料c）在O點處緊靠(jǐnkào)M0的左、右側把梁切開，則作用于O點左右兩側截面上的彎矩均等于M0之半，且為逆時針方向。根據符號規(guī)定，在右側截面有M=M0/2。由此得。于是（3-20）M0M0/2+M符號(fúhào)規(guī)定精品資料求w對x的一、二和三階導數(dǎoshù)后，所得的式子歸納如下：（3-21）式中系數Ax、Bx、Cx和Dx與式（3-19）相同。當計算截面位于M0的左邊時，式（3-21）中的x取絕對值，w和M取與計算結果相反的符號，而和V的符號不變。w，，M，V的分布圖如右圖所示。精品資料（3）多個集中荷載作用(zuòyòng)計算無限長梁上任意截面的w、、M和V時，按式（3-18）或（3-21）分別計算各荷載單獨作用(zuòyòng)時在該截面引起的效應，然后疊加得到共同作用(zuòyòng)下的總效應。注意：在每一次計算時，均需把坐標原點移到相應的集中荷載作用(zuòyòng)點處。式中系數Aa、Cb、Dc等的腳標表示其所對應的值分別為、、。精品資料二、有限長梁的計算有限長梁的計算有多種方法：①以“初參數(cānshù)法”確定式（3-14）中的積分常數；②以上面導得的無限長梁的計算公式為基礎，利用疊加原理來求得滿足有限長梁兩自由端邊界條件的解答。第①種方法可參看有關書籍第②種方法的原理如下：精品資料有限長梁（梁Ⅰ）用無限長梁（梁Ⅱ）來代替時，則外荷載將在梁Ⅱ的A、B兩截面（相應于的梁Ⅰ兩端）產生撓度、轉角、彎矩Ma、Mb和剪力Va、Vb。但梁Ⅰ的A、B兩自由端并不存在彎矩和剪力，為此，需在梁Ⅱ緊靠A、B兩截面的外側各施加一對附加荷載FA、MA和FB、MB（稱稱為(chēnɡwéi)梁端邊界條件力，其正方向如圖所示），要求這對附加荷載在A、B兩截面產生的彎矩和剪力分別為-Ma、-Va及-Mb、-Vb：精品資料

解上述(shàngshù)方程組得：精品資料式中其中sh表示雙曲線正弦函數；El及Fl值按值由表3-1查得。當作用于有限(yǒuxiàn)長梁上的外荷載對稱時，Va=-Vb，Ma=Mb，上式可簡化為：精品資料這樣，梁Ⅱ在已知荷載(hèzài)和梁端邊界條件力的共同作用下，A、B兩截面的彎矩和剪力均為零，滿足原來梁Ⅰ兩端為自由端的邊界條件。其效果相當于把梁Ⅱ在A和B處切斷而成為梁Ⅰ，梁ⅡAB段的內力與變形情況就完全等同于梁Ⅰ。精品資料有限長梁Ⅰ上任意(rènyì)點的w、、M、V的計算步驟：（1）按式（3-18）和式(3-21)以疊加法計算已知荷載在梁Ⅱ上相應于梁Ⅰ兩端的A和B截面引起的彎矩和剪力Ma、Va及Mb、Vb;（2）按式（3-24）或（3-25）計算梁端邊界條件力FA、MA和FB、MB；（3）再按式（3-18）和（3-21）以疊加法計算在已知荷載和邊界條件力的共同作用下，梁Ⅱ上相應于梁Ⅰ所求截面處的w、、M和V值。精品資料三、地基上梁的柔度指數是表征文克勒地基上梁的相對剛柔程度的一個無量綱值，叫做柔度指數。當時，梁的剛度為無限大，可視為剛性梁；而當時，梁是無限長的，可視為柔性梁。一般認為可按值的大小將梁分為下列三種：短梁（剛性梁）中長梁（有限剛度梁）長梁（柔性梁對短梁，可采用基底反力呈直線變化的簡化(jiǎnhuà)方法計算；對長梁，可利用無限長梁或半無限長梁的解答計算。精品資料對短梁，可采用基底反力呈直線變化的簡化方法計算；對長梁，可利用(lìyòng)無限長梁或半無限長梁的解答計算。在選擇計算方法時，除了按值劃分梁的類型外，還需兼顧外荷載的大小和作用點位置。對于柔度較大的梁，有時可以直接按無限長梁進行簡化計算。例如：當梁上的一個集中荷載（豎向力或力偶）與梁端的最小距離x>π/λ時，按無限長梁計算w、M、V的誤差將不超過4.3％；而對梁長為π/λ，但荷載作用于梁中部(zhōnɡbù)的梁來說，只能按有限長梁計算。

x>π/λ

π/λ精品資料四、基床系數的確定地基有一定的擴散應力和變形的能力(nénglì)，基底某點i的沉降可用式（3-4）表達。按式（3-1）的定義，i點的基床系數ki可表示為

由上式可見，沿基底各點的基床系數值實際上并非常數，而是隨著點的位置不同而變化的。k值取決于地基土層的分布情況及其壓縮性、基底的大小和形狀，以及與基礎荷載和剛度有關的地基中的應力等一系列復雜因素。因此，基床系數k不是單純表征土的力學性質的計算指標。嚴格說來，在進行地基上梁或板的分析之前，基床系數的數值是難于準確預定的。精品資料下面(xiàmian)介紹幾種確定基床系數的方法以供參考。（1）按基礎的預估沉降量確定①對某個特定的地基和基礎條件：（3-27）②對地基可壓縮的厚度h≤b/2（b:基礎底面寬度）的薄壓縮層地基，則在薄壓縮層地基范圍內的附加應力≈p0，基底平均沉降sm=h/Es≈p0h/Es，代入式（3-27）得（3-28）③如薄壓縮層地基由若干分層組成，則（3-29）精品資料（2）按載荷試驗成果確定如地基壓縮層范圍內的土質均勻，則可取p-s曲線上對應于基底平均反力p的剛性載荷板（寬度為bp）沉降值s來計算(jìsuàn)載荷板下的基床系數kp=p/s對粘性土地基，實際基礎（寬度為b）下的基床系數按下式確定：（3-30）ps精品資料國外常按K.Terzaghi建議的方法，采用1英尺×1英尺（305mm×305mm）的方形載荷板進行試驗。對砂土采用下式計算（考慮了地基中砂土的變形模量隨深度逐漸增大(zēnɡdà)的影響）：（3-31）式中：基礎寬度的單位為m；基礎和載荷板下的基床系數k和kp的單位均取MN/m3。對粘性土，考慮基礎長寬比m=l/b（m>1）的影響，以下式計算：（3-32）精品資料基床系數k的數值，因土質松密軟硬的不同狀態(tài)，可能變動(biàndòng)于幾MN/m3到幾百MN/m3之間。許多書籍都列有按土類名稱及其狀態(tài)給出的經驗值（見下表）?；蚕禂祂

值土的分類土的狀態(tài)kN/m3淤泥質粘土3.0～5.0淤泥質粉質粘土5.0～10粘土，粉質粘土軟塑可塑硬塑5.0～2020～4040～100砂土松散中密密實7.0～1515～2525～40礫石中密25～40精品資料基床系數k的取值對計算結果的影響：在常用k值范圍內（k＝0.1～50MN/m3），對彎矩影響不大，但對基礎沉降(chénjiàng)影響很大[參見例題3-1（4）]。精品資料【例3-1】條形基礎抗彎剛度EI=4.3×103MPa·m4，長l=17m，底面寬b=2.5m，預估平均沉降sm=39.7mm。試計算基礎中點C處的撓度、彎矩和基底凈反力?！窘狻浚?）確定基床系數k設基底附加(fùjiā)壓力p0約等于基底平均凈反力pj：以下步驟自看。精品資料3.6柱下條形基礎柱下條形基礎是常用于軟弱地基上框架或排架結構的一種基礎類型。其特點是間隔(jiàngé)承受柱的集中荷載，設計時必須考慮縱向和橫向的彎曲應力和剪應力并配置受力鋼筋。精品資料柱下條形基礎可用于地基承載力不足，需加大基礎底面尺寸，而配置柱下擴展基礎又在平面尺寸上受到限制的情況；尤其是當柱荷載或地基壓縮性分布不均勻，且建筑物對不均勻沉降敏感時，在柱列下配置抗彎剛度較大的柱下條形基礎能收到一定的效果。但造價較高。因此，在一般情況下，柱下應優(yōu)先考慮設置擴展基礎。如遇下述特殊情況時可以考慮采用柱下條形基礎：①當地基較軟弱，承載力較低，而荷載較大時，或地基壓縮性不均勻（如地基中有局部軟弱夾層、土洞等）時；②當荷載分布不均勻，有可能(kěnéng)導致較大的不均勻沉降時；③當上部結構對基礎沉降比較敏感，有可能(kěnéng)產生較大的次應力或影響使用功能時。精品資料一、構造要求一般采用倒T形截面（沿柱列軸線的肋梁＋從梁底沿其橫向伸出的翼板）。肋梁高度不宜太小，一般宜為柱距的1/8~1/4，并應滿足受剪承載力計算的要求。

當柱荷載較大(jiàodà)時，可在柱兩側局部增高（加腋）。精品資料一般肋梁沿縱向取等截面，梁每側比柱至少寬出50mm。當柱垂直于肋梁軸線方向的截面邊長大于400mm時，可僅在柱位處將肋部加寬。翼板厚度不應小于200mm。當翼板厚度為200~250mm時，宜用等厚度翼板；當翼板厚度大于250mm時，宜用變厚度翼板，其坡度(pōdù)小于或等于1:3。精品資料在一般情況下，條形基礎端部應伸出邊柱以外，其作用在于增加基底面積，調整底面形心位置，使基底壓力分布較為(jiàowéi)均勻，并使各柱下彎矩與跨中彎矩趨于均衡以利配筋，外伸長度宜為邊跨跨距的0.25～0.3倍。當荷載不對稱時，兩端伸出長度可不相等，以使基底形心與荷載合力作用點重合。但也不宜伸出太多，以免基礎梁在柱位處正彎矩太大。精品資料基礎肋梁的縱向受力鋼筋、箍筋和彎起筋應按彎矩圖和剪力圖配置(pèizhì)。柱位處的縱向受力鋼筋布置在肋梁底面，而跨中則布置在頂面。精品資料柱位處的縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋布置在肋梁底面，而跨中則布置在頂面。底面縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋的搭接位置宜在跨中，頂面縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋則宜在柱位處，其搭接長度ld應滿足要求。當縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋直徑d>22mm時，不宜采用非焊接的搭接接頭?？紤]到條形基礎可能出現整體彎曲，且其內力分析往往不很準確，故頂面的縱向(zònɡxiànɡ)受力鋼筋宜全部通長配置，底面通長鋼筋的面積不應少于底面受力鋼筋總面積的1/3。精品資料精品資料當基礎梁的腹板高度大于或等于450mm時，在梁的兩側面應沿高度配置縱向構造鋼筋每側構造鋼筋面積不應小于腹板截面面積的0.1%，且其間距不宜大于200mm。梁兩側的縱向構造鋼筋，宜用拉筋連接，拉筋直徑與箍筋相同，間距500~700mm，一般為兩倍的箍筋間距。箍筋直徑一般為6~12mm，對梁高大于800mm的梁，其箍筋直徑不宜小于8mm，箍筋間距按有關(yǒuguān)規(guī)定確定。當梁寬小于或等于350mm時，采用雙肢箍筋；梁寬在350~800mm時，采用四肢箍筋；梁寬大于800mm時，采用六肢箍筋。單向條形基礎還可能沿橫向受有力矩荷載而使基礎橫截面發(fā)生扭轉，所以配置于肋梁的箍筋應該是封閉式的，必要時還應進行受扭承載力計算。精品資料翼板的橫向受力鋼筋由計算確定，但直徑不應小于10mm，間距100~200mm。非肋部分的縱向分布鋼筋可用直徑8~10mm，間距不大于300mm。其余(qíyú)構造要求可參照鋼筋混凝土擴展基礎的有關規(guī)定。柱下條形基礎的混凝土強度等級不應低于C20。橫向(hénɡxiànɡ)受力鋼筋非肋部分的縱向分布鋼筋精品資料二、內力(nèilì)計算條形基礎內力(nèilì)計算方法主要有簡化計算法和彈性地基梁法兩種。計算(jìsuàn)方法簡化計算法彈性地基梁法靜定分析法（靜定梁法）倒梁法假定上部結構剛度很小假定上部結構剛度很大精品資料1.簡化計算法假設：基底反力為直線（平面）分布(fēnbù)。為滿足這一假定，要求條形基礎具有足夠的相對剛度。當柱距相差不大時，通常要求基礎上的平均柱距l(xiāng)m應滿足下列條件：（3-46）式中1/是文克勒地基上梁的特征長度[式（3-12）]。對一般柱距及中等壓縮性的地基，按上述條件進行分析，條形基礎的高度應不小于平均柱距的1/6。精品資料靜定分析法只宜用于上部結構為柔性(róuxìnɡ)結構、且自身剛度較大的條形基礎以及聯(lián)合基礎。該法不考慮與上部結構的相互作用，因而在荷載和直線分布的基底反力作用下基礎梁將產生整體彎曲。與其他方法比較，這樣計算所得的基礎不利截面上的彎矩絕對值一般較大。精品資料倒梁法假定上部結構是剛性的，各柱之間沒有沉降差異。該法只考慮出現于柱間的局部彎曲，而略去沿基礎(jīchǔ)全長發(fā)生的整體彎曲，因而所得的柱位處截面的正彎矩與柱間最大負彎矩絕對值相比較，比其它方法均衡，所以基礎(jīchǔ)不利截面的彎矩最小。按倒置的普通連續(xù)梁（采用彎矩分配法或彎矩系數法）計算。精品資料值得注意的是，倒梁法所得的支座反力一般不等于原先用以計算基底(jīdǐ)凈反力的豎向荷載。一般以倒梁法計算的邊柱支座反力比原來的豎向柱荷載減少，而內柱則比原來的增加。這可理解為上部結構的整體剛度對基礎整體彎矩的抑制作用，使柱荷載的分布均勻化。精品資料若支座反力與相應的柱軸力相差較大（如相差20%以上），可采用(cǎiyòng)實踐中提出的“基底反力局部調整法”加以彌補。此法是將支座反力與柱子的軸力之差（正或負的）均勻分布在相應支座兩側各三分之一跨度范圍內（對邊支座的懸臂跨則取全部），作為基底反力的調整值，然后再按反力調整值作用下的連續(xù)梁計算內力，最后與原算得的內力疊加。經調整后不平衡力將明顯減小，一般調整1~2次即可。精品資料精品資料綜上所述，當下列條件滿足時，可以采用倒梁法計算柱下條形基礎(jīchǔ)的內力：上部結構的整體剛度較好，地基壓縮性、柱距和荷載分布都比較均勻（如相差不超過20%），基礎(jīchǔ)高度大于平均柱距的1/6或式（3-46）的條件滿足。當條形基礎(jīchǔ)的相對剛度較大時，由于基礎(jīchǔ)的架越作用，其兩端邊跨的基底反力會有所增大，故兩邊跨的跨中彎矩及第一內支座的彎矩值宜乘以1.2的增大系數。需要指出，當荷載較大、土的壓縮性較高或基礎(jīchǔ)埋深較淺時，隨著端部基底下塑性區(qū)的開展，架越作用將減弱、消失，甚至出現基底反力從端部向內轉移的現象。精品資料2.彈性地基梁法當不滿足按簡化(jiǎnhuà)計算法計算的條件時，宜按彈性地基梁法計算基礎內力。一般可以根據地基條件的復雜程度，分下列三種情況選擇計算方法：（1）對基礎寬度不小于可壓縮土層厚度二倍的薄壓縮層地基，如地基的壓縮性均勻，則可按文克勒地基上梁的解析解（3.4節(jié)）計算，基床系數k可按式（3-28）或（3-29）確定。（2）當基礎寬度滿足情況（1）的要求，但地基沿基礎縱向的壓縮性不均勻時，可沿縱向將地基劃分成若干段（每段內的地基較為均勻），每段分別按式（3-29）計算基床系數，然后按文克勒地基上梁的數值分析法（3.5.2節(jié)）計算。精品資料（3）當基礎寬度不滿足情況（1）的要求，或應考慮鄰近基礎或地面堆載對所計算基礎的沉降和內力(nèilì)的影響時，宜采用非文克勒地基上梁的數值分析法進行迭代計算。精品資料l三、柱下條形基礎的設計步驟1.根據建筑條件、工程地質及水文地質條件等確定基礎埋深d（2.3節(jié)）2.確定地基承載力特征值fa（2.4節(jié)）3.確定基礎底面尺寸l、b①基礎長度l：可按主要荷載(hèzài)合力作用點與基礎底面形心盡量靠近的原則，并結合端部伸出邊柱的長度決定；x∑Ni精品資料②基底(jīdǐ)寬度b：按地基地基承載力特征值fa計算確定（2.5節(jié)）軸心荷載作用時（3-47）