2022年北京平谷區(qū)第四中學高三數學文期末試題含解析

2022年北京平谷區(qū)第四中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設x，y滿足約束條件

，若目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則的最小值為(

).A.

B.

C.

D.4參考答案：B2.已知O為坐標原點，F1、F2分別是雙曲線C：﹣=1的左右焦點，A為C的左頂點，P為C上一點，且PF1⊥x軸，過點A的直線l與線段PF1交于點M，與y軸交于點E，若直線F2M與y軸交點為N，OE=2ON，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據條件求出直線AE的方程，求出N，E的坐標，利用|OE|=2|ON|的關系建立方程進行求解即可．【解答】解：∵PF1⊥x軸，∴設M（﹣c，t），則A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，則AE的方程為y=（x+a），令x=0，則y=，即E（0，），∵N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即c=2a，則離心率e==2，故選：B3.在平面區(qū)域內隨機取一點，則所取的點恰好落在圓內的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.設函數，若，且，則mn的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A5.在平面直角坐標系xoy中，設橢圓（a>b>0）的焦距為2c，以點O為圓心，a為半徑作圓M，若過點P（，0）作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.復數(i是虛數單位）在復平面內對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：【知識點】復數的基本概念與運算L4【答案解析】B

∵i（1+i）=i+i2=-1+i，∴i（1+i）即復數為-1+i，

∴-1+i在復平面內對應的點（-1，1）位于第二象限．故答案為：B．【思路點撥】由i（1+i）=-1+i，由此能求出復數i（1+i）的復數在復平面內對應的點所在的象限．7.若圓與圓，則（

）

參考答案：C8.已知函數存在極值，若這些極值的和大于，則實數的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知正項的等比數列滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（

）A

B

C

D

2參考答案：C10.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與y=﹣1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π，要得到y(tǒng)=f（x）的圖象，只需把y=cos2x的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位參考答案：B【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題；三角函數的圖像與性質．【分析】依題意可知f（x）=sin（ωx+）的周期為π，從而可求得ω，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與y=﹣1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），則g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的圖象，只需將y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的圖象右平移個單位即可．故選B．【點評】本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，求得ω的值是關鍵，考查平移知識與運算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a>0，且a≠1，,則實數a的取值范圍是

.參考答案：12.已知直線與曲線相切于點，則b的值為

．參考答案：將點坐標代入曲線方程得，，曲線方程為，對應函數的導數為，依題意得，解得，．13.在邊長為1的正方形ABCD中,E、F分別為BC、DC的中

點，則__________.參考答案：略14.不等式的解集是

．參考答案：(-1,1)15.觀察等式

……由以上等式推測到一個一般的結論：對于_____________.參考答案：16.已知a=4，則二項式（x2+）5的

展開式中x的系數為

．參考答案：略17.已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則BD＝

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某高中為了推進新課程改革，滿足不同層次學生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設數學、物理、化學、生物和信息技術輔導講座，每位有興趣的同學可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導講座，也可以放棄任何一門科目的輔導講座。（規(guī)定：各科達到預先設定的人數時稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計數據表明，各學科講座各天的滿座的概率如下表：根據上表：（1）求數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；

（2）設周三各輔導講座滿座的科目數為，求隨機變量的分布列和數學期望。參考答案：解（I）設數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，則………4分（II）的可能值得為0，1，2，3，4，5……………9分所以隨機變量的分布列如下：012345故………12分19.設函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若函數在(0,+∞)上有零點，證明：.參考答案：（1）在上是增函數，在上是減函數；（2）.【分析】（1）先確定函數的定義域，然后求，進而根據導數與函數單調性的關系，判斷函數的單調區(qū)間；（2）采用分離參數法，得，根據在上存在零點，可知有解，構造，求導，知在上存在唯一零點，即零點k滿足，進而求得，再根據有解，得證【詳解】（1）解：函數的定義域為，因為，所以．所以當時，，在上是增函數；當時，，在上是減函數．所以在上增函數，在上是減函數．（2）證明：由題意可得，當時，有解，即有解．令，則．設函數，所以在上單調遞增．又，所以在上存在唯一的零點．故在上存在唯一的零點．設此零點為，則．當時，；當時，．所以在上的最小值為．又由，可得，所以，因為在上有解，所以，即．【點睛】本題考查了利用導數求函數的單調區(qū)間，考查了利用導數證明不等式成立，考查了利用導數研究函數的零點問題，涉及了求函數導數，函數零點存在性定理的應用等知識；從哪里入手，怎樣構造，如何構造適當的函數，是解決此類問題的關鍵一步.20.選修4﹣4：坐標系與參數方程在直角坐標平面內，直線l過點P（1，1），且傾斜角α=以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；（Ⅱ）設直線l與圓C交于A、B兩點，求|PA|?|PB|的值．參考答案：【考點】：簡單曲線的極坐標方程．【專題】：坐標系和參數方程．【分析】：（Ⅰ）由圓C的極坐標ρ=4sinθ根據x=ρcosθ、y=ρsinθ化為直角坐標方程．（Ⅱ）由題意可得直線的方程為，代入曲線方程化簡求得t1和t2的值，可得|PA|?|PB|=|t1|?|t2|的值．解：（Ⅰ）由圓C的極坐標ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐標方程為x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）為圓心、半徑等于2的圓．（Ⅱ）由直線l過點P（1，1），且傾斜角α=，可得直線的方程為．把直線方程代入曲線方程化簡可得+﹣4（1+t），解得t1=，t2=﹣，∴|PA|?|PB|=|t1|?|t2|=2．【點評】：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線的參數方程，參數的幾何意義，屬于基礎題．21.學校要建一個面積為的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為和的小路（如圖所示）。問游泳池的長和寬分別為多少米時，占地面積最?。坎⑶蟪稣嫉孛娣e的最小值。參考答案：設游泳池的長為，則游泳池的寬為,

又設占地面積為，依題意，得當且僅當,即時,取“=”.答：游泳池的長為,寬為時，占地面積最小為64822.（13分）已知函數，曲線在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為，若時，有極值．(I)求a、b、c的值；(II)求在[-3,1]上的最大值和最小值．參考答案：解析：(I)由，得．……2分當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．

①當時，有極值，則，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得

a=2,b=-4．……5分設切線l的方程為

．由原點到切線l的距離為，則．解得m=±1．∵切線l不過第四象限，∴m=1．……6分由于l切點的橫坐標為x=1，∴．∴1+a+b+c=4．∴c=5