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2021-2022學年遼寧省營口市鲅魚圈區(qū)第一中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.設(shè)x=sina,且a?,則arccosx的取值范圍是(
)(A)[0,p]
(B)[,]
(C)[0,]
(D)[,p]參考答案:C2.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+),則下列結(jié)論錯誤的是A.f(x)的一個周期為?2π B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C.f(x+π)的一個零點為x= D.f(x)在(,π)單調(diào)遞減參考答案:Df(x)的最小正周期為2π,易知A正確;f=cos=cos3π=-1,為f(x)的最小值,故B正確;∵f(x+π)=cos=-cos,∴f=-cos=-cos=0,故C正確;由于f=cos=cosπ=-1,為f(x)的最小值,故f(x)在上不單調(diào),故D錯誤.故選D.3.已知的三邊長成公差為的等差數(shù)列,且最大角的正弦值為,則這個三角形的周長是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略4.已知函數(shù)f(x)在定義域R上的導函數(shù)為f′(x),若方程f'(x)=0無解,且f[f(x)﹣2017x]=2017,當g(x)=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣,]上與f(x)在R上的單調(diào)性相同時,則實數(shù)k的取值范圍是()A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,] C.[﹣1,] D.[,+∞)參考答案:A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】由題意可知:f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),則f(x)﹣2017x為定值,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)為R上的增函數(shù),則g(x)在[﹣,]單調(diào)遞增,求導,則g'(x)≥0恒成立,則k≤sin(x+)min,根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得k的取值范圍.【解答】解:若方程f'(x)=0無解,則f′(x)>0或f′(x)<0恒成立,所以f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),?x∈R都有f[f(x)﹣2017x]=2017,則f(x)﹣2017x為定值,設(shè)t=f(x)﹣2017x,則f(x)=t+2017x,易知f(x)為R上的增函數(shù),∵g(x)=sinx﹣cosx﹣kx,∴,又g(x)與f(x)的單調(diào)性相同,∴g(x)在R上單調(diào)遞增,則當x∈[﹣,],g'(x)≥0恒成立,當時,,,,此時k≤﹣1,故選A.5.若集合,則等于(
)
A.[0,1]
B.
C.
D.{1}參考答案:B略6.若復數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限參考答案:C7.若是真命題,是假命題,則(
)A.是真命題
B.是假命題
C.
是真命題
D.是真命題參考答案:D8.設(shè)、都是銳角,且,,則等于(
)
或
或參考答案:B略9.已知是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當時,A. B. C. D.參考答案:B10.有下列四種變換方式:①向左平移,再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?②橫坐標變?yōu)樵瓉淼?再向左平移;③橫坐標變?yōu)樵瓉淼?再向左平移;④向左平移,再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?其中能將正弦曲線的圖像變?yōu)榈膱D像的是(
)A.①③
B.①②
C.②④
D.①②④參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC中,BC=8,AC=5,三角形面積為12,則cos2C的值為.參考答案:12.已知函數(shù),則
.參考答案:,所以,.13.若的展開式中的系數(shù)是80,則實數(shù)的值是
.參考答案:
214.三角形中,,則
.參考答案:略15.設(shè)i為虛數(shù)單位,在復平面上,復數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離為.參考答案:【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義、兩點之間的距離公式即可得出.【解答】解:復數(shù)===對應(yīng)的點到原點的距離==.故答案為:.16.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間(m,2m+1)上是單調(diào)遞增函數(shù),則m的取值范圍是__________.參考答案:略17.已知數(shù)列{}滿足,則的值為
.參考答案:-3三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)如圖所示的多面體中,是菱形,是矩形,面,.(1)求證:平;(2))若,求四棱錐的體積.參考答案:證明:(1)由是菱形…………3分由是矩形………………6分(2)連接,由是菱形,由面,,……10分則為四棱錐的高由是菱形,,則為等邊三角形,由;則,……14分19.設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣6x+5,x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有3個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知當x∈(1,+∞)時,f(x)≥k(x﹣1)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.參考答案:【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【專題】導數(shù)的綜合應(yīng)用.【分析】(1)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)畫出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象從而求出a的范圍;(3)問題轉(zhuǎn)化為k≤x2+x﹣5在(1,+∞)上恒成立,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可.【解答】解:(1)f′(x)=3(x2﹣2),令f′(x)=0,得x1=﹣,x2=∴,x<﹣或x>時,f′(x)>0,當﹣時,f′(x)<0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(﹣)和(),單調(diào)遞減區(qū)間是(﹣,),當x=﹣,f(x)有極大值5+4;當x=,f(x)有極小值5﹣4.(2)由(1)可知y=f(x)圖象的大致形狀及走向如圖示:∴當5﹣4<a<5+4時,直線y=a與y=f(x)的圖象有3個不同交點,即當5﹣4<a<5+4時方程f(x)=a有三解.(3)f(x)≥k(x﹣1)即(x﹣1)(x2+x﹣5)≥k(x﹣1)∵x>1,∴k≤x2+x﹣5在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=x2+x﹣5,由二次函數(shù)的性質(zhì),g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),∴g(x)>g(1)=﹣3∴所求k的取值范圍是k≤﹣3.【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì),本題是一道中檔題.20.(14分)已知:二次函數(shù)滿足條件:①②③對任意實數(shù)恒成立.
(1)求:的表達式;
(2)數(shù)列,若對任意的實數(shù)x都滿足是定義在實數(shù)集R上的一個函數(shù).求:數(shù)列的通項公式.參考答案:解析:(1)由條件得………………2分由恒成立………………4分………………5分(2)又恒成立令………………7分………………10分21.已知數(shù)列滿足,,.(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列;(II)求數(shù)列的通項公式.參考答案:解析:(I),
…………2分,
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