2021-2022學年吉林省長春市藝術(shù)實驗中學 高一數(shù)學理模擬試卷含解析

2021-2022學年吉林省長春市藝術(shù)實驗中學高一數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為A. B.π C.2π D.4π參考答案：B【分析】根據(jù)正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.【詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.故選B.【點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.

2.已知f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，若f（4）=0，則滿足xf（x）≤0的x取值范圍是（） A．[﹣4，4] B．（﹣4，4） C．[﹣4，0）∪（0，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）參考答案：A【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用． 【分析】首先由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱及在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為不等式組，進而可解出x的取值范圍． 【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（0）=0 ∴或， ∴x的取值范圍是（0，4]∪[﹣4，0）∪{0}=[﹣4，4]， 故選：A． 【點評】本題主要考查不等式的解法，考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，應注意奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調(diào)性相反． 3.如右圖所示，是全集，、是的子集，則圖中陰影部分表示的集合是()A．

B．

C．

D．參考答案：B由交集、補集的定義可知選B.4.等差數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3的兩個零點，則{an}的前9項和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36參考答案：C【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】由韋達定理得a3+a7=4，從而{an}的前9項和S9==，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3的兩個零點，∴a3+a7=4，∴{an}的前9項和S9===．故選：C．5.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到f（x）的圖象，則只需將g（x）=sin2x的圖象（）A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位參考答案：B【分析】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．再根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．【解答】解：由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象可得A=1，=，解得ω=2．再由五點法作圖可得2×+φ=π，解得φ=，故函數(shù)f（x）=2sin（2x+）=2sin2（x+），故把g（x）=sin2x的圖象向左平移個長度單位可得f（x）的圖象，故選B．6.設為坐標原點，點，是正半軸上一點，則中的最大值為（）．A． B． C． D．參考答案：見解析，，，∴，由得，∴當時，為最大值：選．7.以下關于正弦定理或其變形的敘述錯誤的是（）A．在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinCB．在△ABC中，若sin2A=sin2B，則a=bC．在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B，若A＞B，則sinA＞sinBD．在△ABC中，參考答案：B【考點】HP：正弦定理．【分析】在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB，c=2RsinC，結(jié)合比例的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷各個選項是否成立，從而得出結(jié)論．【解答】解：A、在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB，c=2RsinC，故有a：b：c=sinA：sinB：sinC，故A成立；B、若sin2A=sin2B，等價于2A=2B，或2A+2B=π，可得：A=B，或A+B=，故B不成立；C、∵若sinA＞sinB，則sinA﹣sinB=2cossin＞0，∵0＜A+B＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，∴sin＞0，∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴﹣＜＜，又sin＞0，∴＞0，∴A＞B．若A＞B成立則有a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB成立；故C正確；D、由，再根據(jù)比例式的性質(zhì)可得D成立．故選：B．【點評】本題主要考查了正弦定理的應用，結(jié)合比例的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8.已知函數(shù)若對任意，都有=

（

）

A．—1

B．1

C．0

D．參考答案：C略9.已知A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5},則集合A∪B的元素個數(shù)是

（

）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：C略10.已知集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以2，再減去3，得到一組新的數(shù)據(jù)，如果求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

，方差為

.

參考答案：略12.如圖，一個等腰直角三角形的直角邊長為2，分別以三個頂點為圓心，1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域（圖中白色部分）．若在此三角形內(nèi)隨機取一點，則點落在區(qū)域內(nèi)的概率為

．參考答案：13.已知，則

．參考答案：14.若A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=?，則實數(shù)m的取值范圍為．參考答案：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考點】交集及其運算．【分析】由已知得mx2+x+m=0無解，從而，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=?，∴mx2+x+m=0無解，∴，解得m＜﹣或m＞．∴實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．15.設非零向量，的夾角為，記，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角為__________．參考答案：【分析】根據(jù)題意得到，，再根據(jù)向量點積的公式得到向量夾角即可.【詳解】由題設知，若向量，的夾角為，則，的夾角為.由題意可得，，.∵，，，，向量與的夾角為.故答案為.【點睛】這個題目考查了向量數(shù)量積的應用，以及向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.16.給出下列命題：①、0與表示同一個集合；②、由1，2，3組成的集合可表示為；③、方程的所有解的集合可表示為；④、集合可以用列舉法表示；⑤、若全集，則集合的真子集共有3個。其中正確命題的序號是

。參考答案：②⑤17.在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實數(shù),使,則實數(shù)的限值范圍是=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）（其中a＞0，且a≠1）（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以證明；（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)恒成立問題．

【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（1）利用對數(shù)的真數(shù)大于0，可得函數(shù)的定義域；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可得結(jié)論；（3）結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，分類討論，即可求得使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．【解答】解：（1）由題意得：，∴﹣1＜x＜1∴所求定義域為{x|﹣1＜x＜1，x∈R}；（2）函數(shù)f（x）﹣g（x）為奇函數(shù)令H（x）=f（x）﹣g（x），則H（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x）=loga，∵H（﹣x）=loga=﹣loga=﹣H（x），∴函數(shù)H（x）=f（x）﹣g（x）為奇函數(shù)；（3）∵f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1﹣x）=loga（1﹣x2）＜0=loga1∴當a＞1時，0＜1﹣x2＜1，∴0＜x＜1或﹣1＜x＜0；當0＜a＜1時，1﹣x2＞1，不等式無解綜上：當a＞1時，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查解不等式，正確運用對數(shù)的運算性質(zhì)是關鍵．19.已知函數(shù)解析式為.（1）求；（2）畫出這個函數(shù)的圖象,并寫出函數(shù)的值域；（3）若,有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）圖見解析，值域為；（3）.【分析】（1）將-1代入求得即可求；（2）做出圖象，進而得值域；（3）轉(zhuǎn)化為與有兩個交點即可求解【詳解】（1）=-6，故=-1（2）圖象如圖，值域為（3）原題轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，故【點睛】本題考查分段函數(shù)及性質(zhì)，求值域，函數(shù)零點問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，中檔題，注意易錯點20.（本題滿分12分）已知長方體中，底面為正方形，面，，，點在棱上，且．（1）試在棱上確定一點，使得直線平面，并證明；（2）若動點在底面內(nèi)，且，請說明點的軌跡，并探求長度的最小值．參考答案：（Ⅰ）取的四等分點，使得，則有平面.………1分證明如下：因為且，所以四邊形為平行四邊形，則，………2分因為平面，平面，所以平面．………4分（Ⅱ）因為,所以點在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓弧．………………6分因為，面，所以面，………………7分故．………………8分所以當?shù)拈L度取最小值時，的長度最小，此時點為線段和四分之一圓弧的交點，………………10分即，所以．ks5u即長度的最小值為．………………12分21.(12分)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求實數(shù)的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明判斷出的結(jié)論；（3）判斷有無最值？若有，求出最值。參考答案：（1）∵是上