高中數(shù)學(xué)人教B版第二章統(tǒng)計2．3變量的相關(guān)性 2023版第2章變量的相關(guān)性

變量的相關(guān)性變量間的相關(guān)關(guān)系兩個變量的線性相關(guān)1.理解兩個變量的相關(guān)關(guān)系的概念.(重點)2.會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.(重點)3.能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求回歸直線方程.(重點)4.對最小二乘法原理的理解及應(yīng)用.(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1變量間的相關(guān)關(guān)系閱讀教材P73，完成下列問題.1.兩個變量的關(guān)系分類函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系特征兩變量關(guān)系確定兩變量關(guān)系帶有隨機性2.散點圖將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形.3.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)(1)正相關(guān)：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān).(2)負(fù)相關(guān)：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).如圖2-3-1所示的兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系的有________.圖2-3-1【解析】①是確定的函數(shù)關(guān)系；②中的點大都分布在一條曲線周圍；③中的點大都分布在一條直線周圍；④中點的分布沒有任何規(guī)律可言，x，y不具有相關(guān)關(guān)系.【答案】①④教材整理2兩個變量的線性相關(guān)閱讀教材P74～P76，完成下列問題.1.最小二乘法設(shè)x、Y的一組觀察值為(xi，yi)，i＝1,2，…，n，且回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx.當(dāng)x取值xi(i＝1,2，…，n)時，Y的觀察值為yi，差yi－eq\o(y,\s\up6(^))i(i＝1,2，…，n)刻畫了實際觀察值yi與回歸直線上相應(yīng)點縱坐標(biāo)之間的偏離程度，通常是用離差的平方和，即Q＝eq\i\su(i＝1,n,)(yi－a－bxi)2作為總離差，并使之達(dá)到最小.這樣，回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條.由于平方又叫二乘方，所以這種使“離差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法.2.回歸直線方程的系數(shù)計算公式回歸直線方程回歸系數(shù)系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))的計算公式方程或公式eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bxeq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))x上方加記號“^”的意義區(qū)分y的估計值eq\o(y,\s\up6(^))與實際值ya、b上方加“^”表示由觀察值按最小二乘法求得的估計值1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)回歸直線方程中，由x的值得出的y值是準(zhǔn)確值.()(2)回歸直線方程一定過樣本點的中心.()(3)回歸直線方程一定過樣本中的某一個點.()(4)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程是同一個方程.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×2.過(3,10)，(7,20)，(11,24)三點的回歸直線方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝＋ B.eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋C.eq\o(y,\s\up6(^))＝＋ D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－【解析】求過三點的回歸直線方程，目的在于訓(xùn)練求解回歸系數(shù)的方法，這樣既可以訓(xùn)練計算，又可以體會解題思路，關(guān)鍵是能套用公式.代入系數(shù)公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝.代入直線方程，求得eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.故選C.【答案】C[小組合作型]相關(guān)關(guān)系的判斷(1)下列兩個變量之間的關(guān)系，哪個不是函數(shù)關(guān)系()A.正方體的棱長和體積B.圓半徑和圓的面積C.正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D.人的年齡和身高(2)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖①；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖②.由這兩個散點圖可以判斷()圖2-3-2A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)【精彩點撥】結(jié)合相關(guān)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系的定義及正負(fù)相關(guān)的定義分別對四個選項作出判斷.【嘗試解答】(1)A、B、C都是函數(shù)關(guān)系，對于A，V＝a3；對于B，S＝πr2；對于C，g(n)＝(n－2)π.而對于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，∴選D.(2)由圖象知，變量x與y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；u與v呈正相關(guān)關(guān)系.【答案】(1)D(2)C判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響.[再練一題]1.某公司2023～2023年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：年份202320232023202320232023利潤x1618支出y1A.利潤中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B.利潤中位數(shù)是18，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C.利潤中位數(shù)是17，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D.利潤中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系【解析】由表知，利潤中位數(shù)是eq\f(1,2)(16＋18)＝17，且y隨x的增大而增大，故選C.【答案】C求回歸直線方程一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進(jìn)行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x(個)102030405060708090100加工時間y(分)626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程.【精彩點撥】eq\x(畫散點圖)→eq\x(確定相關(guān)關(guān)系)→eq\x(求回歸直線系數(shù))→eq\x(寫回歸直線方程)【嘗試解答】(1)畫散點圖如下：由上圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)列表、計算：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,10,＝)xeq\o\al(2,i)＝38500，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝87777，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝55950eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\o(\x\to(x))\s\up10(2))＝eq\f(55950－10×55×,38500－10×552)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×55＝.即所求的回歸直線方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.用公式求回歸直線方程的一般步驟：1列表xi，yi，xiyi；2計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(i＝1))xiyi；3代入公式計算eq\o(b,\s\up6(^))、eq\o(a,\s\up6(^))的值；4寫出回歸直線方程.[再練一題]2.已知變量x，y有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x1234y1345(1)作出散點圖；(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的回歸直線方程.【解】(1)散點圖如圖所示：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋4＋5,4)＝eq\f(13,4)，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1＋6＋12＋20＝39.eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up6(2))＝eq\f(13,10)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,4)－eq\f(13,10)×eq\f(5,2)＝0，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(13,10)x為所求回歸直線方程.利用回歸方程對總體進(jìn)行估計下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y34(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？【導(dǎo)學(xué)號：00732062】【精彩點撥】(1)以產(chǎn)量為橫坐標(biāo)，以生產(chǎn)能耗對應(yīng)的測量值為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點圖；(2)應(yīng)用計算公式求得線性相關(guān)系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的值；(3)實際上就是求當(dāng)x＝100時，對應(yīng)的v的值.【嘗試解答】(1)散點圖，如圖所示：(2)由題意，得eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝3×＋4×3＋5×4＋6×＝，eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝，eq\x\to(y)＝eq\f＋3＋4＋,4)＝，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f－4××,86－4×＝eq\f－63,86－81)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×＝，故線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)根據(jù)回歸直線方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤為×100＋＝(噸)，故耗能減少了90－＝(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤.回歸分析的三個步驟：1判斷兩個變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗，也可以畫散點圖；2求線性回歸直線方程，注意運算的正確性；3根據(jù)回歸直線進(jìn)行預(yù)測估計：估計值不是實際值，兩者會有一定的誤差.[再練一題]3.某種產(chǎn)品的廣告費支出y(百萬元)與銷售額x(百萬元)之間的關(guān)系如下表所示.x8121416y58911(1)假定y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求其回歸直線方程.(2)若廣告費支出不少于60百萬元，則實際銷售額應(yīng)不少于多少？【解】(1)設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(8×5＋12×8＋14×9＋16×11－4×\f(8＋12＋14＋16,4)×\f(5＋8＋9＋11,4),82＋122＋142＋162－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8＋12＋14＋16,4)))2)＝eq\f(438－,660－625)＝eq\f,35)＝eq\f(51,70)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝eq\f(5＋8＋9＋11,4)－eq\f(51,70)×eq\f(8＋12＋14＋16,4)＝eq\f(33,4)－eq\f(51,70)×eq\f(25,2)＝－eq\f(6,7)，則所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(51,70)x－eq\f(6,7).(2)由eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(51,70)x－eq\f(6,7)≥60，得x≥eq\f(4260,51)≈84，所以實際銷售額不少于84百萬元.[探究共研型]散點圖的特征探究1任意兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)是否均可以作出散點圖？怎么根據(jù)散點圖判斷變量之間的關(guān)系？【提示】任意兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)均可以作出散點圖，對于作出的散點圖，如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系.特別地，若所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果散點圖中的點的分布幾乎沒有什么規(guī)則，則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系.回歸直線的特征探究2如何畫回歸直線？【提示】(1)建立直角坐標(biāo)系，兩軸的長度單位可以不一致.(2)將n個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標(biāo)系中.(3)畫回歸直線時，一定要畫在多數(shù)點經(jīng)過的區(qū)域，可以先觀察有哪兩個點在直線上.探究3回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))的含義是什么？【提示】(1)eq\o(b,\s\up6(^))代表x每增加一個單位，y的平均增加單位數(shù)，而不是增加單位數(shù).(2)當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))＞0時，兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，含義為：x每增加一個單位，y平均增加eq\o(b,\s\up6(^))個單位數(shù)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))＜0時，兩個變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，含義為：x每增加一個單位，y平均減少eq\o(b,\s\up6(^))個單位數(shù).探究4回歸直線方程與直線方程的區(qū)別是什么？【提示】線性回歸直線方程中y的上方加記號“^”是與實際值y相區(qū)別，因為線性回歸方程中的“eq\o(y,\s\up6(^))”的值是通過統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)所得到的一個預(yù)測值，它具有隨機性，因而對于每一個具體的實際值而言，eq\o(y,\s\up6(^))的值只是比較接近，但存在一定的誤差，即y＝eq\o(y,\s\up6(^))＋e(其中e為隨機變量)，預(yù)測值eq\o(y,\s\up6(^))與實際值y的接近程度由隨機變量e的標(biāo)準(zhǔn)差決定.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是()\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ B.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′C.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ D.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′【精彩點撥】先由已知條件分別求出b′，a′的值，再由eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的計算公式分別求解eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的值，即可作出比較.【嘗試解答】根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出直線方程y＝b′x＋a′和回歸直線方程的系數(shù)，并比較大小.由(1,0)，(2,2)求b′，a′.b′＝eq\f(2－0,2－1)＝2，a′＝0－2×1＝－2.求eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))時，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(13,6)，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(58－6××\f(13,6),91－6×＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×＝eq\f(13,6)－eq\f(5,2)＝－eq\f(1,3)，∴eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.【答案】C求回歸直線方程時應(yīng)注意的問題：(1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗，如果兩個變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，即使求出回歸方程也是毫無意義的.(2)用公式計算eq\o(a,\s\up6(^))、eq\o(b,\s\up6(^))的值時，要先算出eq\o(b,\s\up6(^))，然后才能算出eq\o(a,\s\up6(^))，由eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)知回歸直線必經(jīng)過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).(3)利用回歸直線方程，我們可以進(jìn)行估計和預(yù)測.若回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則x＝x0處的估計值為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx0＋a.[再練一題]4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則下列結(jié)論中不正確的是()與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為kg【解析】eq\o(b,\s\up6(^))為正數(shù)，所以兩變量具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；B，C顯然正確；若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可估計其體重為kg.【答案】D1.設(shè)一個回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝3＋，則變量x增加一個單位時()平均增加個單位平均增加3