第2章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

第2章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

引言信號(hào)與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。時(shí)域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分方程，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可用微分方程表示，因此在時(shí)域下分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，實(shí)際上就是求解微分方程的過(guò)程。而對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)可用差分方程表示，因此在時(shí)域下分析離散時(shí)間系統(tǒng)，實(shí)際上就是求解差分方程的過(guò)程。系統(tǒng)分析過(guò)程經(jīng)典法:電路分析基礎(chǔ)課里已經(jīng)討論過(guò)，求解微分方程的齊次解和特解，代入初始條件求解系數(shù)，得出全響應(yīng)；卷積積分法:

任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過(guò)沖激響應(yīng)來(lái)求。(新方法)線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)h(t)

和階躍響應(yīng)g(t)的求解；卷積的定義；圖解法求卷積；卷積的性質(zhì)；卷積積分法求系統(tǒng)響應(yīng)；本章主要內(nèi)容§2.1系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典求解許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述。一．物理系統(tǒng)的模型本節(jié)復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法：物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫(xiě)n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,以基爾霍夫電流定律KCL，基爾霍夫電壓定律KVL表示。二．微分方程的列寫(xiě)1.元件約束VAR在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下：(1)電阻R，uR(t)=R·iR(t)；(2)電感L，

(3)電容C，(4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。2.結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL下面舉例說(shuō)明。例如圖所示電路，輸入激勵(lì)是電流源iS(t),試列出電流iL(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。

由KVL，列出電壓方程對(duì)上式求導(dǎo)考慮到所以根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))

整理上式后，可得三．n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述

一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則a，b均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常系數(shù)微分方程。階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。分析系統(tǒng)的方法：列寫(xiě)方程，求解方程。

求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件齊次解：由特征方程→求出特征根→寫(xiě)出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。2.1.1微分方程的經(jīng)典解全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。齊次解滿足齊次微分方程

y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0齊次解

(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同(即無(wú)重根)，則微分方程的齊次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)個(gè)根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解(3)特征根有一對(duì)單復(fù)根。即λ1,2=a±jb，則微分方程的齊次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt或yh(t)=Aeatcos(bt-θ)

(4)特征根有一對(duì)m重復(fù)根。即共有m重λ1,2=a±jb的復(fù)根，則微分方程的齊次解系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為例系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為例特征根齊次解yh(t)特征根與相應(yīng)的齊次解形式單根r重根共軛復(fù)根r重共軛復(fù)根激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)y(t)的特解幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解或如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

給定微分方程式為使等式兩端平衡，試選特解函數(shù)式

將此式代入方程得到

例等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為

這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：(2)全解將微分方程的齊次解和特解相加可得到全解。全解中的待定系數(shù)可由系統(tǒng)的初始條件確定。試求的全解。

給定微分方程式（1）系統(tǒng)特征方程為例由此求的系統(tǒng)特征根為λ1=-2、λ2=-3。其齊次解形式為（2）已知激勵(lì)信號(hào)為e(t)=2e-tε(t),可設(shè)特解將特解與激勵(lì)e(t)=2e-tε(t)帶入原微分方程，可得P=1所以（3）微分方程全解為全解一階導(dǎo)數(shù)為令y(t)、y’(t)兩式中的t=0+，結(jié)合已知初始條件，得故系統(tǒng)微分方程全解為

齊次解（自由響應(yīng)）

特解（強(qiáng)迫響應(yīng)）已知激勵(lì)信號(hào)e(t)=sin2t(t≥0)，初始時(shí)刻，電容端電壓均為零，求輸出信號(hào)v2(t)。例(1)列微分方程2.1.2關(guān)于系統(tǒng)t=0-與t=0+狀態(tài)的討論我們來(lái)進(jìn)一步討論的條件。

當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒(méi)有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過(guò)電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況;但是當(dāng)有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感，狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。說(shuō)明由伏安關(guān)系當(dāng)有沖激電流或階躍電壓作用于電容時(shí)：1．電容電壓的突變?nèi)绻麨橛邢拗担瑳_激電壓或階躍電流作用于電感時(shí)：2．電感電流的突變配平的原理：t=0時(shí)刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡(其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項(xiàng)）例：

3．沖激函數(shù)匹配法（沖激平衡法）確定初始條件在中時(shí)刻有

中的表示到的相對(duì)跳變函數(shù)，所以，分析設(shè)則代入方程得出所以得即即數(shù)學(xué)描述（1）將x(t)代入微分方程，得例方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階次是，因而有代入微分方程(2)求得因而有例§2.2零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)

(Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

(Transient+Steady-state)

也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。

是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。

由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。

沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

(1)自由響應(yīng)：(2)暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：(3)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：各種系統(tǒng)響應(yīng)定義2.2.1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)是在初始狀態(tài)不為零而輸入為零時(shí)的響應(yīng)。由于輸入為零，系統(tǒng)微分方程為齊次方程，零輸入響應(yīng)解的形式與齊次解的形式相同。

某LTI系統(tǒng)微分方程為y’’(t)+5y’(t)+4y(t)=e(t)已知y’(0-)=1,y(0-)=2。試求該系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yzi(t)。例

由微分方程可得特征方程為

λ2+5λ+4=0求得特征根為λ1=-1，λ2=-4。此系統(tǒng)零輸入響應(yīng)可寫(xiě)為yzi(t)=C1e-t+C2e-4tt≥0結(jié)合系統(tǒng)的初始狀態(tài)y’(0-)=1,y(0-)=2，可得故此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為此例中，若激勵(lì)信號(hào)為，求齊次解。有代入微分方程求得因而有結(jié)合系統(tǒng)的初始條件y’(0+)=2,y(0+)=2，可得故此系統(tǒng)的齊次解為2.2.2零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即y(0-)=y’(0-)=y’’(0-)=…=y(n-1)(0-)=0，但激勵(lì)不為零時(shí)的響應(yīng)。此時(shí)系統(tǒng)的微分方程是非齊次方程，解的本身包含齊次解和特解兩部分。實(shí)際上，求解零狀態(tài)響應(yīng)就是求解系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下的系統(tǒng)全響應(yīng)。例例

系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即求解過(guò)程分析2.3.1沖激響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為單位沖激信號(hào)δ(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱作單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱為沖激響應(yīng)，常用“h(t)”表示。沖激響應(yīng)h(t)反映了系統(tǒng)的特性，同時(shí)也是利用卷積積分進(jìn)行系統(tǒng)時(shí)域分析的基礎(chǔ)?！?.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)（1）抽樣性

（2）奇偶性

（3）比例性

（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶

（6）卷積性質(zhì)

沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵(lì)為單位沖激信號(hào)作用下的響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，且用表示。2.3.2階躍響應(yīng)當(dāng)激勵(lì)信號(hào)e(t)為單位階躍信號(hào)ε(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱作單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，常用“g(t)”表示。

例§2.4卷積積分2.4.1卷積的定義例例2.4.2卷積運(yùn)算的圖形解釋

用圖解法直觀，尤其是對(duì)于分段函數(shù)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確。

例兩波形沒(méi)有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

0

時(shí)兩波形有公共部分，積分開(kāi)始不為0，積分下限0，上限t

，t

為移動(dòng)時(shí)間;0<t

3t

>3卷積結(jié)果例浮動(dòng)坐標(biāo)：下限上限t-3t-0t：移動(dòng)的距離t=0f2(t-)

未移動(dòng)t>0f2(t-)右移t<0f2(t-)左移-11浮動(dòng)坐標(biāo)兩波形沒(méi)有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時(shí)兩波形有公共部分，積分開(kāi)始不為0，積分下限-1，上限t

，t

為移動(dòng)時(shí)間;-1<t

1即1<t21<t

2即2<

t42<t

4即t>4t-3>1t

>4卷積結(jié)果[A,B][C,D][A+C,B+D]一般規(guī)律：-1+1卷積結(jié)果區(qū)間的確定例兩波形沒(méi)有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時(shí)兩波形有公共部分，積分開(kāi)始不為0，積分下限-2，上限t-1，t

為移動(dòng)時(shí)間;-1<t

11<t

33<

t

5t

>5卷積結(jié)果2.4.3借助沖激響應(yīng)與疊加原理求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)1、連續(xù)信號(hào)的時(shí)域分解2、利用卷積積分求解零狀態(tài)響應(yīng)

當(dāng)系統(tǒng)在任意波形信號(hào)x(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則以下推理成立：將上式與卷積積分的定義式比較可以看出，系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)x(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為x(t)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分，即在一般情況下，由于激勵(lì)信號(hào)與沖激響應(yīng)都為因果信號(hào)，所以上式可寫(xiě)為這樣對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)（微分方程），它的零輸入響應(yīng)為微分方程的齊次解。而零狀態(tài)響應(yīng)可以通過(guò)求輸入信號(hào)與沖激響應(yīng)卷積的方法得到，這樣可以避免當(dāng)輸入信號(hào)較復(fù)雜時(shí)，通過(guò)微分方程直接求解的困難。同時(shí)這種求解思想也是變換域系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。例§2.4卷積積分的性質(zhì)卷積的代數(shù)運(yùn)算卷積的微分與積分函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積卷積的時(shí)移特性1．交換律1、卷積的代數(shù)運(yùn)算

交換律表明兩函數(shù)在卷積積分時(shí)的次序是可以任意交換的。在圖解法求卷積時(shí)，無(wú)論f1(t)和f2(t)中的那一個(gè)倒置都可以。對(duì)于不同情況，倒置不同的信號(hào)對(duì)解題的難度會(huì)有影響。n個(gè)信號(hào)相加作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，等于這n個(gè)信號(hào)分別作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)之和。2．分配律系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。系統(tǒng)并聯(lián)3．結(jié)合律系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

系統(tǒng)級(jí)聯(lián)圖(a)系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖(b)所示。求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，并畫(huà)出它的波形。(a)(b)例2、卷積的微分與積分例

試求f(t)=ε(t)*ε(t)(1)根據(jù)卷積微積分性質(zhì)，有(2)根據(jù)卷積積分的定義，有推廣：3.函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積——重現(xiàn)特性例例已知f1(t)與f2(t)波形如圖，求f1(t)*f2(t)f1(t)*f2(t)=f1

(t)*[δ(t+2)+δ(t-2)]=f1

(t+2)+f1

(t-2)

也就是說(shuō)，只需在每個(gè)沖激信號(hào)出現(xiàn)的位置處重畫(huà)信號(hào)f1

(t)即可，卷積結(jié)果。例例例已知某系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)x(t)=e-tε(t)，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)=ε(t)-ε(t-2)，試求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。根據(jù)卷積的微分性質(zhì)yzs(t)=x(t)*h(t)=x(-1)(t)*h’(t)=x(-1)(t)*[ε(t)-ε(t-2)]’=x(-1)(t)*[δ(t)-δ(t-2)]=x(-1)(t)-x(-1)(t-2)卷積的重現(xiàn)特性設(shè)單個(gè)脈沖信號(hào)f0(t)的波形如圖a所示。另一個(gè)周期為T(mén)的周期性單位脈沖序列δT(t)如圖b所示，其表達(dá)式為計(jì)算f0(t)與δT(t)的卷積積分，得例

已知一個(gè)周期信號(hào)fT(t)的波形如圖所示，試寫(xiě)出fT(t)的函數(shù)表達(dá)式。周期信號(hào)fT(t)的周期為T(mén)=5，可將周期信號(hào)表示為常用信號(hào)的卷積公式4.卷積的時(shí)移特性例例例已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為y”(t)+7y’(t)+12y(t)=2x’(t)+3x(t)

已知：激勵(lì)x(t)=2e-2tε(t)，初始狀態(tài)：y(0-)=1，y’(0-)=2，試求：(1)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)；

(2)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；

(3)系統(tǒng)的零狀態(tài)