第五章測(cè)量誤差

5.1測(cè)量誤差概述一、誤差來源測(cè)量誤差來源于以下三個(gè)方面：儀器測(cè)量誤差——因觀測(cè)條件限制不可避免地產(chǎn)生的測(cè)量偏差。

儀器制造上所能達(dá)到的精度具有一定的限度。儀器構(gòu)造不可能十分完善。觀測(cè)者觀測(cè)者感官的鑒別力具有一定的限度。觀測(cè)者的熟練程度和認(rèn)真程度。外界條件：大氣條件、光線及時(shí)間。

第5章測(cè)量誤差的基本知識(shí)

我們把產(chǎn)生測(cè)量誤差的這三方面因素總稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件決定觀測(cè)質(zhì)量。若觀測(cè)條件相對(duì)較好，產(chǎn)生的測(cè)量誤差就相對(duì)較小。二、誤差分類1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差——在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量作一系列的觀測(cè)，如果產(chǎn)生的誤差的符號(hào)及大小表現(xiàn)出一致的傾向，即按一定的規(guī)律變化或保持為常數(shù)。例1：量距某鋼尺的尺長方程式對(duì)已知距離進(jìn)行丈量，結(jié)果如下：例2：視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸對(duì)水準(zhǔn)尺讀數(shù)的影響系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：具有累計(jì)性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響大。

具有規(guī)律性，其影響一般可消除。消除方法：

1）用計(jì)算方法，如對(duì)丈量結(jié)果加改正數(shù)。

2）采取適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法，如水準(zhǔn)測(cè)量要求前后視距離相等。2.偶然誤差偶然誤差——在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量作一系列的觀測(cè)，如果產(chǎn)生的誤差的符號(hào)及大小都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即表面上沒有任何規(guī)律性。例：水準(zhǔn)尺讀數(shù)誤差、角度測(cè)量中的瞄準(zhǔn)誤差偶然誤差的產(chǎn)生總是有原因的，是多方面因素的綜合影響，當(dāng)無一因素占主導(dǎo)地位時(shí)，誤差呈隨機(jī)性。但對(duì)大量偶然誤差而言，具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。儀器誤差多為系統(tǒng)誤差觀測(cè)誤差是偶然誤差誤差判斷：

在一般情況下，測(cè)量誤差同時(shí)包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差。因系統(tǒng)誤差可以消除或大大減弱，當(dāng)系統(tǒng)誤差不顯著時(shí)，可認(rèn)為測(cè)量誤差僅含有偶然誤差。偶然誤差是不能消除的，只能設(shè)法減弱其影響。本章討論的內(nèi)容是如何估計(jì)偶然誤差的影響。

(一是對(duì)被觀測(cè)量進(jìn)行精度評(píng)定、二是求出被觀測(cè)量的最可靠值.)注：測(cè)量中是不容許發(fā)生錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤不屬于測(cè)量誤差范圍。5.2偶然誤差的特性實(shí)例分析：β1β3β2

由于測(cè)量誤差的存在，使得三角形內(nèi)角的觀測(cè)值不等于理論值，而存在真誤差Δ

獨(dú)立觀測(cè)了96個(gè)三角形，將產(chǎn)生的真誤差按其正負(fù)號(hào)和大小并以0.5"為誤差區(qū)間排列于下表。誤差區(qū)間

dΔ"

Δ為正值

Δ為負(fù)值個(gè)數(shù)

v頻率

v/n頻率/組距個(gè)數(shù)v頻率v/n頻率/組距0.0~0.5190.1980.396200.2080.4160.5~1.0130.1350.270120.1250.2501.0~1.580.0830.16690.0940.1881.5~2.050.0520.10440.0420.0842.0~2.520.0210.04220.0210.0422.5~3.010.0100.02010.0100.0203.0以上000000

Σ4848

偶然誤差的特性：1.在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；2.絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的可能性大；3.絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差，其出現(xiàn)的可能性相等；4.偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的無限增大而趨近于零。即左式中上式是由偶然誤差的第3特性導(dǎo)出。誤差分布曲線

如果觀測(cè)個(gè)數(shù)增大，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的頻率就趨向一個(gè)穩(wěn)定值。也就是說，在一定的觀測(cè)條件下，一組偶然誤差對(duì)應(yīng)著一種確定不變的誤差分布。誤差分布曲線函數(shù)式為式中稱為方差，定義為01.02.03.0

-3.0-2.0-1.0

表中統(tǒng)計(jì)結(jié)果用頻率直方圖表示長方條面積代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率5.3衡量精度的指標(biāo)精度——誤差分布的密集或離散的程度。Ⅰ組觀測(cè)值精度高于Ⅱ組精度高說明觀測(cè)條件好一、中誤差設(shè)對(duì)某一未知量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值為，設(shè)該未知量的真值為X，相應(yīng)的真誤差為，則定義該組觀測(cè)值的中誤差m的平方為式中ΔⅠⅡ0在實(shí)際測(cè)量工作中，觀測(cè)次數(shù)n有限，只能計(jì)算出觀測(cè)值中誤差的估值測(cè)量上通常將觀測(cè)值中誤差的估值就看作為觀測(cè)值的中誤差即ΔⅠⅡ誤差分布曲線函數(shù)式可表示為設(shè)Ⅰ組觀測(cè)值的中誤差為

Ⅱ組觀測(cè)值的中誤差為即m值小，觀測(cè)精度高。二、相對(duì)誤差相對(duì)誤差——中誤差或真誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值之比。距離丈量的相對(duì)誤差例：注意：相對(duì)誤差是一個(gè)無量綱的數(shù)值。

相對(duì)誤差這一指標(biāo)僅用來衡量距離測(cè)量精度。三、容許誤差誤差出現(xiàn)的概率Δ

-3m-2m-mm2m3m測(cè)量上，一般取2倍中誤差作為誤差的容許值，即例：水平角測(cè)回互差

豎直角指標(biāo)差的變動(dòng)范圍錯(cuò)誤誤差四、用觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差（5.5節(jié)）設(shè)某量真值為X；等精度觀測(cè)值為1.觀測(cè)值的算術(shù)平均值證明：當(dāng)將上組式取和，再除以n，得根據(jù)偶然誤差的第四特性所以可以認(rèn)為算術(shù)平均值是最接近真值的，也稱為最可靠值。2.觀測(cè)值的改正數(shù)——觀測(cè)值的改正數(shù)3.觀測(cè)值的中誤差因?yàn)橛幸陨蟽墒较嗉?，得代入上式并移?xiàng)上式兩邊平方求和式中上式為而取上式平方因?yàn)榕既徽`差，根據(jù)偶然誤差的第四特性，有當(dāng)n為有限值時(shí)，第二項(xiàng)的值遠(yuǎn)比第一項(xiàng)的值要小，可忽略不計(jì)。因此有根據(jù)中誤差的定義，前式寫為上式變換成則利用觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差的公式為注意：只有當(dāng)n較大時(shí)，計(jì)算中誤差才有意義。4.算術(shù)平均值的中誤差例1：對(duì)某角觀測(cè)6個(gè)測(cè)回，求觀測(cè)值的中誤差和算術(shù)平均值的中誤差。觀測(cè)值vvv計(jì)算1136°48'30"-4

162

4826

0

03

4828

-2

44

4824

+2

45

4825

+1

16

4823

+3

9X=136°48'26"[v]=0[vv]=34

提高算術(shù)平均值的精度的兩個(gè)途徑：1）通過改善觀測(cè)條件，使m值減小。2）增加觀測(cè)次數(shù)。例2：對(duì)某直線丈量了4次，丈量結(jié)果為246.535m、246.548m、246.521m、246.529m。求其算術(shù)平均值、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。5.4誤差傳播定律

某些未知量，例如點(diǎn)的坐標(biāo)X、Y，高程H等都是直接觀測(cè)量的函數(shù)。函數(shù)的中誤差與直接觀測(cè)量的中誤差之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律被稱為誤差傳播定律。由于的存在，使函數(shù)Z亦產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差。取上式全微分設(shè)有一般函數(shù)式中為可直接觀測(cè)的未知量，設(shè)的獨(dú)立觀測(cè)值為，其相應(yīng)的中誤差為、真誤差一、誤差傳播定律都很小，可用因此有設(shè)有將以上各式等號(hào)兩邊平方后再相加得上式兩端除以k，有根據(jù)偶然誤差的第四特性，有根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成或上式為一般函數(shù)的誤差傳播定律。式中例1：證明算術(shù)平均值的中誤差為算術(shù)平均值則因?yàn)榈染扔^測(cè)值，故有函數(shù)對(duì)各自變量的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)誤差傳播定律，有

例2：已知觀測(cè)值求上式全微分式中將全微分式轉(zhuǎn)換成中誤差誤差傳播定律應(yīng)用總結(jié)：對(duì)于一般函數(shù)設(shè)的獨(dú)立觀測(cè)值為，其相應(yīng)的中誤差為式中取上式全微分轉(zhuǎn)換成中誤差平方的表達(dá)式二、應(yīng)用舉例水準(zhǔn)測(cè)量的精度（1）一個(gè)測(cè)站的高差中誤差單儀高法：

設(shè)h的中誤差為a、b的中誤差為雙儀高法：說明：兩個(gè)等精度獨(dú)立觀測(cè)值之和或差的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差的倍。

兩個(gè)等精度獨(dú)立觀測(cè)值的平均值的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差的倍。（2）一個(gè)測(cè)段的高差中誤差A(yù)B一測(cè)回方向值設(shè)：一測(cè)回方向值中誤差為水平角測(cè)量的精度DJ6級(jí)經(jīng)緯儀的一測(cè)回方向