2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步7.1簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7．1簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體的研究，掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的求法。2。了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式;能運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題。3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力．知識(shí)點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積思考1圓柱OO′及其側(cè)面展開(kāi)圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？思考2圓錐SO及其側(cè)面展開(kāi)圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？思考3圓臺(tái)OO′及其側(cè)面展開(kāi)圖如下，則其側(cè)面積為多少?表面積為多少？梳理圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝________側(cè)面積：S側(cè)＝________表面積：S＝__________圓錐底面積：S底＝________側(cè)面積:S側(cè)＝________表面積：S＝________圓臺(tái)上底面面積:S上底＝________下底面面積:S下底＝________側(cè)面積：S側(cè)＝________________表面積：S＝________________________知識(shí)點(diǎn)二直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積思考1類比圓柱側(cè)面積的求法,你認(rèn)為怎樣求直棱柱的側(cè)面積？如果直棱柱底面周長(zhǎng)為c，高為h，那么直棱柱的側(cè)面積是什么?思考2正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖，設(shè)正棱錐底面周長(zhǎng)為c，斜高為h′，如何求正棱錐的側(cè)面積?思考3下圖是正四棱臺(tái)的展開(kāi)圖，設(shè)下底面周長(zhǎng)為c，上底面周長(zhǎng)為c′，你能根據(jù)展開(kāi)圖，歸納出正n棱臺(tái)的側(cè)面面積公式嗎？梳理棱柱、棱錐、棱臺(tái)側(cè)面積公式幾何體側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式直棱柱S直棱柱側(cè)＝c·hc—底面周長(zhǎng)h—高正棱錐S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)c·h′c—底面周長(zhǎng)h′—斜高正棱臺(tái)S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f（1,2)(c＋c′）·h′c、c′-上、下底面周長(zhǎng)h′—斜高類型一旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(表面積）例1(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4(2）圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm。它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°,那么圓臺(tái)的表面積是________cm2.（結(jié)果中保留π）反思與感悟圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．跟蹤訓(xùn)練1（1）圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是兩邊長(zhǎng)分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為()A．6π(4π＋3)B．8π（3π＋1）C．6π（4π＋3)或8π(3π＋1）D．6π(4π＋1）或8π(3π＋2)（2)圓錐的中截面把圓錐側(cè)面分成兩部分，則這兩部分側(cè)面積的比為（)A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4類型二多面體的側(cè)面積(表面積)及應(yīng)用例2某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A．8＋2eq\r（2) B．11＋2eq\r(2)C．14＋2eq\r(2） D．15反思與感悟多面體中的有關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形（三角形或特殊的四邊形)來(lái)計(jì)算，對(duì)于棱錐中的計(jì)算問(wèn)題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形．跟蹤訓(xùn)練2已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為4cm,側(cè)棱和下底面邊長(zhǎng)都是8cm，求它的側(cè)面積．類型三組合體的側(cè)面積(表面積)eq\x(命題角度1由三視圖求組合體的表面積)例3某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是________cm2。反思與感悟?qū)τ诖祟愵}目：（1)將三視圖還原為幾何體;(2）組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______m2.eq\x（命題角度2由旋轉(zhuǎn)形成的組合體的表面積）例4已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°,在平面ABCD內(nèi)，過(guò)C作l⊥CB,以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積．反思與感悟（1)對(duì)于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對(duì)組合體表面積的影響．(2)對(duì)于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構(gòu)成的組合體,要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體表面的變化．跟蹤訓(xùn)練4已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AC＝3,BC＝4,AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積．1．一個(gè)圓錐的表面積為πam2，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（)A.eq\f（\r(2a),2)mB。eq\f（\r(3a)，3）mC.eq\f（\r(a）,2）mD。eq\f（\r(5a),5)m2．一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm，高是eq\f(3,2)cm.則三棱臺(tái)的側(cè)面積為（）A．27eq\r(3)cm2 B。eq\f(27\r(3），2)cm2C。eq\f(\r(3）,2)cm2 D。eq\r(3）cm23．一個(gè)幾何體的三視圖（單位長(zhǎng)度：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是（)A．（80＋16eq\r(2）)cm2 B．84cm2C．(96＋16eq\r(2)）cm2 D．96cm24．若圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1和3，它的側(cè)面積是兩底面面積和的2倍，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是________．5．正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱錐的側(cè)面積．1．多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和．2．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐,再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解．3．S圓柱表＝2πr（r＋l);S圓錐表＝πr(r＋l);S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2）．答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr（r＋l）．思考2底面周長(zhǎng)是2πr，利用扇形面積公式得S側(cè)＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl,S表＝πr2＋πrl＝πr（r＋l）．思考3圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，eq\f(x，x＋l）＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f（r，R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1，2)（x＋l）×2πR－eq\f（1,2）x·2πr＝π［(R－r)x＋Rl]＝π（r＋R）l，所以，S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺(tái)表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）．梳理2πr22πrl2πr（r＋l）πr2πrlπr（r＋l)πr′2πr2π（r′l＋rl）π（r′2＋r2＋r′l＋rl）知識(shí)點(diǎn)二思考1利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖求棱柱的側(cè)面積．展開(kāi)圖如圖，不難求得S直棱柱側(cè)＝ch。思考2正棱錐的側(cè)面積就是展開(kāi)圖中各個(gè)等腰三角形面積之和,不難得到S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2）ch′。思考3S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1，2）n(a＋a′）h′＝eq\f（1,2）（c＋c′）h′。題型探究例1(1）D（2)1100π解析（1）由三視圖可知，該幾何體為：故表面積為πr2＋eq\f（2πr，2）l＋l2＝π＋2π＋4＝3π＋4。(2)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10,所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20,所以S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al（2,1）＋πreq\o\al（2,2)＝π(10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2）．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.跟蹤訓(xùn)練1（1)C［由題意,圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝6π×4π＝24π2.①當(dāng)以邊長(zhǎng)為6π的邊為母線時(shí),4π為圓柱底面周長(zhǎng)，則2πr＝4π，即r＝2，所以S底＝4π，所以S表＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1）．②當(dāng)以邊長(zhǎng)為4π的邊為母線時(shí)，6π為圓柱底面周長(zhǎng),則2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．］(2）C[如圖所示，PB為圓錐的母線,O1，O2分別為截面與底面的圓心．因?yàn)镺1為PO2的中點(diǎn),所以eq\f（PO1，PO2)＝eq\f(PA，PB）＝eq\f（O1A,O2B)＝eq\f(1，2)，所以PA＝AB，O2B＝2O1A。又因?yàn)镾圓錐側(cè)＝π·O1A·PA，S圓臺(tái)側(cè)＝π·(O1A＋O2B）·AB，則eq\f（S圓錐側(cè)，S圓臺(tái)側(cè))＝eq\f（O1A·PA,O1A＋O2B·AB)＝eq\f（1，3).］例2B［該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱．S表＝2×eq\f（1,2）×（1＋2）×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×eq\r(2）＝11＋2eq\r(2），故選B.］跟蹤訓(xùn)練2解方法一在Rt△B1FB中,B1F＝h′，BF＝eq\f(1,2）（8－4)＝2（cm),B1B＝8cm，∴B1F＝eq\r(82－22）＝2eq\r（15）(cm),∴h′＝B1F＝2eq\r(15）cm?！郤正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)×4×（4＋8）×2eq\r（15)＝48eq\r(15）（cm2)．方法二延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的側(cè)棱交于點(diǎn)P，如圖，設(shè)PB1＝xcm,則eq\f（x,x＋8）＝eq\f（4,8)，得x＝8cm?！郟B1＝B1B＝8cm，∴E1為PE的中點(diǎn)．∴PE1＝eq\r（82－22)＝2eq\r（15）(cm）．PE＝2PE1＝4eq\r(15）cm?！郤正棱臺(tái)側(cè)＝S大正棱錐側(cè)－S小正棱錐側(cè)＝4×eq\f(1，2)×8×PE－4×eq\f（1，2)×4×PE1＝4×eq\f（1,2)×8×4eq\r（15)－4×eq\f（1，2）×4×2eq\r（15)＝48eq\r（15)（cm2）．例3138解析將三視圖還原為長(zhǎng)方體與直三棱柱的組合體，再利用表面積公式求解．該幾何體如圖所示,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為6cm，4cm,3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm，5cm，所以表面積S＝［2×（4×6＋4×3)＋3×6＋3×3］＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3））＝99＋39＝138（cm2）．跟蹤訓(xùn)練312π＋4eq\r(2）π例4解如圖所示，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a,BC＝2a，AB＝（2a－a）tan60°＝eq\r（3）a，DC＝eq\f（2a－a,cos60°)＝2a，又DD′＝DC＝2a，則S表＝S圓柱表＋S圓錐側(cè)－S圓錐底＝2π·2a·eq\r(3）a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2＝(9＋4eq\r（3)）πa2.跟蹤訓(xùn)練4解如圖,在△ABC中，過(guò)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D。由AC＝3，BC＝4，AB＝5,知AC2＋BC2＝AB3，則AC⊥BC。所以BC·AC＝AB·CD，所以CD＝eq\f（12，5），記為r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐，且底面半徑r＝eq\f（12,5)，母線長(zhǎng)分別是AC＝3,BC＝4，所以S表面積＝πr·(AC＋BC）＝π×eq\f（12，5)×（3＋4)＝eq\f(84，5)π。當(dāng)堂訓(xùn)練1．B2．B［如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則O1O＝eq\f（3,2）cm,連接A1O1并延長(zhǎng)交B1C1于點(diǎn)D1，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，過(guò)D1作D1E⊥AD于點(diǎn)E.在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝eq\f（3,2)cm，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝eq\f(1,3)×eq\f（\r(3)，2)×(6－3)＝eq\f(\r（3）,2）(cm），DD1＝eq\r（D1E2＋DE2）＝eq\r(，\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)）)2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3),2））)2)＝eq\r（3)(cm），所以S正三棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2）(c＋c′)·DD1＝eq\f（27\r（3),2)（cm2)．］3．A4.55．解設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a,斜高為h′，如圖所示，過(guò)O作OE⊥AB，連接SE，則SE⊥AB，且SE＝h′。因?yàn)镾側(cè)＝2S底，所以eq\f(1，2）×3a×h′