第三章2時域求解3.1

第三章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析教學(xué)要求：3、深刻理解系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)；4、牢固掌握卷積積分的運算規(guī)律、主要性質(zhì)，熟練求取卷積積分；5、能夠應(yīng)用卷積積分的方法求線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)1、了解描述系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的微分方程時域求解方法；了解系統(tǒng)的特征方程、特征根的意義；2、深刻理解系統(tǒng)全響應(yīng)的三種分解方式：

零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)；自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)；瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng);

教學(xué)重點與難點：

1、微分方程及其解的基本特點；2、階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的求解；

3、卷積運算（難點）；

4、卷積及其在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。3.1系統(tǒng)的微分方程描述及其求解3.1.1系統(tǒng)的微分方程RLC電路的微分方程為：n階LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的通式齊次解特解

3.1.2微分方程的經(jīng)典解微分方程的解可以分為齊次解和特解之和。自由響應(yīng)強迫響應(yīng)系統(tǒng)的全響應(yīng)可以分解為自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)之和。若設(shè)該微分方程的特征根為，則相應(yīng)的特征方程為：根據(jù)特征方程的特征根的不同形式，決定齊次解的不同形式。（1）齊次解（自由響應(yīng)）齊次解就是齊次微分方程的解（a）當(dāng)特征方程存在n個不同的單根：、……則其解為：其中為待定常數(shù)，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定（b）當(dāng)特征方程存在r個重根和n-r個單根及則其解為：其中和為待定常數(shù)，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定(2)特解微分方程的特解形式取決于外界激勵信號的函數(shù)形式。（P60）表3.1-1特征根為齊次解yh(t)【例1】

已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程如下

初始條件y(0)=1,y’(0)=2,輸入信號，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。

1)求齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為解：2)求非齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=

f(t)的特解yp(t)由輸入f(t)的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)K=1/3解得

C1=5/2，C2=-11/63)求方程的全解代入初始值，得

3.1.3系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)是指：外界激勵，系統(tǒng)靠初始儲能所維持的響應(yīng)即；零狀態(tài)響應(yīng)是指：系統(tǒng)初始儲能為零，系統(tǒng)靠外界激勵來維持的響應(yīng)。可以將零輸入響應(yīng)看成是一種系統(tǒng)內(nèi)部特殊“電源”作用下的響應(yīng)，即將初始狀態(tài)等效成理想電壓源或理想電流源。系統(tǒng)的響應(yīng)可分為兩部分響應(yīng)之和：1）零輸入響應(yīng)（Zero－InputResponse）對微分方程，零輸入響應(yīng)則是f(t)=0，僅由系統(tǒng)初始儲能所引起的響應(yīng)y(t)零輸入響應(yīng)的求解相當(dāng)于求微分方程的齊次解，但條件應(yīng)用不同。初始狀態(tài)2）零狀態(tài)響應(yīng)（Zero-StateResponse）當(dāng)系統(tǒng)中儲能為零時，由外加的輸入激勵信號f（t）產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)的解可表示為：

yf(t)=齊次解+特解初始狀態(tài)3）全響應(yīng)y(t)的求法零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都已求出，則全響應(yīng)為自由響應(yīng)448447632148476零狀態(tài)響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng))(ee)()()(11tycctytytypnitfnitxfxiiii++=+=??==ll32143421強迫響應(yīng)自由響應(yīng))(e1tycpnitii+=?=l完全響應(yīng)＝自由響應(yīng)＋強迫響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)＝齊次解＋特解＝暫態(tài)響應(yīng)＋穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全解【例2】已知系統(tǒng)的輸入輸出方程為起始狀態(tài)為 。求自由響應(yīng)、強迫響應(yīng)和零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。得，特征根

λ=-3λ+3=0【解】首先求自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)。由特征方程所以，齊次解為

設(shè)特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=1。

所以

全解為

已知

所以由此，系統(tǒng)自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)分別為

求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)：可設(shè)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)分別為因為 ，可分別解得

所以，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為

全響應(yīng)強迫響應(yīng)自由響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)注：1、自由響應(yīng)的變化規(guī)律取決于系統(tǒng)的特征根（固有頻率），強迫響應(yīng)則取決于外加激勵的形式；2、瞬態(tài)響應(yīng)表示隨著t的增長，響應(yīng)最終趨于零的分量，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)則表示了響應(yīng)恒定或保持為某個穩(wěn)定函數(shù)的關(guān)系。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)3.2.1階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)是指系統(tǒng)在階躍信號u(t)作用下所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。LTI系統(tǒng)f(t)=u(t)x(0)=0y(t)LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)對于一階系統(tǒng)

則階躍響應(yīng)：特解特征根代入原微分方程，求特解的系數(shù)階躍響應(yīng)所以階躍響應(yīng)為3.2.2沖激響應(yīng)LTI系統(tǒng)f(t)=δ(t)x(0)=0y(t)=h(t)圖：LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)