【課件】余弦定理與正弦定理第1課時 課件-2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

余弦定理與正弦定理第1課時導入新課情境中的問題可以轉化為：已知b，c和角A，如何求a．問題1

隧道工程的設計，經常要測算山腳的長度，工程技術人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，再利用經緯儀測出A對山腳BC（即線段BC）的張角，那么如何求出山腳的長度BC呢（如圖）？

已知AB，AC，角A（兩條邊，一個夾角）ABC山新知探究問題2

在△ABC中，當C＝90°時，有c2＝a2＋b2，若a，b邊的大小不變，變換角C的大小時，c2與a2＋b2有什么大小關系呢？當90°＜C＜180°時，－1＜cosC＜0，此時c2＞a2＋b2；據(jù)此看出，當C≠90°時，c2≠a2＋b2．當0°＜C＜90°時，0＜cosC＜1，此時c2＜a2＋b2．新知探究問題3

在問題2中，我們已經知道，當c≠90°時，c2≠a2＋b2，那么c2與a2＋b2到底有什么大小關系呢？如何探究？其它邊也有類似的關系嗎？

abcABC

＝a2＋b2－2abcosC，所以c2＝a2＋b2－2abcosC．同理可證：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．所以其它邊也有類似關系．新知探究問題3

在問題2中，我們已經知道，當c≠90°時，c2≠a2＋b2，那么c2與a2＋b2到底有什么大小關系呢？如何探究？其它邊也有類似的關系嗎？方法2：（坐標法）

所以a2＝（ccosA－b）2＋（csinA）2＝c2cos2A＋c2sin2A－2bccosA＋b2＝b2＋c2－2bccosA，同理可證b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．abcABCyx新知探究問題3

在問題2中，我們已經知道，當c≠90°時，c2≠a2＋b2，那么c2與a2＋b2到底有什么大小關系呢？如何探究？其它邊也有類似的關系嗎？方法3：（幾何法）

∴a2＝CD2＋BD2＝（bsinA）2＋（c－bcosA）2＝b2sin2A＋c2＋b2cos2A－2bccosA當A為直角時：由勾股定理a2＝b2＋c2，又cosA＝0，∴a2＝b2＋c2－2bccosA成立，＝b2＋c2－2bccosA．當A為鈍角同理可證．bcABCaD新知探究問題4

余弦定理和勾股定理有什么關系？余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．新知探究問題5

余弦定理及其變式有哪些？

追問：使用余弦定理可以解決哪些解三角形問題？①已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；②已知三邊，求三個角．新知探究問題6

三角形的面積公式是什么？能用角表示嗎？如何表示？能，如圖，因為h＝bsinA＝asinb，

同理得

．

ACBhbca初步應用例1

如圖，有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點為O．甲、乙兩人同時從點O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別為4km/h，4.5km/h．3h后兩人相距多遠？（精確到0.1km）

3h后兩人相距16.4km．（詳解參考教材P109例1的解析．）BOPADQC80°初步應用

DCBA111

（詳解參考教材P109例2的解析．）cos∠BAD＝

≈0.1691，

即∠BAD≈80°．初步應用（1）m＝1；（2）△ABC面積的最大值為

．

（詳解參考教材P110例3的解析．）

（1）若mbc＝b2＋c2－a2，求實數(shù)m的值；

課堂練習練習：教科書第110頁練習1，2，3．歸納小結（1）這節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)了什么新知識？我們是如何研究它的？（2）余弦定理的變式有哪些？三角形的面積公式是什么？問題3

本節(jié)課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（1）我們發(fā)現(xiàn)了余弦定理，三角形面積公式的另一種表達形式；

（2）變式：

歸納小結（3）余弦定理的應用有哪些？（4）你有什么困惑嗎？問題3

本節(jié)課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（3）余弦定理的應用：①已知三邊，求三個角；（4）困惑是：……②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第123頁，A組3，4，5，6．1目標檢測A在△ABC中，

，BC＝1，AC＝5，則AB＝（）

解析：∵

，

∴

得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，

2目標檢測C

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊長，若c2＝（a－b）2＋4，C＝

，則△ABC的面積是（）A．

B．3

又由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－ab，解得：ab＝4，解析：∵c2＝（a－b）2＋4＝a2＋b2－2ab＋4，C＝

，

∴4－2ab＝－ab，∴

3目標檢測D在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，則△ABC的最大角是（）A．30°C．90°D．120°B．60°解析：由a∶b∶c＝3∶5∶7，知最大邊為c，∴最大角為C，設a＝3k，b＝5k，c＝7k（k＞0），則

又0°＜C＜180°，∴C＝120°．4目標檢測△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a＝7，c