計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

第5章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

概述5.1計算機控制系統(tǒng)數(shù)學模型的建立5.2計算機控制系統(tǒng)的時域模型5.3計算機控制系統(tǒng)的頻域模型5.4計算機控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型概述所謂系統(tǒng)的“模型”，是指對具體系統(tǒng)的特征及其運動規(guī)律的一種表示或抽象，是對經(jīng)過合理簡化后的系統(tǒng)的描述。在連續(xù)系統(tǒng)中，表示輸入信號和輸出信號關系的數(shù)學模型用微分方程和傳遞函數(shù)來描述；在離散系統(tǒng)中，則用差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達式來描述。在計算機控制系統(tǒng)中常用的數(shù)學模型主要有：以微分方程或差分方程形式表達的時域模型、以傳遞函數(shù)形式表達的頻域模型、系統(tǒng)方框圖以及現(xiàn)代控制理論中常用的狀態(tài)空間模型。從本質(zhì)上講，計算機控制系統(tǒng)屬于離散控制系統(tǒng)。

系統(tǒng)的模型有物理模型和數(shù)學模型之分。物理模型是指由物理性能已知的器件組合起來的一種具有與系統(tǒng)實體相似性質(zhì)的模型。所謂數(shù)學模型就是對于現(xiàn)實世界的一個特定問題，為了某種目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，通過必要的抽象簡化，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。通俗地說，數(shù)學模型就是描述實際問題某方面規(guī)律的數(shù)學公式、圖形或算法。5.1計算機控制系統(tǒng)數(shù)學模型的建立數(shù)學建模通常有兩種不同的方法：分析法和實驗法。分析法是系統(tǒng)地應用現(xiàn)有的科學理論與定律，對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，并進一步按照系統(tǒng)中各組成部分之間的相互關系來獲得數(shù)學模型的方法。實驗法則是在一組假想或假設的模型中，需要人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應，以求得與系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)吻合最好的模型的建模方法，因此也稱為系統(tǒng)辨識。分析法建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟：建立物理模型；列寫原始方程，利用適當?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等；選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時要求），消去中間變量，建立適當?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。實驗法——基于系統(tǒng)辨識的建模方法步驟：已知知識和辨識目的；實驗設計：選擇實驗條件；模型階次選擇：選擇適合于應用的適當?shù)碾A次；參數(shù)估計：常采用最小二乘法進行參數(shù)估計；模型驗證：將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近。定義5.2.1線性常系數(shù)微分方程5.2.2線性常系數(shù)差分方程5.2計算機控制系統(tǒng)的時域模型

計算機控制系統(tǒng)的時域模型主要以微（差）分方程的形式表達，建立在傳遞函數(shù)基礎之上，也稱輸入輸出描述法。其中，微分方程是連續(xù)時間系統(tǒng)數(shù)學模型的最基本表達形式，N階線性常系數(shù)微分方程的基本形式為：（5-1）定義：相應地，差分方程是離散時間系統(tǒng)數(shù)學模型的最基本的達形式，N階線性常系數(shù)差分方程的基本形式為：（5-2）列寫如圖5-1所示系統(tǒng)的微分方程式：

圖5-1系統(tǒng)數(shù)學模型（a）機械系統(tǒng)

（b）電氣系統(tǒng)

5.2.1線性常系數(shù)微分方程

對圖（a）機械系統(tǒng)，輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運動方程式：（5-3）整理，得：

（5-4）對圖（b）電氣系統(tǒng)，假設電路串聯(lián)電流為i，可列出如下微分方程式：（5-5）（5-6）(5-7)(5-8)

由（5-6）、（5-7）、（5-8）解出i代入（5-5），并將（5-5）兩邊微分，得（5-9）比較微分方程式（5-4）和（5-9）可見機械系統(tǒng)(a)和電氣系統(tǒng)(b)具有相同的數(shù)學模型，因此從數(shù)學角度看，兩系統(tǒng)的動態(tài)特性是一致的。故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)，即電氣系統(tǒng)為機械系統(tǒng)的等效系統(tǒng)。5.2.2線性常系數(shù)差分方程

如果系統(tǒng)的輸入/輸出特性是線性的，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。其基本特性是滿足疊加原理：

有下面的關系表達式：如果

且：a、b為任意常數(shù)，則如果y(n)是系統(tǒng)對x(n)的響應，當輸入序列為x(n-k)時，系統(tǒng)的響應為：如果n代表不同的采樣時刻nT，也將其稱為“時不變系統(tǒng)”。簡單的說，時不變系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關系是不隨時間改變的，所以又稱“定常系統(tǒng)”。一個單輸入——單輸出線性時不變離散系統(tǒng)，顯然，在某一采樣時刻的輸出值y(n)與這一時刻的輸入值x(n)有關，而且與過去時刻的輸入值x(n-1),x(n-2),…有關，還與該時刻以前的輸出值y(n-1),y(n-2),…有關。這種關系可以描述如下：（5-10）或表示為：（5-11）與線性定常連續(xù)時間系統(tǒng)類似，對于線性定常離散時間系統(tǒng)的數(shù)學表達，線性常系數(shù)差分方程式（5-11）同樣需要加上初始松弛條件。對應的其次方程為：(5-12)通解：

(5-13)式中系數(shù)Ai由邊界條件（初始條件）決定。差分方程的解法一般有迭代法和Z變換法兩種。【例5-1】已知采樣系統(tǒng)的差分方程是

其中

初始條件：

解：……于是可得

5.3計算機控制系統(tǒng)的頻域模型

5.3.1Z變換理論5.3.2連續(xù)時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)5.3.3離散時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)5.3.1Z變換理論1.Z變換定義

對于采樣信號可以描述為：

它的拉氏變換為：

其中為超越函數(shù)，T為采樣周期。引入新的變量

則

稱為序列

的雙邊Z變換

但一般工程上總是單邊的，即當n<0時，f(n)=0，則有單邊Z變換：

Z變換方法一般有級數(shù)求和法、部分分式法等方法。在MATLAB符號數(shù)學工具箱中的命令ztrans可以用于求符號表達式的Z變換。Z變換經(jīng)常用于求解差分方程。Z變換調(diào)用如下：（1）F=ztrans(f)：符號表達式f的Z變換，缺省的自變量為n，缺省返回關于Z的函數(shù)。如果f=f（z），則ztrans（f）返回關于w的函數(shù)。（2）F=ztrans（f，w）：返回關于符號變量w的函數(shù)F，而不是關于符號變量z的。（3）F=ztrans（f，k，w）：對關于k的符號變量作Z變換，返回關于符號變量w的函數(shù)F。2.Z變換的性質(zhì)則

（5-14）2）平移定理平移是指把整個采樣序列x(n)在時間軸上左、右移動若干個采樣周期。允許超前，也允許延遲。若：則1）線性性質(zhì)（5-15）若,

3）微分定理

若則

（5-16）4）積分定理若

則

（5-17）5）初值定理或者

（5-18）6）終值定理（5-19）7）復數(shù)位移定理（5-20）8)卷積定理若

則（5-21）9）比例尺變換若

則

（5-22）10）乘以指數(shù)序列a為整數(shù)

（5-23）3.Z反變換

已知變換式X(z),求出相應的離散序列x(n)或x(nT)的過程稱作Z反變換。一般有三種方法：部分分式展開法，冪級數(shù)展開法和反演積分法，也可以使用MATLAB的函數(shù)來計算。作反變換時，仍假定信號序列是單邊的，即n<0,x(n)=0.在MATLAB中，逆Z變換的調(diào)用如下：

(1)f=iztrans(F)：關于符號表達式對象F的逆Z變換，缺省的自變量為z。缺省返回是關于n的函數(shù)。如果F=F(n),iztrans返回關于k的函數(shù)。

(2)f=iztrans(F,k):返回關于k的函數(shù)，而不是關于n的函數(shù)。在此k為符號表達式對象。

(3)f=iztrans(F,w,k):F是關于w的函數(shù)，而不是隱含的findsym(F)確定的，返回關于k的函數(shù)。4.Z變換法解差分方程用Z變換求解差分方程，主要用到了Z變換的實數(shù)位移定理。Z變換法求解差分方程的一般方法可以歸結如下：

1）對差分方程兩端同時取Z變換；

2）利用初始條件化簡Z變換式；

3）將Z變換式改寫成如下形式:4）求解X(z)的Z反變換，即可得到差分方程的解【例5-2】用Z變換法解差分方程：

解：取方程兩端的Z變換，得

代入初始值，有

所以

查Z反變換表，得

n=0，1，2，…5.Z變換與拉普拉斯變換1）拉氏變換與Z變換的應用系統(tǒng)不同

Z變換是對連續(xù)信號的采樣序列進行變換，因此Z變換與其原函數(shù)并非一一對應，而只是與采樣序列對應。所以，不同的原函數(shù)可能會有相同的Z變換式。2）Z變換的收斂區(qū)間拉氏變換的存在條件是下式的絕對積分收斂：

通常情況下，Z變換的定義稱為雙邊Z變換

而

稱為單邊Z變換。如果將Z寫成則雙邊Z變換式就可寫成

3）巴什瓦定理滿足了收斂條件，則Z變換對存在。不難證明，對于Z變換也存在離散的巴什瓦(Parsval)定理：（5-24）

定理的物理意義是：在時域計算x(n)的總能量與在Z域計算序列X（z）的總能量相等。

4）S域與Z域的關系如圖5-2所示圖5-2s平面與z平面的映射關系

拉氏變換是以s為自變量，而Z變換是以z為自變量。由便建立了Z域與S域的關系：顯然：當有

當有

當有s平面的虛軸表示實部

和虛部ω從-∞變到+∞，映射

映射到z平面上，表示

，即單位圓上，和也從-∞變到+∞，即z在單位圓上逆時針旋轉無限多圈。簡單地說，就是s平面的虛軸在z平面的映射為一單位圓如圖5-2所示。同理，S域的左半平面，映射到z平面上，對應單位圓內(nèi)部；S域的右半平面，映射到z平面上，對應單位圓外部。主頻區(qū)：（z平面單位圓）。

設閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程式的根為z1,z2…,zn（即是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點）那么，線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根的模,即閉

環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點均位于z平面的單位圓內(nèi)。5.3.2連續(xù)時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傅里葉變化對：（5-25）拉普拉斯變換對：

（5-26）

如下圖5-3所示，經(jīng)過拉普拉斯變換可以將連續(xù)時間系統(tǒng)從時域轉移到頻域進行分析。連續(xù)時間系統(tǒng)的三種數(shù)學模型之間的關系如圖5-4所示，比如同一個系統(tǒng)可以在時域和頻域分別用式5-27、5-28、5-29來分析。（5-27）（5-28）（5-29）圖5-3時域到頻域的變換圖5-4三種數(shù)學模型的關系

【例5-3】某玩具火車只有一節(jié)火車頭和一節(jié)車廂，火車僅沿單方向運動，希望通過控制，使火車啟動/停止平穩(wěn)且運行速度穩(wěn)定。已知火車頭質(zhì)量：M1；車廂質(zhì)量：M2；M1與M2通過彈簧連接，彈簧剛度系數(shù)為k；火車引擎拉力：F；滾動摩擦系數(shù)為。試建立系統(tǒng)的頻域模型。解：假設火車頭和車廂的位移分別為x1和x2，建立物理模型如圖5-5所示：圖5-5玩具火車物理模型根據(jù)牛頓定律可得微分方程：定義火車引擎拉力F為系統(tǒng)輸入變量，火車頭速度為輸出變量。對上面微分方程兩邊分別求拉普拉斯變換得：整理可得：則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

若給出玩具火車參數(shù)：M1=1kg；M2=0.5kg；

k=1N/sec；F=1N；

=0.002sec/m；g=9.8m/s^2。通過如下MATLAB程序：num=[M2M2*u*gk];den=[M1*M22*M1*M2*u*gM1*k+M1*M2*u*u*g*g+M2*kM1*k*u*g+M2*k*u*g];step(num,den)仿真結果如下圖所示：5.3.3離散時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)另外一種分析離散系統(tǒng)的主要方法就是傳遞函數(shù)。

1.離散時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本概念對于離散系統(tǒng)，一般用差分方程來描述，其形式為：

定義該離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：初始條件為零時，系統(tǒng)輸出輸入序列的Z變換的比值：（5-30）

通常將離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)稱為Z傳遞函數(shù)，又叫脈沖傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應g（t）,經(jīng)過采樣后離散信號g*（t）的Z變換，可表示為還可表示為

2.離散時間系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在圖5-7a所示的開環(huán)系統(tǒng)中，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關存在，這時圖5-7兩種開環(huán)串聯(lián)結構（5-31）在圖5-7b所示的系統(tǒng)中，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關隔離。這時系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：（5-32）式（5-31）和（5-32）中的

3.離散時間系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

圖5-8閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)由圖5-8所示的閉環(huán)系統(tǒng)可得：閉環(huán)離散系統(tǒng)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)為：（5-33）與線性連續(xù)系統(tǒng)類似，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的分母即為閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征多項式。

圖5-9具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)在計算機控制系統(tǒng)中，往往有數(shù)字控制器環(huán)節(jié)如圖5-9所示，該具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（5-34）4.離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

令閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征多項式

得系統(tǒng)的特征根

閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內(nèi)，或者所有根的模均小于1，即

若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓外的極點，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。，可解即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點?！纠?-4】判斷圖5-10所示系統(tǒng)在采樣周期

和時的穩(wěn)定性。解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖5-10采樣系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為；閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

當T=1s時，系統(tǒng)的特征方程為

因為方程是二階，故直接解得極點為當T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)傳遞函數(shù)為解得極點為有一個極點在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

即

采樣周期會影響離散系統(tǒng)穩(wěn)定性，根據(jù)控制理論，越大則系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差（參見例5-4），從定性分析，采樣周期越短，離散控制系統(tǒng)越接近連續(xù)系統(tǒng)；從定量分析，控制系統(tǒng)中引入采樣開關和保持器，相當于引入了純時滯，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性必然變差。純時滯的大小等于采樣周期的一半，采樣周期小，引入的純時滯小，對穩(wěn)定性的影響也小。5.傳遞函數(shù)的模型離散系統(tǒng)的動態(tài)特性可用差分方程或脈沖傳遞函數(shù)表示。脈沖傳遞函數(shù)是輸出信號與輸入信號的z變換之比。建立傳遞函數(shù)模型，函數(shù)調(diào)用格式如下用分子num和分母den多項式系數(shù)建立脈沖傳遞函數(shù)表示的離散系統(tǒng)模型，采樣時間為Ts用于模型轉換時，函數(shù)調(diào)用格式為：

即只能從離散的其他類型模型轉換到脈沖傳遞函數(shù)的系統(tǒng)模型?！纠?-5】已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

采樣周期為

，求離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，程序代碼如下：>>運行結果：

：26.計算機控制系統(tǒng)方框圖和信號流圖系統(tǒng)的方框圖和信號流圖是系統(tǒng)的兩種圖解描述方式，它們包含了系統(tǒng)各個組成部分的傳遞函數(shù)、系統(tǒng)的結構、信號流向等信息，表示了系統(tǒng)的輸入和輸出變量之間的因果關系以及系統(tǒng)內(nèi)部變量所進行的運算。5.4計算機控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型另外一種時域表達方式——狀態(tài)空間模型：假設系統(tǒng)可用階微分方程或差分方程表示，通過引入一組變量——狀態(tài)變量，可將系統(tǒng)方程變換為一組一階微分方程或差分方程。將這組方程采用矩陣的形式表達，即得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

5.4.1基本概念狀態(tài)空間模型有關的基本概念主要有狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)向量、狀態(tài)空間等。1.狀態(tài)與狀態(tài)變量系統(tǒng)的狀態(tài)是指，在已知未來輸入情況下，對確定系統(tǒng)的未來行為所必要且充分的變量集合。如圖所示的簡單力學系統(tǒng)，假設x、v分別表示質(zhì)量塊m的位移和運動速度，可得系統(tǒng)的運動微分方程：系統(tǒng)在t=0時刻的狀態(tài)（初始狀態(tài)）為：

系統(tǒng)在t0時刻的狀態(tài)（運動狀況）為：在任意時刻t，系統(tǒng)的響應完全可以由該瞬時的系統(tǒng)狀態(tài)和該瞬時的系統(tǒng)輸入確定。構成控制系統(tǒng)狀態(tài)的變量，即能完全描述系統(tǒng)行為的最小變量組中的每一個變量，稱為狀態(tài)變量。如果完全描述控制系統(tǒng)的最小變量組為n個變量X1(t),X2(t),X3(t),…….Xn(t),則該系統(tǒng)就有n個狀態(tài)變量…………狀態(tài)變量特點：

1，狀態(tài)變量并非唯一；

2，選用的狀態(tài)變量不一定在物理上能觀能控；,3，在最優(yōu)控制中，通常選用物理上能觀能控的狀態(tài)變量。圖5-11所示的簡單力學系統(tǒng)的狀態(tài)變量為:由系統(tǒng)的運動微分方程可得用狀態(tài)變量表達的系統(tǒng):2.狀態(tài)向量設系統(tǒng)狀態(tài)變量為X1(t),X2(t),X3(t),…….Xn(t),那么這n個狀態(tài)變量所組成的n維向量X(t)，就叫做狀態(tài)向量。（5-35）3.狀態(tài)空間以狀態(tài)變量X1(t),X2(t),X3(t),…….Xn(t),為坐標軸構成的n維空間，稱為狀態(tài)空間。如果給定了初始時刻t0的狀態(tài)X(t0)和t>=0時的輸入函數(shù)，隨著時間的推移。X(t)將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌跡。5.4.2狀態(tài)空間表達式1.狀態(tài)方程假設系統(tǒng)的r個輸入變量為u1(t),u1(t)……un(t);m個輸出變量為y1(t),y2(t)……ym(t)；系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

X1(t),X2(t)…….Xn(t);把系統(tǒng)的狀態(tài)變量與輸入變量之間的關系用一組一階微分方程來描述，即為系統(tǒng)的狀態(tài)方程:（5-36）用一組一階微分方程來描述，即為系統(tǒng)的狀態(tài)方程：（5-36）上式狀態(tài)方程也可以寫成矩陣形式：（5-37）（5-38）觀察上面3個方程可見，狀態(tài)方程里面沒有輸出變量，這是狀態(tài)方程的一大特點。2.輸出方程系統(tǒng)的輸出變量y(t)與狀態(tài)變量x(t),輸入變量u(t)之間的數(shù)學表達式稱為系統(tǒng)的輸出方程。如：

（5-39）3.狀態(tài)空間表達式狀態(tài)方程和輸出方程總合起來，構成對系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。狀態(tài)空間表達式：（5-40）其中向量x(t),u(t)和y(t)分別表示n維狀態(tài)向量、r維輸入向量和p維輸出向量：

（5-41）系數(shù)矩陣A,B,C,D表示如下：

（5-42）【例5-6】針對【例5-3】的玩具火車系統(tǒng)，求其狀態(tài)空間模型。解：根據(jù)圖5-5所示物理模型及例題5-3所求微分方程，系統(tǒng)的狀態(tài)變量為:X1,V1,X2,V2;輸入變量為：F?？闪邢到y(tǒng)狀態(tài)空間表達式：

狀態(tài)方程：（5-43）輸出方程：

（5-44）系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式也可以用矩陣表示：（5-45）（5-46）圖5-12例5-6仿真圖Matlab程序：A=[0100;-k/M1-u*gk/M10;0001;k/M20-k/M2-u*g];B=[0;1/M1;0;0];C=[0100];D=[0];t=0:0.1:300;step(A,B,C,D,1,t)仿真結果如圖5-12所示。用狀態(tài)變量描述一個系統(tǒng)時把輸入輸出間的關系分為兩段加以描述：系統(tǒng)輸入量引起系統(tǒng)內(nèi)部的變化—狀態(tài)方程；系統(tǒng)內(nèi)部的變化引起系統(tǒng)輸出量的變化—輸出方程。該方法可深入到