用直方圖算平均數-中位數、眾數、標準差

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在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數如下﹕甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？

問題

為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數據對總體的數字特征進行研究?！脴颖镜臄底痔卣鞴烙嬁傮w的數字特征。1、眾數在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這一組數據的眾數.2、中位數將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數.3、平均數

(1)

x=(x1+x2+……+xn)/n(2)

x

=x1f1+x2f2+……+xkfk

如何從頻率分布直方圖中估計眾數、中位數、平均數呢？

思考眾數：最高矩形的中點的橫坐標2.25中位數：左右兩邊直方圖的面積相等.2.02平均數：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.2.020.160.511.522.533.544.5月均用水量/t頻率組距0.08O0.30.440.50.28頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)

眾數在樣本數據的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。如何在頻率分布直方圖中估計眾數可將眾數看作直方圖中面積最大長方形的“中心”0.52.521.5143.534.5頻率組距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02前四個小矩形的面積和=0.49后四個小矩形的面積和=0.262.02如何在頻率分布直方圖中估計中位數思考：平均數是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數據的頻率分布直方圖中，各個小矩形的重心在哪里？從直方圖估計總體在各組數據內的平均數分別為多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數是2.02.

3、平均數平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和

平均數：

x

=x1f1+x2f2+……+xkfk

選擇平均數更好：因為，此時的眾數20萬比中位數25萬還小，所以眾數代表的是局部的數。中位數代表的雖然是大多數公路投資的數額，但由于其不受極端值的影響，不能代表全體，因而此時成了它的缺點。選擇平均數較好，能比較好的代表整體水平，但缺點是仍不能顯示出具體的數字特征

練習課本P74練習三種數字特征的優(yōu)缺點特征數優(yōu)點缺點眾數體現了樣本數據的最大集中點無法客觀反映總體特征中位數不受少數極端值的影響不受少數極端值的影響有時也是缺點平均數與每一個數據有關，更能反映全體的信息.受少數極端值的影響較大，使其在估計總體時的可靠性降低.探究

一個企業(yè)中，有職工的人數很多，他們的月收入是兩千左右，然后有少數人員是經理以上層次的人，他們的月收入是三萬左右。如果是你老板，去招聘時，回答有關工資待遇方面的問題，你更愿意用哪個數字特征來回答這個問題呢？如果你是應聘者，你更愿意希望老板是用哪個特征數字來回答？

平均數向我們提供了樣本數據的重要信息，但是，有時它也會影響我們，使我們對總體作出片面判斷。平均數反映數據的集中趨勢，但是，只有平均數還難以概況樣本數據的實際狀態(tài)。當樣本的平均數相等或相差無幾時，就要用樣本數據的離散程度來估計總體的數字特征。這時，我們引進了一個概念：標準差！

12標準差

有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶十次，每次命中的環(huán)數如下：

如果你是教練，你應當如何對這次射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？標準差

標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離.它用來描述樣本數據的離散程度.在實際應用中，標準差常被理解為穩(wěn)定性.1、平均距離標準差

標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離.它用來描述樣本數據的離散程度.在實際應用中，標準差常被理解為穩(wěn)定性.規(guī)律：標準差越大，大則a越大，數據的離散程度越大；反之，數據的離散程度越小.計算標準差的算法：1、算出樣本數據的平均數2、算出每個樣本數據與樣本平均數的差3、算出，這n個數的平均數，即為樣本方差4、算出方差的算術平均值，即為樣本標準差s。16

注意：1、標準差、方差的取值范圍：當標準差，方差為0時，樣本各數據全相等，表明數據沒有波動幅度，數據沒有離散性。2、因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能增大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的離散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般采用標準差。17例1：畫出下列四組樣本數據的直方圖，說明它們的異同點.（1）（2）（3）（4）18例2：甲乙兩人同時生產內徑為25.40mm的一種零件.為了對兩人的生產質量進行評比，從他們生產的零件中各抽出20件，量得其內徑尺寸如下（單位：mm)甲乙從生產的零件內徑的尺寸來看，誰生產的質量較高？X甲≈25.401X乙≈25.406s甲≈0.037S乙≈0.06819

從樣本平均數看，甲生產的零件內徑比乙更接近內徑標準，但是差異很?。粡臉颖緲藴什羁?，由于s甲＜S乙，因此甲生產的零件內徑比乙的穩(wěn)定程度高很多。于是，可以作出判斷，甲生產的零件的質量比乙的高一些。X甲≈25.401X乙≈25.406s甲≈0.037S乙≈0.068

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練習課本P79練習21解:依題意計算可得

x1=900x2=900s1≈23.8s2≈42.6

甲乙兩種水稻6年平均產量的平均數相同,但甲的標準差比乙的小,所以甲的生產比較穩(wěn)定.22解:(1)平均重量約為496.86g,標準差約為6.55(2)重量位于(x-s,x+s)之間有14袋白糖,所占百分比為66.67%.23P81練習：若甲、乙兩隊比賽情況如下,下列說法哪些說法是不正確的：甲乙平均失球數平均失球個數的標準差1.52.11.10.41、平均來說，甲的技術比乙的技術好；2、乙比甲技術更穩(wěn)定；3、甲隊有時表現差，有時表現