【課件】4.5.1函數(shù)的零點和方程的解教學課件-高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.5函數(shù)的應用(二)4.5.1函數(shù)和零點和方程的解引入

在前面，我們通過一些實例，初步了解了建立函數(shù)模型解決實際問題的過程，學習了用函數(shù)描述客觀事物變化規(guī)律基本方法.在本節(jié)中，我們將先學習運用函數(shù)的性質(zhì)求方程近似解的方法，再結(jié)合實例，更深入地理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學模型的基本過程，用模型思想發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題的方法。

那么，我們?yōu)槭裁匆獙W習運用函數(shù)的性質(zhì)來求方程近似解呢(注意:不是”準確解”)?主要有以下幾個方面的原因：1.用數(shù)學解決實際問題時，經(jīng)常需要解方程，這沒辦法回避；

2.從現(xiàn)實生活中抽象出的方程往往是很難得出準確解的;事實上，就整式方程而言，五次及五次以上方程就沒有一般解法了(在19世紀挪威數(shù)學家阿貝爾已經(jīng)證明)，更不要說指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程.3.從實用的角度來看，一定精度的解也是完全可以滿足需要的.知識探究

我們已經(jīng)學習過用二次函數(shù)的觀點來認識一元二次方程和不等式，知道一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是對應二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a≠0)的零點.

問題1:

完成下列表格.

驗證方程的根，對應函數(shù)的零點，以及函數(shù)圖象與x軸的交點的關(guān)系，并說說什么是函數(shù)的零點？一元二次方程方程

x2－2x－3=0x2－2x+1=0x2－2x+3=0

方程的根二次函數(shù)函數(shù)的零點函數(shù)的圖象以及與x軸的公共點x1=-1,x2=3x1=x2=1沒有實數(shù)解y=x2－2x－3y=x2－2x+1y=x2－2x+3-1,31沒有零點(-1,0)(3,0)(1,0)

問題2:

類比二次函數(shù)的零點，對于一般函數(shù)y=f(x)，你能說說什么是函數(shù)y=f(x)的零點嗎？函數(shù)的零點

對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。方程f(x)=0的實數(shù)解函數(shù)y=f(x)的零點方程f(x)=0的實數(shù)根數(shù)形同有無，值相等，個相同。2.函數(shù)的零點與方程的根，函數(shù)圖象與軸公共點的橫坐標的關(guān)系：1.概念：返回例析（1）由f(x)=0得lgx-2=0,即lgx=2解得x=100∴函數(shù)的零點為100.（2）由f(x)=0得ex-1=0,即ex=1解得x=0∴函數(shù)的零點為0.（3）由f(x)=0得-2|x|+6=0,解得x=-3或3∴函數(shù)的零點為-3和3.（4)由f(x)=0得x2-4x-12=0,

即(x-6)(X+2)=0解得x=6或x=-2∴函數(shù)的零點為-2和6.解:

思考4:

結(jié)合函數(shù)零點的幾何意義，你還能想用別的方法來求零點嗎？

根據(jù)函數(shù)

f(x)的的圖象和性質(zhì)，得出

f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。1.寫出下列函數(shù)的零點：-1，3練習

問題3:

由以上可知，當我們無法用公式解方程f(x)=0時，我們可以用怎樣的方法來求其實數(shù)解？

利用函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)和圖象，找出函數(shù)的零點，從而得到方程的解。

問題4:

對于二次函數(shù)

f(x)=x2-2x-3

，觀察它的圖象，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2,4]和[-2,0]各有一個零點.(1)這時，函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系？

(2)你認為應如何利用函數(shù)

f(x)的取值規(guī)律來刻畫這種關(guān)系？①在零點及其附近，函數(shù)圖象連續(xù)不斷；②函數(shù)圖象在零點處穿過了x軸。

函數(shù)圖象在區(qū)間(2,4)上，函數(shù)圖象從下到上穿過了x軸，即f(2)<0

，f(4)>0，∴f(2)f(4)<0.

在區(qū)間(-2,0)上，函數(shù)圖象從上到下穿過了x軸，即f(-2)>0

，f(0)<0

，∴

f(-2)f(0)<0.

(3)再任意畫幾個函數(shù)圖象，觀察零點所在的區(qū)間，以及在這這一區(qū)間上函數(shù)圖象與x軸的關(guān)系.類似地，你得到用函數(shù)

f(x)的取值規(guī)律的方法嗎？

函數(shù)圖象在區(qū)間[1,3]上連續(xù)不斷；并在(1,3)上從上到下穿過了x軸。

函數(shù)圖象在區(qū)間[2,4]上連續(xù)不斷；并在(2,4)上從下到上穿過了x軸。

函數(shù)圖象在區(qū)間[0,2]上連續(xù)不斷；并在(0,2)上從下到上穿過了x軸。

問題5:

由以上的分析，你能說說在區(qū)間(a,b)上，y=f(x)在什么樣的情況下一定有零點？

一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有

f(a)f(b)<0，那么

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)有零點，

即

存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.函數(shù)零點存在性定理

問題6：(1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有

f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否一定有零點？(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的一條曲線，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否一定有零點？

“在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷”和“f(a)f(b)<0”這兩個條件缺一不可。

(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，是否一定有f(a)f(b)<0？(4)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0

，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，但是否只有一個零點呢？

“在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷”和“f(a)f(b)<0”是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點的充分不必要條件。

即此定理不可逆。

函數(shù)零點存在定理可以判定函數(shù)有零點，但不能判定零點的個數(shù)。(5)如何理解函數(shù)零點存在定理？如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]具有單調(diào)性呢？

若函數(shù)又同時具有單調(diào)性，則可以判定函數(shù)只有一個有零點。

一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有

f(a)f(b)<0，那么

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)有零點，

即

存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.函數(shù)零點存在性定理

理解此定理時應注意以下幾個問題：

(1)此定理不可逆.即

若函數(shù)y=f(x)同時滿足上述兩個條件，則y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定存在零點，但有零點，卻不一定滿足上述兩個條件.

因此

，上述兩個條件是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點的充分不必要條件。

(2)此定理不能確定零點的個數(shù).即

若函數(shù)y=f(x)同時滿足上述兩個條件，則y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定存在零點，但零點不一定只有一個。

但若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)還同時具有單調(diào)性，則函數(shù)在這區(qū)間(a,b)上只有一個零點.返回練習

下列三圖分別是同一個函數(shù)在不同范圍的圖象，你能僅根據(jù)其中的某一圖象，得出函數(shù)在某一個區(qū)間上只有一個零點的判斷？為什么？(教材P144練習第1題)

不能。

因為當自變量在不同的范圍內(nèi)取值時，圖象呈現(xiàn)的細節(jié)有可能不相同。

在本題中，當x∈(-200,200),x∈(-20,20),x∈(-2,2)時，看到的零點個數(shù)是不同的。所以確定函數(shù)的零點往往需要函數(shù)的了解函數(shù)的性質(zhì)，并借助相關(guān)的定理例2.求方程lnx+2x－6=0實數(shù)解的個數(shù)例析解：

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+2x－6，則f(x)的定義域為(0,+∞)

列表，并作出f(x)的圖象x1

2

3456789f(x)

-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972f(2)<0,f(3)>0，即

f(2)f(3)<0.由函數(shù)零點存在定理，f(x)在(2,3)內(nèi)至少有一個零點.又∵f(x)=lnx+2x－6是增函數(shù),∴f(x)是只有一個零點,方程lnx+2x－6=0有1個實數(shù)解.由表和圖象得f(x)=lnx+2x－6

思考1：以上解法中，列表和作圖都借助了工具。事實上，本題還可以先判定函數(shù)是增函數(shù)，再讓x在定義域內(nèi)取值，由f(x)的符號來得出零點的個數(shù)。除此之外，你還有別的解法嗎？例2.求方程lnx+2x－6=0實數(shù)解的個數(shù)另解：

由lnx+2x－6=0得lnx=-2x+6

設(shè)f(x)=lnx,g(x)=-2x+6.

作出函數(shù)

f(x)和g(x)的圖象，如右.

由圖知，

函數(shù)f(x)和g(x)的圖象只有一個公共點P(x0,y0)，其中x0∈(2,3)∴方程lnx=-2x+6只有一個解,

即lnx+2x－6=0有1個實數(shù)解.f(x)=lnxg(x)=-2x+6減函數(shù)增函數(shù)思考2：如何判定函數(shù)y=f(x)零點(或方程f(x)=0的解)的個數(shù)？思路1.解方程法：思路2.性質(zhì)法：一是直接解方程f(x)=0或判斷方程解的個數(shù);根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)和零點存在定理進行判斷

二是利用函數(shù)圖象.由函數(shù)f(x)=0得g(x)=h(x)，再分別作出g(x)和h(x)的圖象，則兩圖象的交點個數(shù)得出結(jié)論例3.判斷函數(shù)

f(x)=4-3x+log2x有多少個零點？解：

思考1：若不借助計算工具和軟件，函數(shù)

f(x)=4-3x+log2x圖象容易作出嗎？

若不易作出，有哪一些思路？思路2：轉(zhuǎn)化判斷方程4-3x+log2x=0根的個數(shù).思路1：在定義域內(nèi)，讓x取一些值，由f(x)的正負來判斷；另解：

由

f(x)=4-3x+log2x=0得log2x=3x-4

設(shè)f(x)=log2x,g(x)=3x-4

作出f(x)和g(x)的圖象

由圖可得

函數(shù)f(x)和g(x)的圖象有兩個公共點。

∴方程4-3x+log2x=0有兩個實數(shù)解，即

f(x)=4-3x+log2x有2個零點。g(x)=3x-4f(x)=log2x例3.判斷函數(shù)

f(x)=4-3x+log2x有多少個零點？思考2：這種解法好不好，為什么？若

f(x)=4+3x+log2x呢？

不好。

一是事先并不知道各個零點所在的大致區(qū)間，二是x取哪一些值不好把握。

但若如例2中，函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)，則這種方法則比較方便。

思考3：你能用例2的方法來判斷方程4-3x+log2x=0