【講座】高中試題中數(shù)學抽象素養(yǎng)的考查趨勢分析及教學建議

高中試題中數(shù)學抽象素養(yǎng)的考查趨勢分析及教學建議目錄1.數(shù)學抽象素養(yǎng)的概念理解及內(nèi)涵2.高中數(shù)學哪些內(nèi)容隱含或滲透數(shù)學抽象素養(yǎng)3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析4.基于“數(shù)學抽象”的教學建議內(nèi)涵

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征。價值

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、應用中。抽象使得數(shù)學成為高度概括、表達準確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。目標

通過數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學生能夠更好的理解數(shù)學的概念、命題、方法和體系，形成一般性思考問題的習慣；能夠在其他學科的學習中化繁為簡，理解該學科的知識結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征。1.數(shù)學抽象素養(yǎng)的概念理解及內(nèi)涵概念：集合、映射、函數(shù)、復合函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、周期性、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、三角函數(shù)及性質(zhì)、平面向量、曲線與方程、導函數(shù)等。定理如：正弦定理、余弦定理、數(shù)學歸納法等知識的應用方面如：線性規(guī)劃求解最值問題、函數(shù)零點、導函數(shù)應用等2.高中數(shù)學哪些內(nèi)容隱含或滲透數(shù)學抽象素養(yǎng)案例1:復合函數(shù)單調(diào)性案例分析與評價學生開始對教師講的不明白，教師答疑后，學生認為明白了.但后來對類似問題，依然沒有思路，再次“明白”后，還是不能正確解決同類問題.學生的歸因是“忘了”.是真的忘了，還是對函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)等知識根本就沒有理解，因而不能夠有效地把握問題和完整地、正確地解決問題？教師的反思：答疑時，我自認為講得很清楚，學生受到了一定的啟發(fā).但是反思后我發(fā)現(xiàn)，自己的講解并沒有很好地針對學生的知識水平，從根本上解決她存在的問題，只是一味地想要她按照某個固定程序去解決這一類問題.學生雖然說明白了,卻并不真正理解問題的本質(zhì)性的東西,如復合函數(shù)的意義、復合函數(shù)中函數(shù)間的相互關(guān)系、換元的目的、函數(shù)單調(diào)性的定義等.由于我沒有在她原有的知識水平、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上幫助建構(gòu)，引導她注意新知識中的某些關(guān)鍵點，因此她的思維過程無法連續(xù)地進行，新舊知識的聯(lián)系不牢固，表面上看是記憶的問題：“忘了”,其實她還是沒有真正理解我所講解的內(nèi)容.這恐怕是學校教育中普遍存在的一種現(xiàn)象.3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析【評析】：（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.（3）最值問題如何巧妙轉(zhuǎn)化3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析例6【評析】：對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題,通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.這里的構(gòu)造對突出了對數(shù)學抽象的考查。3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學抽象”立意的高考試題分析直觀想象數(shù)學抽象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學抽象4.基于“數(shù)學抽象”教學建議如何將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在中學數(shù)學課堂教學中？本文認為，就數(shù)學抽象而言就是：讓學生學會“用數(shù)學的眼睛看”。數(shù)學核心素養(yǎng)是否是學生數(shù)學學習的必然產(chǎn)物？答案是否定的！死記硬背作為當下中小學數(shù)學學習依然存在的一種方式，其結(jié)果能否促使學生形成數(shù)學核心素養(yǎng)？不言而喻，采取死記硬背方式，學生對數(shù)學內(nèi)容的理解和把握大多是不正確的，死記硬背、機械訓練所形成的數(shù)學技能往往是片面、畸形的，相應的數(shù)學能力其實很難形成盡管我國基礎(chǔ)教育課程改革歷時十五年有余，被動接受仍是學生最常見的學習狀態(tài)。國際上極負盛名的荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗蘭登塔爾（H.Freudenthal，1905—1990）的經(jīng)典觀點“與其說學數(shù)學，倒不如說學習數(shù)學化”，這個觀點道出了數(shù)學學習的本質(zhì)?！皵?shù)學化其實就是從（數(shù)學外部的）現(xiàn)實世界到數(shù)學內(nèi)部，從數(shù)學內(nèi)部發(fā)展，再到現(xiàn)實世界中（以及應用于其他學科之中）的全過程，數(shù)學化的本質(zhì)在于三個階段，即現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學內(nèi)部規(guī)律化、數(shù)學內(nèi)容現(xiàn)實化”。這恰恰就是我們這邊談到的數(shù)學抽象素養(yǎng)。4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

數(shù)學化是學生自己的數(shù)學活動，畢竟，無論經(jīng)驗的積淀、基本思想的初步形成，還是數(shù)學抽象能力、推理能力、建模能力的培養(yǎng)，都離不開學生的主動參與、獨立思考和親身實踐，離不開學生的自我建構(gòu)。因此，（學生發(fā)展所必需的）數(shù)學核心素養(yǎng)是學生親身經(jīng)歷數(shù)學化活動之后所積淀和升華的產(chǎn)物，這種產(chǎn)物對學生在數(shù)學上的全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展起決定作用。4.基于“數(shù)學抽象”教學建議4.1常用數(shù)學“微探究”，讓數(shù)學本質(zhì)理解更透徹4.2多用“變式教學”，讓數(shù)學思維更加生動4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體4.基于“數(shù)學抽象”教學建議4.1常用數(shù)學“微探究”，讓數(shù)學本質(zhì)理解更透徹所謂微探究即探究程度輕，范圍小、時間短。在探究過程中，教師提供較多幫助，學生相對自主，探究的開放度?。徊蛔非筇骄窟^程的完整性，即對某一局部內(nèi)容從某個角度、在某個環(huán)節(jié)有所側(cè)重地進行探究，探究的時間一般為幾分鐘到十幾分鐘，探究活動可靈活地實施于課堂教學中.4.基于“數(shù)學抽象”教學建議4.1常用數(shù)學“微探究”，讓數(shù)學本質(zhì)理解更透徹學生獲取數(shù)學核心素養(yǎng)依賴于經(jīng)驗的積累，因此在教學設計中，要抓住數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、知道學生的認知規(guī)律，創(chuàng)設合適的情境、提出合適的問題，啟發(fā)學生獨立思考、鼓勵學生與他人交流，在掌握知識技能的同時理解數(shù)學的本質(zhì)、形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

案例1：導數(shù)概念的教學解決問題：導數(shù)求解的是瞬時變化率問題；定積分求解的是總量問題。解決思路：導數(shù)是“化靜為動，動靜轉(zhuǎn)換”的辯證轉(zhuǎn)化與否定之否定思想的成功運用；定積分是“化整為零、積零為整”的辯證思想的成功應用。導數(shù)概念的引入——百米跑老師：小王的100米成績是12秒，很快的速度。這里講的是他跑這100米的平均速度，在他撞線時肯定有速度，我們能否知道他撞線時的速度？學生議論：不知道加速度呀，也不一定是勻加速呀……老師說明：百米賽跑剛起跑加速度大，中間幾乎是勻速，沖刺時又可能加速，整個過程不可能是勻加速運動。學生的討論陷入了僵局。這時老師就處于不能自己講又不能一味等的兩難境地。合理的問題引導才是讓學生思維突破的上策。老師引導：速度是路程與時間的比值，我們能不能找一種近似的方法來描述撞線的速度呢？受到啟發(fā)后，隨即有同學舉手回答：用最后1秒里跑的路程除以時間，或者是找出最后一段時間里的路程除以時間。(很多同學認可！)老師繼續(xù)引導：假設第12秒里小王跑了10米，那么第12秒里的平均速度就是10米/秒，我們可以用10米/秒來近似地描述他撞線的速度。如果他在最后的0.5秒里跑了5.5米，那么他在最后半秒里的速度是11米/秒，我們也可以用這個速度近似描述他撞線的速度。請同學思考：這種用一段較短時間里的平均速度近似描述撞線速度的辦法，怎樣描述才會更精確一些呢？學生搶著回答：時間取得越短越精確。另一學生又站起來說：時間越來越小漸漸趨向于0時，平均速度就越來越接近于瞬時速度。同學們喜形于色，議論紛紛。老師繼續(xù)引導：那平均速度與瞬時速度是不是一回事呀？同學齊答：不是?！咐?：余弦定理4.1常用數(shù)學“微探究”，讓數(shù)學本質(zhì)理解更透徹

數(shù)學家丘成桐曾說過：“大多數(shù)學生對數(shù)學根本沒有清晰的概念，對定理不甚了了，只是做習題的機器。這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學人才?！睂W生只有親身經(jīng)歷數(shù)學化活動，才能真正形成數(shù)學核心素養(yǎng)。傳統(tǒng)意義上的死記硬背、機械訓練，對于積淀和形成數(shù)學核心素養(yǎng)并沒有多少正面的促進作用，相反地，其負面影響更大。毋庸置疑，“大膽猜測、小心論證”“定性思考、定量把握”作為基礎(chǔ)教育階段典型的數(shù)學思維方式，其培養(yǎng)過程必須融入中小學校的日常教學之中。4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.2多用“變式教學”，讓數(shù)學思維更加生動

數(shù)學是思維學科，數(shù)學教學要滲透數(shù)學思維。解決數(shù)學問題的過程實際上就是思維過程，解題過程就是把所學知識、方法和數(shù)學問題聯(lián)系起來進行分析探索的過程。習題講評課要把培養(yǎng)學生思維能力作為一個主要任務，通過“變式”教學，使學生能夠達到觸類旁通，舉一反三的效果，教師在課堂教學中要充分發(fā)揮“變式”教學的功能，增強學生轉(zhuǎn)化的思想．在“變式”中糾正錯誤從而發(fā)展學生潛能，拓展思維。4.基于“數(shù)學抽象”教學建議4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.2多用“變式教學”，讓數(shù)學思維更加生動

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.2多用“變式教學”，讓數(shù)學思維更加生動

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.2多用“變式教學”，讓數(shù)學思維更加生動

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.2多用“變式教學”，讓數(shù)學思維更加生動

數(shù)學是思維學科，數(shù)學教學要滲透數(shù)學思維。解決數(shù)學問題的過程實際上就是思維過程，解題過程就是把所學知識、方法和數(shù)學問題聯(lián)系起來進行分析探索的過程。習題講評課要把培養(yǎng)學生思維能力作為一個主要任務，通過“變式”教學，使學生能夠達到觸類旁通，舉一反三的效果，從而發(fā)展學生潛能，拓展思維。4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.2多用“變式教學”，讓數(shù)學思維更加生動

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體數(shù)學語言是表達數(shù)學思維的科學語言，是反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的語言它是數(shù)學知識與文化的載體，是進行數(shù)學思維和交流的工具，是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式.斯托利亞爾在《數(shù)學教育學》一書中指出“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學”.

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體數(shù)學解題就是從具體的問題中抽象出數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律，同時能用數(shù)學符號表示出來，能理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系以及意義，能進行數(shù)學語言之間的相互轉(zhuǎn)譯，能選擇適當?shù)臄?shù)學公式、定理、法則并能選擇適當?shù)姆椒▉斫鉀Q數(shù)學問題.“譯”，即理解與轉(zhuǎn)化，是指正確理解已知條件并加以恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，讓抽象問題更加具體，讓復雜問題更加簡單，讓不可能變成可能，從而達到數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展。4.基于“數(shù)學抽象”教學建議4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體4.3.1“譯”數(shù)學語言①文字語言向圖形、符號語言“轉(zhuǎn)譯”，讓數(shù)學性質(zhì)更加顯著②符號語言向圖形語言“轉(zhuǎn)譯”，讓數(shù)學概念更加具體生動③圖形語言向符號語言“轉(zhuǎn)譯”，讓數(shù)學表達更加簡潔4.2“譯”數(shù)學知識

①“譯”知識之間的聯(lián)系②“譯”知識之間的差異4.基于“數(shù)學抽象”教學建議4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學抽象”教學建議

4.3活用數(shù)學語言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

“譯”題的方式多種多樣，本質(zhì)上就是通過理解題意，