超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系和區(qū)別

在最近的幾次考試中,總有半數(shù)的的學(xué)生搞不清二項(xiàng)分布和超幾何分布,二者到底該如何區(qū)分呢?什么時(shí)候利用二項(xiàng)分布的公式解決這道概率問(wèn)題

?什么時(shí)候用超幾何分布的公式去好多學(xué)生查閱各種資料甚至于上網(wǎng)尋找答案,其實(shí)這個(gè)問(wèn)題的回答就出現(xiàn)在教材上,人教

從兩個(gè)方面給出了很好的解釋.誠(chéng)可謂:眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處!

m=min{M,n},且

C

CC

1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)做的

次試驗(yàn),且各次試驗(yàn)試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立,

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),其中

A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次試驗(yàn)結(jié)果,則P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用

發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件

C

p

p)n

服從二項(xiàng)分布,記作n

1.本質(zhì)區(qū)別(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題,二項(xiàng)分布描述的是放回抽樣問(wèn)題;(2)超幾何分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是古典概型問(wèn)題

;二項(xiàng)分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是2.計(jì)算公式超幾何分布:在含有

件產(chǎn)品中,任取

件,其中恰有

件次品,則

C

CC

二項(xiàng)分布:在

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用

發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件

C

p

p)n

(k=0,1,2,…,n),n

的總體數(shù)據(jù)”時(shí),均為二項(xiàng)分布問(wèn)題。比如

例.某批

2%,現(xiàn)從中任意地依次抽出

件進(jìn)行檢驗(yàn),問(wèn):(1)當(dāng)

時(shí),分別以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到

(2)根據(jù)(1)你對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系有何認(rèn)識(shí)?

P(

P(

P(

P(

0.02.次品數(shù)

X~B(3,0.02),恰好抽到

×0.02×(1-0.02)=3×0.02×0.982≈0.057624。在不放回的方式抽取中,抽到的次品數(shù)是隨機(jī)變量,X服從超幾何分布,X

有關(guān),所以需要分

時(shí),產(chǎn)品的總數(shù)為

件,其中次品的件數(shù)為

500×2%=10,合格品的件數(shù)為

件,其中恰好抽到

C

C C

時(shí),產(chǎn)品的總數(shù)為

件,其中次品的件數(shù)為

5000×2%=100,合格品的件數(shù)為4900.從

件,其中恰好抽到

C

C

C 時(shí),產(chǎn)品的總數(shù)為件,其中次品的件數(shù)為50000×2%=1000,合格品的件數(shù)

49000.從

件,其中恰好抽到

C

C C (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果可以看出,當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí),超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.這也是可以理解的,當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時(shí)

,每次抽出產(chǎn)品后

,次品率近似不變

,這樣就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是互相獨(dú)立的,抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項(xiàng)分布【說(shuō)明】由于數(shù)字比較大,可以利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.另外本題目也可以幫次試驗(yàn)中,某一事件服從二項(xiàng)分布;當(dāng)這次試驗(yàn)是不放回摸球問(wèn)題,事件

第二,在不放回的分布列近似于二項(xiàng)分布,并且隨著的增加,這種近似的精度也增加。從以上分析可以看出兩者之間的聯(lián)系:當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量非常大時(shí),在有放回地抽取與無(wú)放回地抽取條件下,計(jì)算得到的概率非常接近,可以近似把超幾何分布認(rèn)為是二項(xiàng)分布

1.(2016·漯河模擬)寒假期間,我市某校學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué),用“10

名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉),若幸福度分?jǐn)?shù)不低

分,則稱(chēng)該人的幸福度為“幸?！?/p>

人,至少有

（2）以這

人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選

人,記ξ表示抽到“幸?！钡娜藬?shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望先不要急于看答案,大家先自己解一下這道題再往下看,會(huì)有意想不到的收獲哦

人,其他的有

人;記“從這

人,至少有

人是“幸福”,”為事件

A.由題意得P(

)

C

C

C

C

C

（2）ξ的可能取值為

0，1，2，3P(

CC

C

C

P(

C

C

C

C

P(

CC

C

CC

P(

C

[錯(cuò)解分析],按照定義先考慮超幾何分布,但是題目中又人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選

人,所以可以近似看作是

立重復(fù)試驗(yàn),應(yīng)該按照二項(xiàng)分布去求解,而不能按照超幾何分布去處理

人中“幸?！钡娜藬?shù)有12

人;記“從這

人,至少有

人是“幸福”,”為事件

A.由題意得P(

)

C

C

C

C

C

P(

P(

P(

C

P(

P(

C

~

,錯(cuò)解中的期望值與正解中的期望值相等

,好多學(xué)生都覺(jué)得不可思議,怎么會(huì)出現(xiàn)相同的結(jié)果呢?其實(shí)這還是由于前面解釋過(guò)的原因

,超幾何分布與二項(xiàng)分布是有聯(lián)系的,看它們的期望公式：

件產(chǎn)品中,任取

件,其中恰有

件次品,隨機(jī)變量Ⅹ服從超幾何分布,超幾何分布的期望計(jì)算公式為

nM

(可以根據(jù)組合數(shù)公式以及期望的定義推導(dǎo));N

服從二項(xiàng)分布,記作

N

時(shí),

M

p,此時(shí)可以把超幾何分布中的不放回抽樣問(wèn)題,近N似看作是有放回抽樣問(wèn)題,再次說(shuō)明N

時(shí),可以把超幾何分布看作是二項(xiàng)分布?？偨Y(jié)：綜上可知,當(dāng)提問(wèn)中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體數(shù)據(jù)”字樣的為二項(xiàng)分布。高考解題中,我們還是要分清超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別

,以便能正確的解題,拿到滿(mǎn)

的模擬試卷吧,快去找?guī)椎蓝?xiàng)分布和超幾何分布的概率大題試試吧,爭(zhēng)取概率滿(mǎn)分，加油！18.(本小題滿(mǎn)分

為了調(diào)查觀(guān)眾對(duì)某電視娛樂(lè)節(jié)目的喜愛(ài)程度,某人在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了

分),現(xiàn)將結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖所示觀(guān)眾對(duì)該電視娛樂(lè)節(jié)目的喜愛(ài)程度;

,若從甲地觀(guān)眾中

人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,記問(wèn)卷分?jǐn)?shù)超過(guò)

E,求的分布列與數(shù)學(xué)期望（2）因?yàn)轭}中說(shuō)：

0,1,2,3，

P(

P(

P(

C

P(

C

P(

E（X）=np= 18.(本小題滿(mǎn)分

名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),分成

的值;并且計(jì)算這

(Ⅱ)該學(xué)校為制定下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃,從成績(jī)?cè)赱130,150]的同學(xué)中選出

座談,記成績(jī)?cè)?/p>

m m

P

P

CC

C

CC

C

P

P

P

C C

E

.

18.(本小題滿(mǎn)分

分)（2018

城市式創(chuàng)新,對(duì)于解決民眾出行“最后一公

里”的問(wèn)題特別見(jiàn)效,由于停取方便、租用價(jià)格低廉 熱捧.某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查人們對(duì)此種交通方式的滿(mǎn)意度,從交通擁堵的

個(gè)用戶(hù),得到了一個(gè)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的樣本,若評(píng)分不低于

分,則認(rèn)為該用戶(hù)對(duì)此種交通方式“認(rèn)可”,否則認(rèn)為該用戶(hù)對(duì)此種交通方式“不認(rèn)可”,并繪制出莖葉圖如圖。(1)請(qǐng)根據(jù)此樣本完成下面的

2×2

列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否能在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)10%的情況下認(rèn)為交通擁堵與認(rèn)可共享單車(chē)有關(guān);

名用戶(hù),記

表示抽到用戶(hù)為對(duì)此種交通方式“認(rèn)可”的人數(shù),求

n

K

,bdbd