超幾何分布和二項分布的聯(lián)系和區(qū)別

在最近的幾次考試中,總有半數(shù)的的學生搞不清二項分布和超幾何分布,二者到底該如何區(qū)分呢?什么時候利用二項分布的公式解決這道概率問題

?什么時候用超幾何分布的公式去好多學生查閱各種資料甚至于上網(wǎng)尋找答案,其實這個問題的回答就出現(xiàn)在教材上,人教

從兩個方面給出了很好的解釋.誠可謂:眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處!

m=min{M,n},且

C

CC

1）獨立重復試驗：在相同條件下重復做的

次試驗,且各次試驗試驗的結(jié)果相互獨立,

次獨立重復試驗,其中

A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次試驗結(jié)果,則P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)

次獨立重復試驗中,用

發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件

C

p

p)n

服從二項分布,記作n

1.本質(zhì)區(qū)別(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,二項分布描述的是放回抽樣問題;(2)超幾何分布中的概率計算實質(zhì)上是古典概型問題

;二項分布中的概率計算實質(zhì)上是2.計算公式超幾何分布:在含有

件產(chǎn)品中,任取

件,其中恰有

件次品,則

C

CC

二項分布:在

次獨立重復試驗中,用

發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件

C

p

p)n

(k=0,1,2,…,n),n

的總體數(shù)據(jù)”時,均為二項分布問題。比如

例.某批

2%,現(xiàn)從中任意地依次抽出

件進行檢驗,問:(1)當

時,分別以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到

(2)根據(jù)(1)你對超幾何分布與二項分布的關(guān)系有何認識?

P(

P(

P(

P(

0.02.次品數(shù)

X~B(3,0.02),恰好抽到

×0.02×(1-0.02)=3×0.02×0.982≈0.057624。在不放回的方式抽取中,抽到的次品數(shù)是隨機變量,X服從超幾何分布,X

有關(guān),所以需要分

時,產(chǎn)品的總數(shù)為

件,其中次品的件數(shù)為

500×2%=10,合格品的件數(shù)為

件,其中恰好抽到

C

C C

時,產(chǎn)品的總數(shù)為

件,其中次品的件數(shù)為

5000×2%=100,合格品的件數(shù)為4900.從

件,其中恰好抽到

C

C

C 時,產(chǎn)品的總數(shù)為件,其中次品的件數(shù)為50000×2%=1000,合格品的件數(shù)

49000.從

件,其中恰好抽到

C

C C (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果可以看出,當產(chǎn)品的總數(shù)很大時,超幾何分布近似為二項分布.這也是可以理解的,當產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時

,每次抽出產(chǎn)品后

,次品率近似不變

,這樣就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是互相獨立的,抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項分布【說明】由于數(shù)字比較大,可以利用計算機或計算器進行數(shù)值計算.另外本題目也可以幫次試驗中,某一事件服從二項分布;當這次試驗是不放回摸球問題,事件

第二,在不放回的分布列近似于二項分布,并且隨著的增加,這種近似的精度也增加。從以上分析可以看出兩者之間的聯(lián)系:當調(diào)查研究的樣本容量非常大時,在有放回地抽取與無放回地抽取條件下,計算得到的概率非常接近,可以近似把超幾何分布認為是二項分布

1.(2016·漯河模擬)寒假期間,我市某校學生會組織部分同學,用“10

名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉),若幸福度分數(shù)不低

分,則稱該人的幸福度為“幸?！?/p>

人,至少有

（2）以這

人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選

人,記ξ表示抽到“幸福”的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學期望先不要急于看答案,大家先自己解一下這道題再往下看,會有意想不到的收獲哦

人,其他的有

人;記“從這

人,至少有

人是“幸?！?”為事件

A.由題意得P(

)

C

C

C

C

C

（2）ξ的可能取值為

0，1，2，3P(

CC

C

C

P(

C

C

C

C

P(

CC

C

CC

P(

C

[錯解分析],按照定義先考慮超幾何分布,但是題目中又人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選

人,所以可以近似看作是

立重復試驗,應(yīng)該按照二項分布去求解,而不能按照超幾何分布去處理

人中“幸福”的人數(shù)有12

人;記“從這

人,至少有

人是“幸?！?”為事件

A.由題意得P(

)

C

C

C

C

C

P(

P(

P(

C

P(

P(

C

~

,錯解中的期望值與正解中的期望值相等

,好多學生都覺得不可思議,怎么會出現(xiàn)相同的結(jié)果呢?其實這還是由于前面解釋過的原因

,超幾何分布與二項分布是有聯(lián)系的,看它們的期望公式：

件產(chǎn)品中,任取

件,其中恰有

件次品,隨機變量Ⅹ服從超幾何分布,超幾何分布的期望計算公式為

nM

(可以根據(jù)組合數(shù)公式以及期望的定義推導);N

服從二項分布,記作

N

時,

M

p,此時可以把超幾何分布中的不放回抽樣問題,近N似看作是有放回抽樣問題,再次說明N

時,可以把超幾何分布看作是二項分布?？偨Y(jié)：綜上可知,當提問中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來估計總體數(shù)據(jù)”字樣的為二項分布。高考解題中,我們還是要分清超幾何分布與二項分布的區(qū)別

,以便能正確的解題,拿到滿

的模擬試卷吧,快去找?guī)椎蓝椃植己统瑤缀畏植嫉母怕蚀箢}試試吧,爭取概率滿分，加油！18.(本小題滿分

為了調(diào)查觀眾對某電視娛樂節(jié)目的喜愛程度,某人在甲、乙兩地各隨機抽取了

分),現(xiàn)將結(jié)果統(tǒng)計如下圖所示觀眾對該電視娛樂節(jié)目的喜愛程度;

,若從甲地觀眾中

人進行問卷調(diào)查,記問卷分數(shù)超過

E,求的分布列與數(shù)學期望（2）因為題中說：

0,1,2,3，

P(

P(

P(

C

P(

C

P(

E（X）=np= 18.(本小題滿分

名考生的數(shù)學成績,分成

的值;并且計算這

(Ⅱ)該學校為制定下階段的復習計劃,從成績在[130,150]的同學中選出

座談,記成績在

m m

P

P

CC

C

CC

C

P

P

P

C C

E

.

18.(本小題滿分

分)（2018

城市式創(chuàng)新,對于解決民眾出行“最后一公

里”的問題特別見效,由于停取方便、租用價格低廉 熱捧.某機構(gòu)為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵的

個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,若評分不低于

分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,并繪制出莖葉圖如圖。(1)請根據(jù)此樣本完成下面的

2×2

列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否能在犯錯的概率不超過10%的情況下認為交通擁堵與認可共享單車有關(guān);

名用戶,記

表示抽到用戶為對此種交通方式“認可”的人數(shù),求

n

K

,bdbd