等差數列綜合復習(教案+例題+習題)

nnnnnnnnnn－n11nnnnnnnnnn－n111數列的概念

一、等差列：列是一個定義域為正整數集N*或它的有限子集｛1,2，，…，n的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。例．根據列前，寫出它的通項公式：（1，3，7……；2425（2），，，；2345（3）

11，，，。1*22*33*44*5解）

a

n

=2

；（）

a

n

=

(nn

；（）

a

n

(=。(n點每一項序號與這一項的對應系可看成是一個序號到另一個數集的對應關系考生的歸納推理能力有較高的要求。如1已知

an

nn156

(n

*

)

，則在數列

{}n

的最大項為__

；）數列

{}通項為an

，其中均正數，則與an

的大小關系為___；（3）知數列{}中，

n且{}是增數列，求實數取值范圍；2等差數列的斷方法

：義法

n

(為常n

n

(n2)。n例2．設S是列{}前和，且=，則{}（）等數列，但不是等差數列B.差數列，但不是等比數列C.等差數列，而且也是等比數列D.非等比數列又非等差數列答案：；解一a=

S(nS(n2)n

nan(n∴a－1（nN）又－為數，

ana2

≠常數∴{a}等數列，但不是等比數.解二果一個數列的和是一個沒有常數項的關于n的次函數這數一定是等差數列。點：本題主要考查等差數列、等比數列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式=－S的理能力但不要忽略a，解法一緊扣定義，解法二較為靈。nnnnn2n81524151713a1372332nnnnn2n81524151713a137233211nnn12916955161110練練{}是差數列證b=n

a12n

n

N*為項公式的數列{}n為等差數列。3等差數列的項：n或)d。n1nna)n4等差數列的和：，nad22

。例3：等差數列{}前項記為S，a＋＋的值是一個定的常數，則數{}中也為常數的項)A

7

B．C．

13

D．解：p)∴3dpp×)13∴p答案：例4．等差數{}，已知＝，＋＝，a＝33則n為()n3nA48BC50D解∵a(n×n50.C.答案：如1)等數列{}中，a，，則通項n1020

；（2）項-24的等數列，從第10項起始為正數，公差的取值范圍______；例5：設S是差列{}前項，＝－，＝－9，則S＝________.解：a9∴a8(a)72.答案：72例6已知數{}等數列，若<，且它們的前項有大值，則使的na最大值為()11n101110111192011011n1nnn1111n101110111192011011n1nnn11A11B．C．．21解：∵<S10∴a>0a<019(aa)∴

10

S

20(aa)aanB.答案：如1數列{}中n＝＿，＝；

an

1315(n2,nN*)，，前n項和S，則a222（2）知數列{}前項

Sn

，求數列

{a|}n

的前

n

項和

T

.、等中：

a,

成等差數列，則A叫a與b的差中項，且

A

a2

。

n

提等差數的通項公式前n和式涉及到個元素：、d、、a及1，其中、d稱為本元素只要已知這5個素中的任意個，便可求出其余2個，1即知3求。（2）減少運算，要意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為，ada,d

…（公差為

；偶數個數成等差，可設為，aaa,d

…（公差為

）6.等數的質（）公差d0數且率為公差且常數項為.

時等差數列的通項公式nd是于的次函n1ndd前和Snadna)是關于n的次函數222（）公差

則為遞增等差數列若差

則為遞減等差數列若差

，則為常數列。（3）當

p

時有

ap

，特別地，當

p

時，則有mn

p

.（）若

{}

、

n

是等差數列，則

{ka}n

、

{}nn

(

k

、

是非零常數){

}(pqN

*

)

,,Snnnn

2

也成等差數列{}

成等比數列

{}是等比數列，且

a0n

，則

{lga}

是等差數列練練差列的前n項和為n和為的前3為。）在差數列

{}

中，當項數為偶數

時，

S偶

奇

；項數為奇數

n

時，數列中0nn56．．7967數列中0nn56．．7967nn515561261678956977811a，S奇偶中

n

（這里a即a:Sk中中奇偶

。練練項數為奇數的等差數列{}，奇數項和為80偶數項和為75，求此數列的n中間項與項.（6）若等差數列{}和分別為nna(2nnnfn.bnbn2練練設{}兩個等差數列，它們的前nn

、n

，且nf(n)，則nB項和分別為和T，若nS3n，那么T43

nn

___________；“首正”的遞減差數列中，

項和的最大值是所有非負項之和”的遞增等差n項的最小值是所有非正項之和一不等式組定出前多少項為非負（或非正二因等差數列前是關于的次數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性

nN

*

。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函數思想此能求一般數列中的最大或最小項嗎？練練等差數列{}中25，S，問此數列前多少項和最大？并求最大n值；例）｛N*）是等差數列S是前n項和，且S＜，＝＞，下列結論錯的是（）d＜0B.a＝0C.＞

S與S均的最大值（2等差數列{}前項為，前2m和為，則它的前3m項為（）C.210D.260解）案C；由得a+a+++a<+…a+a，a>0又，a+…+a=+a+…，，由，a<0，而C選>，+a+a+2+）>0，由題設，<0顯然選是錯誤的。（2答案C(3012解一由題意得方程組(2m100

，視m為已知數，解得

d

4010(m,mm2

，∴

S

3

ma1

3ma10(m3(3m122

。1231231233m21122231231231233m21122233232121n17181920解二設前項和為b，+1到項之和為，2到3m之和為，，b，也等差數列。于是=30，=100，差－30=40∴b=b+d∴前m項和=+b解三取m，則a=，=S－，從而=－。于是=a+d∴+a+a=210。等差課后習一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內。x．若ab,數列,x和數列a,y,y,b都等差數列，則y232ABC1D．43．在等差數列＝1aa＝8則aa41724

20

（）＝（）A40．等差數列

B．45．50D．55為x2，這個數列的通項公式為（）Aann．在等差數列{中an

Ban．2nD．a2nnn0,aa，則在中最大的負數為（）1110A．B．SC．SD．S．已知等差數列的首項為31,若此數列從第開始小于，則此數列的公差的值范圍是A(－∞,－2)B[

1515－C．－+∞)D—77

（）－．在等差數列

{}n

中，若

18,S240,9

n

30

，則值為（）A．18

B17．

C．16D．15．等差數列{a}中，aan2A－20．5B．－．5

50

200,a5152C．－

2700,a等于（）1D．－．已知某數列前

n

項之和

n

3

為，且前

n

個偶數項的和為

n(4n3)

，則前

n

個奇數項的和為

（）A

n

2

n

B

n

2

(4n

C．

2

D．

n

．一個只有有限項的等差數列，它的前5的和為34，最后5項的和為所項的和為，則它的第七項等于

（）A22B．．19D．1810．差數列aa2，若ｍ＞1且0，nmm38則的值是（）2mA10BC．20D．38二、填空題請把答案填在題中橫線上。．已知

{}n

是等差數列，且

aa410

57,a77,若a46則k12在ABC中A，，C成差數列，則

Ctan322

n6nn1314nn6nn1314nn00kk+113在等差數列

{}中，若a120，n48121012

14

n

是等差數列

{}n

的前n項，

2,an

30

≥5

nN

*

)，

n

=336，則n的值是

三、解答題：解答應寫出文字說、證明過程或演算步.15己{}n

為等差數列，

2

，若在每相鄰兩項之間插入三個數，使它和原數列的數構成一個新的等差數列，求：（1數列的第項是新數列的第幾項？（數的第29是原數列的第幾項？16數列，公差為整數的等差數列，且第六項為正，第七項為負。（1求數列公差）前項s的大值）當時求的最大值。17設等差數列{}前ｎ項的和為且=62,S=求n（1）{a}通項公式及前ｎ項的和S；n（2）|+……18已知數列1=3且2an+1=Sn·n(n≥2).（1）求證：{}等數并求公差）{}通公式；（3數{}是否存在自然數k,得當自然數k≥k時不等式對任意大于等于k的然數都成,存在求出最小的k值,否則請說明理由.1dn(11dn(1選擇題：ABCCBDABDA填空題：118；．；．24；14．解答題：15．分析：應找到數列的第項是新數列的第幾項，即找出新、舊數列的對應關系。解：設新數列2,據bbn,有b1n即3=2+4d，∴，b4n4Qa

4

，∴

ann即原數列的第n為新數列的第－3項．當時，4n－－故原數列的第項為新數列的第45項由4n－3=29,n=8，新數列的第29項是原數列的第8項。說明一般地在公差為d的等差數列每相鄰兩項之間插入m個數構成一個新的等差數列則新數列的公差為

m

.

原數列的第項是新數列第－－項．16．解：（1，a0，，67∴23a6（2n