《用樣本估計總體》設計

用樣本估計總體【教學目標】1.會求樣本的平均數(shù)、標準差、方差．2．理解用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征的方法．3．會應用相關知識解決實際統(tǒng)計問題．【教學重點】1.會求樣本的平均數(shù)、標準差、方差2．理解用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征的方法【教學難點】會應用相關知識解決實際統(tǒng)計問題．【課時安排】1課時【教學過程】認知初探1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征一般情況下，如果樣本的容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征．特別地，樣本平均數(shù)(也稱為樣本均值)、方差(也稱為樣本方差)與總體對應的值相差不會太大．大數(shù)定律可以保證，當樣本的容量越來越大時，估計的誤差很小的可能性將越來越大．在估計總體的數(shù)字特征時，只需直接算出樣本對應的數(shù)字特征即可．2．用樣本的分布估計總體的分布如果樣本的容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的分布與總體分布會差不多．特別地，每一組的頻率與總體對應的頻率相差不會太大．同數(shù)字特征的估計一樣，分布的估計一般也有誤差．如果總體在每一個分組的頻率記為π1，π2，…，πn，樣本在每一組對應的頻率記為p1，p2，…，pn，一般來說，eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)[(π1－p1)2＋(π2－p2)2＋…＋(πn－pn)2]不等于零．同樣，大數(shù)定律可以保證，當樣本的容量越來越大時，上式很小的可能性將越來越大．小試牛刀1．如圖是總體密度曲線，下列說法正確的是()A．組距越大，頻率分布折線圖越接近于它B．樣本容量越小，頻率分布折線圖越接近于它C．陰影部分的面積代表總體在(a，b)內取值的百分比D．陰影部分的平均高度代表總體在(a，b)內取值的百分比C[當樣本容量越大，組距越小時，頻率分布折線圖越接近總體密度曲線，但它永遠達不到總體密度曲線．在總體密度曲線中，陰影部分的面積代表總體在(a，b)內取值的百分比．]2．對于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列結論：①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等．其中正確結論的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4A[在這一組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)次數(shù)最多，有6次，故眾數(shù)是3；將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列后，最中間的數(shù)據(jù)是3，故中位數(shù)是3；平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4，故只有①正確．]3.如圖是甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，據(jù)圖可知()A．甲運動員的成績好于乙運動員B．乙運動員的成績好于甲運動員C．甲、乙兩名運動員的成績沒有明顯的差異D．甲運動員的最低得分為0分解析：選A.由莖葉圖可以看出甲的成績都集中在30～50分，且高分較多．而乙的成績只有一個高分52分，其他成績比較低，故甲運動員的成績好于乙運動員的成績．4.為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.40解析：60×＋×10＝24.莖葉圖估計平均數(shù)和方差例1為了快速了解某學校學生體重(單位：kg)的大致情況，隨機抽取了10名學生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示．估計這個學校學生體重的平均數(shù)和方差.【解析】將樣本中的每一個數(shù)都減去50，可得－5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，這組數(shù)的平均數(shù)為eq\f(－5－1－3－1－4－4＋1＋8＋9＋10,10)＝1，方差為eq\f(62＋22＋42＋22＋52＋52＋02＋72＋82＋92,10)＝.因此可估計這個學校學生體重平均數(shù)為51，方差為.方法總結在日常生活中，當面對一組數(shù)據(jù)時，相比每一個觀測值，有時我們更關心的是能反映這組數(shù)據(jù)特征的一些值，例如上述數(shù)據(jù)，我們可以從平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差等角度進行比較.當堂練習1對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試，測得他們每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰的成績比較穩(wěn)定．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94≈，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq\f(1,6)×76≈.所以eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，這說明甲、乙兩運動員的最大速度的平均值相同，但乙的成績比甲的穩(wěn)定，故乙的成績比較穩(wěn)定．分層抽樣估計總體的數(shù)字特征例2.某高校欲了解在校學生用于課外進修(如各種考證輔導班、外語輔導班等)的開支，在全校8000名學生中用分層隨機抽樣抽出了一個200人的樣本，根據(jù)學生科的統(tǒng)計，本科生人數(shù)為全校學生的70%，調查最近一個學期課外進修支出(元)的結果如下：層樣本量樣本均值樣本方差本科140231研究60367試估計全校學生用于課外進修的平均開支和開支的方差．解.把本科生樣本記為x1，x2，…，x140，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把研究生記為y1，y2，…，y60，其平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2.則eq\x\to(x)＝eq\f(1,140)，seq\o\al(2,x)＝eq\f(1,140)－；eq\x\to(y)＝eq\f(1,60)，seq\o\al(2,y)＝eq\f(1,60)－eq\x\to(y)2.所以,＝[140eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\x\to(x)2))+60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2))]總樣本平均數(shù)為：eq\x\to(z)＝eq\f(140,200)×＋eq\f(60,200)×＝(元)總樣本方差為：s2＝－eq\o(z,\s\up6(－))2＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\o(x,\s\up6(－))2))＋60\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2))))－eq\o(z,\s\up6(－))2.＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140231＋＋60367＋))－＝1.由于分層隨機抽樣是按比例分配的，所以可以估計全校學生用于課外進修的平均開支為元，開支的方差為1.方法總結假設第一層有個數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為；第二層有個數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為，則如果記樣本均值為，樣本方差為，則可以計算出當堂練習2在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標準差分別為和，觀眾代表打分的平均數(shù)和標準差為和，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和標準差．解把專業(yè)人士打分樣本記為x1，x2，…，x8，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把觀眾代表打分樣本記為y1，y2，…，y12，其平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2.[則總樣本平均數(shù)為：eq\x\to(z)＝eq\f(8,20)×＋eq\f(12,20)×＝(分)，總樣本方差為：s2＝eq\f(1,20)[(xi－eq\x\to(z))2＋(yj－eq\x\to(z))2]＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－\x\to(z)))2))＋12[s\o\al(2,y)＋\x\to(y)－\x\to(z)2]))＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8[＋－2]＋12[＋－2]))＝，總樣本標準差s≈.所以計算這名選手得分的平均數(shù)為分，標準差約為.頻率分布直方圖總體的.估計數(shù)字特征例3.我們是世界上嚴重缺水的國家之一，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對家庭用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100個家庭的月均用水量（單位，t）,將數(shù)據(jù)按照分層5組，支撐了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的a的值；（2）設該市有10萬個家庭，估計全市月均用水量不低于3t的家庭數(shù)；（3）假設同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，估計全市家庭月均用水量的平均數(shù).解：（1）因為頻率分布直方圖所有矩形的面積之和為1，所以 解得：（2）抽取的樣本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例為因此估計全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也為30%，所求家庭數(shù)位100000.（3）因為因此估計全市家庭月均用水量的平均數(shù)位.方法總結1．利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點；(2)中位數(shù)左右兩側直方圖的面積相等；(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．當堂練習3某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學成績的中位數(shù)(3)求這次測試數(shù)學成績的平均分．(4)試估計80分以上的學生人數(shù)．解(1)由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由圖知，設中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為，第四個矩形面積為,＋＞，因此中位數(shù)位于第四個矩形內，得＝(x－70)，所以x≈.(3)由圖知這次數(shù)學成績的平均分為：eq\f(40＋50,2)××10＋eq\f(50＋60,2)××10＋eq\f(60＋70,2)××10＋eq\f(70＋80,2)××10＋eq\f(80＋90,2)××10＋eq\f(90＋100,2)××10＝72.(4)[80,90)分的頻率為：×10＝，頻數(shù)為：×80＝20.[90,100]分的頻率為：×10＝，頻數(shù)為：×80＝4.所以估計80分以上的學生人