向量平行的坐標表示【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號：008課題:§向量平行的坐標表示目標要求1、理解并掌握向量平行的坐標表示及相關(guān)結(jié)論．2、理解并掌握向量平行的坐標表示及應(yīng)用．3、理解并掌握向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．4、理解并掌握向量平行與垂直綜合問題.學(xué)科素養(yǎng)目標向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量平行的坐標表示及應(yīng)用；難點：向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點向量平行的坐標表示(1)坐標表示條件,其中結(jié)論向量()平行的充要條件是_______(2)本質(zhì):平面向量平行的坐標表示反映的是平行向量坐標之間的關(guān)系,定量描述了共線向量之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①已知兩個向量的坐標判定兩向量共線;②已知兩個向量共線,求點或向量的坐標.【思考】若,且,則向量共線時,它們的坐標之間的關(guān)系如何用比例形式表示?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.已知向量,則.B.已知,其中,且,則.C.已知A(-6,10),B(0,2),則線段AB的中點坐標為(-3,6).D.若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ>0,則兩向量的夾角θ一定是銳角.題2.已知向量,且,則x= () 題3.已知A(1,2),B(4,5),若,則點P的坐標為________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量平行的坐標表示及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】題4.下列四組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.題5.已知平面向量,若,則tanθ= ()A.B.C.D.題6.已知向量,若，則λ=________.【解題策略】1.向量共線的判定方法2.利用向量共線求參數(shù)值的方法【跟蹤訓(xùn)練】題7.已知兩點A(4,1),B(7,-3),則與向量共線的單位向量是 ()A.(3,-4) B.C.(-6,8) D.類型二向量平行在平面幾何中的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)角度1三點共線問題【典例】題8.已知O為坐標原點,.(1)若A,B,C三點共線,求a,b的關(guān)系.(2)若,求點C的坐標.【變式探究】題9.已知向量,求當k為何值時,A,B,C三點共線.角度2求點的坐標【典例】題10.如圖所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),，AD與BC相交于點M,求點M的坐標.【解題策略】應(yīng)用向量共線的坐標表示求解幾何問題的步驟【題組訓(xùn)練】題11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三點在一條直線上,則C點的坐標不可能是()A.(-9,6) B.(-1,-2)C.(-7,-2) D.(6,-9)題12.設(shè).(1)當m=8時,將用和表示;(2)若A,B,C三點能構(gòu)成三角形,求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件.【拓展延伸】題13.如圖所示,若點P是線段上不同于的點,且滿足,即，證明點P的坐標為.【拓展訓(xùn)練】題14.已知A(2,1),B(3,-1),點P(x,y)在直線AB上,且滿足4x-y-5=0,求P點分的比λ.【補償訓(xùn)練】題15.如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點P的坐標.課堂檢測·素養(yǎng)達標題16.下列各組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.題17.已知向量,且,則m等于 ()或3或-2題18.已知點A(-1,-5)和向量,若,則點B的坐標為________.題19.向量與共線且方向相同,則n=________.題21.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且與共線,求非零實數(shù)m的值.【補償訓(xùn)練】題22.已知,當k為何值時,與平行?平行時它們是同向還是反向?編號：008課題:§向量平行的坐標表示目標要求1、理解并掌握向量平行的坐標表示及相關(guān)結(jié)論．2、理解并掌握向量平行的坐標表示及應(yīng)用．3、理解并掌握向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．4、理解并掌握向量平行與垂直綜合問題.學(xué)科素養(yǎng)目標向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量平行的坐標表示及應(yīng)用；難點：向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點向量平行的坐標表示(1)坐標表示條件,其中結(jié)論向量()平行的充要條件是___0____(2)本質(zhì):平面向量平行的坐標表示反映的是平行向量坐標之間的關(guān)系,定量描述了共線向量之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①已知兩個向量的坐標判定兩向量共線;②已知兩個向量共線,求點或向量的坐標.【思考】若,且,則向量共線時,它們的坐標之間的關(guān)系如何用比例形式表示?提示:可以表示為【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.已知向量,則.B.已知,其中,且,則.C.已知A(-6,10),B(0,2),則線段AB的中點坐標為(-3,6).D.若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ>0,則兩向量的夾角θ一定是銳角.【答案】選AC提示:A√.因為b=(1,-2),所以-2b=-2(1,-2)=(-2,4)=a.B×.平面向量共線的坐標表示的特點是兩個向量的坐標“縱橫交錯積相減”.C√.由中點坐標公式可知線段AB的中點坐標為，即(-3,6).D×.當兩個向量方向相同時,它們的夾角θ=0°滿足cosθ=1>0.題2.已知向量,且,則x= () 【解析】選B.因為,所以4×3-2x=0,解得x=6.題3.已知A(1,2),B(4,5),若,則點P的坐標為________.【解析】設(shè)P(x,y),則,又，所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),即解得所以點P的坐標為(3,4).答案:(3,4)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量平行的坐標表示及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】題4.下列四組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.【思路導(dǎo)引】可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的兩個向量必是不共線的,由此關(guān)系對四個選項作出判斷,得出正確選項.【解析】選B.對于A,因為1×(-4)-2×(-2)=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對于B,因為3×3-4×4=-7≠0,所以可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對于C,因為2×1-(-1)×(-2)=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對于D,因為3×10-5×6=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底.題5.已知平面向量,若,則tanθ= ()A.B.C.D.【思路導(dǎo)引】利用向量共線的充要條件列出等量關(guān)系,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求值.

【解析】選A.因為平面向量,，所以

2021sinθ-2020cosθ=0,所以，所以.

題6.已知向量,若，則λ=________.【思路導(dǎo)引】利用向量共線的充要條件列出關(guān)于λ的方程,求λ.

【解析】,因為，所以(λ+1)(λ-2)-(λ+2)(1-λ)=0,解得λ=±.答案:【解題策略】1.向量共線的判定方法2.利用向量共線求參數(shù)值的方法【跟蹤訓(xùn)練】題7.已知兩點A(4,1),B(7,-3),則與向量共線的單位向量是 ()A.(3,-4) B.C.(-6,8) D.【解析】選B.因為(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共線的條件可知,A,B,C選項中的向量均與共線,但A,C中向量不是單位向量,所以B選項正確.類型二向量平行在平面幾何中的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)角度1三點共線問題【典例】題8.已知O為坐標原點,.(1)若A,B,C三點共線,求a,b的關(guān)系.(2)若,求點C的坐標.【思路導(dǎo)引】(1)由題意利用兩個向量共線的性質(zhì),兩個向量坐標形式的運算法則,求得a,b的關(guān)系.(2)由題意利用兩個向量坐標形式的運算法則,求出點C的坐標.【解析】(1)因為已知,若A,B,C三點共線,則,即,即(a-1,b-1)=λ(2,-2),所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.(2)若,所以a=5,b=-3,所以點C的坐標為(5,-3).【變式探究】題9.已知向量,求當k為何值時,A,B,C三點共線.【解析】方法一:因為A,B,C三點共線,即與共線,所以存在實數(shù)λ(λ∈),使得.因為,所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即解得k=-2或k=11.所以當k=-2或k=11時,A,B,C三點共線.方法二:由已知得與共線,因為,所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以當k=-2或k=11時,A,B,C三點共線.角度2求點的坐標【典例】題10.如圖所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),，AD與BC相交于點M,求點M的坐標.【思路導(dǎo)引】利用和列方程組求點M的坐標.【解析】因為，所以.因為，所以.設(shè)M(x,y),則,因為，所以,即7x+4y=20①.又，因為，所以，即7x-16y=-20②,聯(lián)立①②解得x=,y=2,故點M的坐標為.【解題策略】應(yīng)用向量共線的坐標表示求解幾何問題的步驟【題組訓(xùn)練】題11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三點在一條直線上,則C點的坐標不可能是()A.(-9,6) B.(-1,-2)C.(-7,-2) D.(6,-9)【解析】選C.設(shè)C(x,y),則.因為A,B,C三點在同一條直線上,所以，即x+y+3=0,將四個選項分別代入x+y+3=0驗證可知,不可能的是C.題12.設(shè).(1)當m=8時,將用和表示;(2)若A,B,C三點能構(gòu)成三角形,求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件.【解析】(1)當m=8時,,設(shè),則x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x)=(8,3),所以所以所以.(2)因為A,B,C三點能構(gòu)成三角形,所以不共線,又,所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.【拓展延伸】題13.如圖所示,若點P是線段上不同于的點,且滿足,即，證明點P的坐標為.【證明】設(shè)點P(x,y),由,得，即又λ∈(0,+∞),所以.則點P的坐標為.特別地,當λ=1時,點P的坐標為，這就是線段的中點坐標公式.【拓展訓(xùn)練】題14.已知A(2,1),B(3,-1),點P(x,y)在直線AB上,且滿足4x-y-5=0,求P點分的比λ.【解析】由及定比分點坐標公式得:，又因為P點滿足4x-y-5=0,所以，所以.【補償訓(xùn)練】題15.如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點P的坐標.【解析】方法一:設(shè),則,.由共線知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得.所以(4t,4t)=(3,3).所以P點坐標為(3,3).方法二:設(shè)P(x,y),則.因為共線,所以4x-4y=0.①又,且向量共線,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解①②組成的方程組,得x=3,y=3,所以點P的坐標為(3,3).課堂檢測·素養(yǎng)達標題16.下列各組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.【解析】選中,與共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;C中與共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;D中與共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底.題17.已知向量,且,則m等于 ()或3或-2【解析】選C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.題18.已知點A(-1,-5)和向量,若,則點B的坐標為________.【解析】設(shè)O為坐標原點,因為,故,故點B的坐標為(5,4).答案:(5,4)題19.向量與共線且方向相同,則n=________.【解析】因為,所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又與方向相同,所以n=2.答案:2題20.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且與共線