立體幾何解答題精選(精較版)

立體幾何解答題1.（2014天津理 17）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PA 底面ABCD，AD AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn). P（1）證明 ：BE DC；E（2）求直線 BE與平面PBD所成角的正弦值；D（3）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足 BF AC，求二面角F- AB-P的余弦值.

A

CB2.（2014浙江理 20）如圖，在四棱錐 A BCDE中，平面 ABC 平面BCDE， CDE BED 90，AB CD 2,DE BE 1,AC 2. A（1）證明：DE 平面ACD;求二面角B AD E的大小.D CE B3.（2015山東理17）如圖所示，三棱臺 DEF ABC中，AB 2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn).（1）求證： BD∥平面FGH；（2）若CF 平面ABC，AB BC，CF DE，BAC 45，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大小 .DFECAGHB4.（2015浙江理17）如圖所示，在三棱柱ABCABC中，BAC90，ABAC2，AA4，A在底11111面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn).11（1）證明：AD平面ABC；11（2）求二面角A1BDB1的平面角的余弦值.5.（2015重慶理19）如圖所示，在三棱錐PABC中，PC平面PABC,PC3，ACBπ.D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，2且CDDE2，CE2EB2.（1）證明：DE平面PCD；（2）求二面角APDC的余弦值.CEBAD6.（2016北京理17）如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD5.P（1）求證：PD平面PAB；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；DA3AM的值；若不B（）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM//平面PCD?若存在，求APC存在，說明理由 .7.（2017全國 3卷理科 19）如圖所示，四面體 ABCD中，△ABC是正三角形， △ACD是直角三角形，ABD CBD，AB BD．（1）求證：平面 ACD 平面ABC；（2）過AC的平面交 BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角 D–AE–C的余弦值．（天津理）如圖所示，在三棱錐PABC中，底面ABC，BAC90點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，8.201717.PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PAAC4，AB2.（）求證：MN//平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；1237，求線（）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為21段AH的長.

PDEMAB N C9．（2018新課標(biāo)1）（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF．1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．10（2018新課標(biāo)2）．（12分）如圖，在三棱錐 P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．1）證明：PO⊥平面ABC；2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．11（2018新課標(biāo)3）．（12分）如圖，邊長為 2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧 所在平面垂直，M是 上異于C，D的點(diǎn)．1）證明：平面AMD⊥平面BMC；2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．參考答案1.（1）證明：如圖，取 中點(diǎn) ，連接 ， .由于分別為的中點(diǎn)，故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)镻A底面，故PACD，而CDDA，從而CD平面，因?yàn)锳M平面，于是CD，又，所以BECD.(2)連接，由（Ⅰ）有CD平面，得CDPD，而，故PDEM.又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，故PDAM，可得PDBE，所以PD平面，故平面BEM平面.所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，而BEEM，可得EBM為銳角，故EBM為直線與平面所成的角。依題意，有，而為中點(diǎn)，可得，進(jìn)而.故在直角三角形中，tanEBMEMAB13.BEBE，因此sinEMB23所以，直線與平面所成角的正弦值為.（方法二 向量法）()(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得B1,0,0，C，D，P.由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1).（Ⅰ）證明：向量BE=(0,1,1)，DC=(2,0,0)，故BE DC 0. 所以，BE DC.BD=(-1,2,0)PB=()（Ⅱ）解：向量，1,0,-2.n=()PBDnBD0x2y0設(shè)x,y,z為平面的法向量，則即()nPB0x2z0y=1n=PBD不妨令，可得2,1,1為平面的一個法向量.于是有cosn,BEnBE23.nBE623所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為3.()()3()()BC=CP=-2,-2,2AC=2,2,0AB=（Ⅲ）解：向量1,2,0，，，1,0,0.由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)CF=lCP，0＃l1.)BF=BC+CF=BC+lCP=(2l,2-2l,2l故1-.由BF^AC，得BF?AC0，因此，21-2l+22-2l=0，解得3113..即()()l=4BF,,222設(shè)n1=(x,y,z)為平面FAB的法向量，則n1AB0x0即113n1BF02xyz0=(0,-3,1)為平面FAB的一個法向量.22不妨令z=1，可得n1取平面ABP的法向量n2=(0,1,0)，則cosn,n=n1×=-3=-310.n212×10′10n1n1易知，二面角F-AB-P是銳角，所以其余弦值為310.102.（I）在直角梯形 BCDE中，由DE BE 1，CD 2得，BDBC2，由AC2,AB2，則AB2AC2BC2，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，從而AC平面BCDE，所以ACDE，又DEDC，從而DE平面ACD；（II）方法一：作BFAD，與AD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FGDE，與AE交于點(diǎn)G，連結(jié)BG，由（I）知，DEAD，則FGAD，，所以BFG是二面角BADE的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2BD2BC2，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，從而，BDAB，由于AC平面BCDE，得：ACCD，在RtACD4中，由CD2，AC2，得AD6，AFDCGEB23在RtAED中，DE1，6，得AE7，在RtABD中，2，AB2，，得BF3AF2AD，從而GF2，在ABE,ABG中，利用余弦定理分別可得cosBAE57,BG2，在BFG33143中，cosBFGGF2BF2BG23，所以BFG，即二面角BADE的大小是．2BFGF266方法二：以D為原點(diǎn)，分別以射線DE,DC為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖所示，由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：D0,0,0,E1,0,0,C0,2,0,A0,2,2,B1,1,0，設(shè)平面ADE的法向量為mx1,y1,z1，平面ABD的法向量為nx2,y2,z2，可算得AD0,2,2，DB1,1,0,AE1,2,2，由mAD002y12z100,1,2，由nAD0得，，可取mmAE0x12y12z10nBD0得，02y22z20，可取n1,1,2，于是cosm,nmn3，由題意可知，所求二面角是銳角，y2mnx202故二面角BADE的大小是．6ZADCYE Bx3.解析（1）證法一：連接DG，CD，設(shè)CDGFO，連接OH．在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF//GC，DFGC，F(xiàn)所以四邊形DFCG為平行四邊形，D則O為CD的中點(diǎn)．EO又H為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)H//BD．C又OH平面FGH，BD平面FGH，AGH所以BD//平面FGH．B證法二：在三棱臺

DEF

ABC

中，由

BC

2EF

，H

為

BC

的中點(diǎn)，可得

BH//EF，

BH

EF，所以四邊形

BHFE為平行四邊形，可得

BE//HF

．在△ABC中，

G

為

AC

的中點(diǎn)，

H

為

BC的中點(diǎn)，所以

GH//AB．又

GH

HF

H

，所以平面

FGH//

平面

ABED．因?yàn)?/p>

BD

平面

ABED，所以

BD//平面

FGH．（2）解法一：設(shè)

AB

2，則

CF

1．在三棱臺

DEF

ABC

中，G

為AC的中點(diǎn)，由DF1ACGC，可得四邊形DGCF為平行四邊形，因此DG//FC．2又FC平面ABC，所以DG平面ABC．在△ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中點(diǎn)，所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD兩兩垂直．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz，所以G0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，D0,0,1，可得H2,2,0，F(xiàn)0,2,1，22z2,2,0F故GH，GF0,2,1．D22E設(shè)nx,y,z是平面FGH的一個法向量，xy0CynGH0AG則由，可得z，HnGF02y0B解得平面FGH的一個法向量nx1,1,2．因?yàn)镚B是平面ACFD的一個法向量，GB2,0,0，所以cosGB,nGBn21GBn22．2所以平面FGH與平面ACFD所成（銳角）的大小為60．解法二：作HMAC于點(diǎn)M，作MNCF于點(diǎn)N，連接NH．由FC平面ABC，得HMFC．DFC，所以HM又FCAC平面ACFD，E因此GFNH，所以MNH即為所求的角．NM1BG2C在△BGC中，MH//BG，MH，AG22H由△GNM∽△GCF，可得MNGM，BFCGF6平面ACFD，MN平面ACFD，從而MN．由HM6得HMMN，因此tanMNHHM3，所以MNH60，MN所以平面FGH與平面ACFD所成（銳角）的大小為60．4.解析（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接AE，則A1E平面ABC，所以AEAE.11又AE//AD1，所以AE1AD1．又AB11AC11,所以AD1BC11.而BC11//BC,所以ADBC.又BCAEE，所以AD平面A1BC．111（2）解法一：作A1FBD，垂足為F，連接B1F，如圖（1）所示則AEEB2，A1BA1A4．AEB90.1所以ADDB,ABBB，所以△ABD≌△BBD111111.由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1即為二面角A1BDB1的平面角．又DAB90，所以BD32，所以A1FB1F4.13在△AFB中，由余弦定理得，cosA1FB11．118解法二（向量法）：以CB的中點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EAEB,,EA1為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，如圖（2）所示．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A1(0,0,14)，B(0,2,0)，D(2,0,14)，B1(2,2,14)．因此A1B(0,2,14)，BD(2,2,14)，DB1(0,2,0)．設(shè)平面A1BD的法向量為m(x1,y1,z1)，平面B1BD的法向量為n(x2,y2,z2)．由mA1B0,即2y114z10，可取m(0,7,1)．mBD0,2x12y114z10由nDB10,即2y20，可取n(7,0,1)．nBD0,2x22y214z20于是cosm,nmn1．由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，mn8故二面角A1BDB1的平面角的余弦值為1．8zC1DC1A1B1A1DFB1FCEACEBxAyB圖（1）圖（2）5.解析 （1）證明：因?yàn)?PC 平面ABC，DE 平面ABC，所以PC DE.由CE2，CDDE2得△CDE為等腰直角三角形，故CDDE．又PCCDC，且PC,CD平面PCD，故DE平面PCD．（2）由（1）知，△CDE為等腰直角三角形，DCE4，如圖所示，過點(diǎn)D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又EB，故FB2．由ACBDFFB212，得DF//AC，ACBC3，故AC3DF3．以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，22分別以CA，CB，CP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，C0,0,0，P0,0,3，A3,0,0，2E0,2,0，D1,1,0，ED1,1,0，，1，1,02.設(shè)平面PAD的法向量為n1x1,y1,z1，z0，n1DA0，P則n1DPx1y13z10，令x12，即1y10x1CFE2y1,z1，故可取1ADBy2,1,1．則x由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取為ED，即n21,1,0.則cosn1,n2n1n23，又二面角A﹣PD﹣C為銳二面角，n1n26所以二面角A﹣PD﹣C的余弦值為3．66.解析（1）如題中的圖所示，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD,ABAD，得AB平面PAD，所以PDAB.又因?yàn)镻DPA,PA平面PAB，AB平面PAB，ABPAA，所以PD平面PAB.PNAMDBC2）如圖所示，設(shè)棱AD的中點(diǎn)是O，由題設(shè)可得直線OC,OA,OP兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.可得O(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，所以PC(2,0,1),DP(0,1,1)，PB(1,1,1).設(shè)平面PCD的一個法向量是n(x,y,z)，得nPC2xz0，所以可得n(1,2,2).nDPyz0設(shè)直線PB與平面PCD所成角的大小為，nPB11212(1)33，可得sin2nPB12(2)222121213333即直線PB與平面PCD所成角的正弦值是.3（3）設(shè)棱PA上存在點(diǎn)M(x,y,z)，使得BM平面PCD，并設(shè)AM(0剟1)，得AMAP，AP即(x,y1,z)(0,1,1)，即(x,y,z)(0,1,).得M(0,1,),BM(1,,).由BM平面PCD，平面PCD的一個法向量是n(1,2,2)，得nBM(1,2,2)(1,,)1220，解得1平面PCD，所以BM平面PCD..又BM4即在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM平面PCD，且AM1.AP4zPMD

AO yBCx7．解析 ⑴如圖所示，取 AC的中點(diǎn)為O，聯(lián)結(jié)BO，DO.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以 BO AC，AB BC.AB BC由 BD BD ，得△ABD △CBD，所以AD CD，即△ACD為等腰直角三角形，ABD DBC從而 ADC為直角.又O為底邊AC中點(diǎn)，所以 DO AC.令A(yù)Ba，則ABACBCBDa，易得ODa，OB3a，22222DOB，即ODOB.所以O(shè)DOBBD，從而由勾股定理的逆定理可得2OD ACOD OB由 AC OB O ，所以O(shè)D 平面ABC.AC 平面ABCOB 平面ABC又因?yàn)镺D平面ADC，由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC.DCEOBA⑵由題意可知VDACEVBACE，即B，D到平面ACE的距離相等，即點(diǎn)E為BD的中點(diǎn).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，OD為z軸正方向，設(shè)ACa，建立空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，Aa,0,0，D0,0,a，B0,3a,0，E0,3a,a，22244易得AEa,3a,a，ADa,0,a，OAa,0,0.244222設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，平面AEC的法向量為n2=x2,y2,z2，AEDAEn103,1,3；AEn20，取n20,1,3.則n1，取n1OAn20AD0設(shè)二面角DAEC為，易知為銳角，則cosn1n27.n1n27zDCEOByAx8.解析 如圖所示，以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB,AC,AP 為基底，建立如圖所示的z空間直角坐標(biāo)系，依題意可得 A(0，0，0)， B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，PD(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)， N(1，2，0)．DEMB A Cx N y（1）證明：DE 0,2,0，DB 2,0,2.設(shè)n (x,y,z)為平面BDE的一個法向量，nDE 0則 ，即nDB 0

2y 0，不妨設(shè)z1，可得n (1,0,1) .2x 2z 0又MN1,2,1，可得MNn0，因?yàn)镸N平面BDE，所以MN//平面BDE．（2）易知n1(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)n2(x,y,z)為平面EMN的一個法向量，則n2EM0，因?yàn)閚2MN0EM(0,2,1)，MN(1,2,1)，所以2yz0x2y.z0不妨設(shè)y1，可得n2(4,1,2).因此有cosn1,n2n1n24n1,n215|n1||n2|，于是sin.2121所以二面角CEMN的正弦值為15.21（3）依題意，設(shè)AHh0剟h4，則H（0，0，h），進(jìn)而可得NH(1,2,h)，BE(2,2,2).由已知得|NHBE||2h2|7cosNH,BEh252321|NH||BE|

，整理得10h2 21h 8 0，解得h8或h1.所以線段AH的長為8或1.52529.【解答】（1）證明：由題意，點(diǎn) E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，則 ， ，由于四邊形ABCD為正方形，所以 EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF=F，則BF⊥平面PEF．又因?yàn)锽F?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．2）在平面DEF中，過P作PH⊥EF于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)DH，由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH⊥EF，則PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．在三棱錐P﹣DEF中，可以利用等體積法求 PH，因?yàn)镈E∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因?yàn)椤鱌DF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，則PF⊥平面PDE，=，故VF﹣PDE因?yàn)锽F∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．設(shè)正方形邊長為在△PDE中，

2a，則，

PD=2a，DE=a所以

，故VF﹣PDE=

，又因?yàn)?/p>

，所以

PH=

=

，所以在△PHD中，sin∠PDH= = ，即∠PDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為： ．10