第7章-慣性矩與慣性積

1質(zhì)心：物體總質(zhì)量集中于一點(diǎn)。重心：物體的重力的合力作用點(diǎn)。建筑力學(xué)7.1靜矩和形心形心：截面圖形的幾何中心。質(zhì)心是針對(duì)實(shí)物體而言的，而形心是針對(duì)抽象幾何體而言的，對(duì)于密度均勻的實(shí)物體，質(zhì)心和形心重合。靜矩：面積對(duì)某軸的一次矩。一般用S來(lái)表示。

（10-1）（10-2）2建筑力學(xué)

從上式可以看出來(lái)，(1)靜矩為代數(shù)值，靜矩的單位是m3、mm3。(2)平面圖形的面積A與其形心到某一坐標(biāo)軸的距離的乘積稱為平面圖形對(duì)該軸的靜矩。(3)不同截面對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩不同；同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的靜矩也不同。(4)若圖形對(duì)某一軸的靜距等于零，則該軸必然通過(guò)圖形的形心；若某一軸通過(guò)圖形的形心，則圖形對(duì)該軸的靜距必然等于零。ydACxOyyCxxC3建筑力學(xué)

組合圖形的靜矩和形心截面對(duì)某一軸的靜距等于其組成部分對(duì)同一軸的靜距之和。設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為A1、A2、A3…An，的簡(jiǎn)單圖形組成，且各圖形的形心坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)…(xn，yn)，則圖形對(duì)x軸和y軸的靜矩為：截面圖形的形心坐標(biāo)為：4[例]截面圖形如圖所示，試計(jì)算該截面圖形形心位置和對(duì)y軸的靜矩。解：將該截面看成由矩形①和矩形②組成，每個(gè)矩形的面積和形心坐標(biāo)分別為：矩形①：A1=1250mm2，y1=5mm，矩形②：A2=700mm2，y2=45mm，①②單位：mmz1=62.5mmz2=5mm截面對(duì)y軸的靜矩為：或5建筑力學(xué)7.2

慣性矩和慣性積慣性矩：面積對(duì)某軸的二次矩。慣性積：面積與其到x軸、y軸距離的乘積稱為該面積對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積。慣性半徑(工程中表示慣性矩的方法)：極慣性矩：平面內(nèi)任意面積dA與其到坐標(biāo)原點(diǎn)距離平方的乘積。6

當(dāng)截面由n個(gè)簡(jiǎn)單圖形組合而成時(shí)，截面對(duì)于某根軸的慣性矩等于這些簡(jiǎn)單圖形對(duì)于該軸的慣性矩之和。即:建筑力學(xué)

組合截面的慣性矩和慣性積7建筑力學(xué)[例]求圖示截面對(duì)x軸的慣性矩。解：圖示截面看成是矩形截面在左右各方，挖去兩個(gè)半圓構(gòu)成，因此，圖示截面對(duì)x軸的慣性矩等于矩形對(duì)x軸的慣性矩減去兩個(gè)半圓的慣性矩，即：x200mm200mmR80mm8建筑力學(xué)7.3

平移軸公式

上式說(shuō)明，截面圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)其平行的形心軸的慣性矩加上兩軸間距離的平方與圖形面積之積；而截面圖形對(duì)于任意一對(duì)互相垂直軸的慣性積，等于圖形對(duì)于與其平行的一對(duì)形心軸的慣性積加上圖形形心坐標(biāo)與其面積之積。9試計(jì)算截面對(duì)水平形心軸yc的慣性矩。[例]①②單位：mmC解：已算出該截面形心C的坐標(biāo)為：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面對(duì)軸yc的慣性矩應(yīng)等于矩形①對(duì)軸yc的慣性矩加上矩形②對(duì)yc軸的慣性矩。即：矩形①對(duì)yc軸的慣性矩為：矩形②對(duì)yc軸的慣性矩為：所以可得：10試計(jì)算截面對(duì)水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積。[例]解：已算出該截面形心C的坐標(biāo)為：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面對(duì)水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積應(yīng)等于矩形①對(duì)水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積加上矩形②對(duì)水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積。即：①②單位：mmC矩形①對(duì)yc和zc軸的慣性積為：矩形②對(duì)yc和zc軸的慣性積為：所以可得：11建筑力學(xué)7.4

主慣性軸和主慣性矩上式為計(jì)算慣性矩及慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。

若Iy1z1=0，則坐標(biāo)軸y1和z1軸稱為截面的主慣性軸；Iy1與Iz1稱為主慣性矩。當(dāng)主慣性軸y1和z1通過(guò)形心時(shí)，則為形心主軸，截面對(duì)形心主軸的慣性矩稱為形心主矩。12建筑力學(xué)主慣性矩Iyp與Izp的計(jì)算公式為：形心主慣性軸和形心主慣性矩的計(jì)算步驟：(1)確定組合截面形心的位置；(2)計(jì)算通過(guò)截面形心的一對(duì)坐標(biāo)軸yc與zc的慣性矩Iyc

、

Izc和慣性積Iyczc

；(3)通過(guò)轉(zhuǎn)軸公式確定形心主慣性軸的方位角α，并計(jì)算形心主慣性矩Iyp和Izp

。13試確定截面形心主軸的位置以及計(jì)算截面的形心主矩。[例