2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理）試題（江蘇卷）

2013年高考數(shù)學(xué)試題（江蘇卷）參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…，xn的方差，其中棱錐的體積公式：，其中S是錐體的底面積，h為高。棱柱的體積公式：V=Sh,其中S是柱體的底面積，h為高。數(shù)學(xué)I（必做題）一、填空題。本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分。1．函數(shù)的最小正周期為．【答案】π【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性【解析】T＝|eq\f(2π,ω)|＝|eq\f(2π,2)|＝π．2．設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝32+3．雙曲線的兩條漸近線的方程為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)【解析】令：，得．4．集合共有個(gè)子集．【答案】8YNYN輸出n開始結(jié)束（第5題）【解析】23＝8．5．右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的的值是．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】算法的基本概念及流程圖的運(yùn)算法則【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)員的5此訓(xùn)練成績（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較小）的那位運(yùn)動(dòng)員成績的方差為．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)的基本概念及平均數(shù)、方差的計(jì)算【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：．方差為：．7．現(xiàn)在某類病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】古典概型的相關(guān)知識(shí)【解析】m取到奇數(shù)的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數(shù)的有1，3，5，7，9共5種情況，則都取到奇數(shù)的概率為．8．如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則．【答案】1：24【知識(shí)點(diǎn)】多面體的體積【解析】三棱錐與三棱錐的相似比為1：2，故體積之比為1：8。又因三棱錐與三棱柱的體積之比為1：3．所以，三棱錐與三棱柱的體積之比為1：24．9．拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)?包含三角形內(nèi)部和邊界)．若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】[—2，eq\f(1,2)]【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；線性規(guī)劃【解析】拋物線在處的切線易得為y＝2x—1，令z＝，y＝—eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)．畫出可行域如下，易得過點(diǎn)(0，—1)時(shí)，zmin＝—2，過點(diǎn)(eq\f(1,2)，0)時(shí)，zmax＝eq\f(1,2)．yyxOy＝2x—1y＝—eq\f(1,2)x10．設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，，，若（為實(shí)數(shù)），則的值為．【答案】eq\f(1,2)【知識(shí)點(diǎn)】向量的基本定理；向量的運(yùn)算【解析】所以，，，eq\f(1,2)．11．已知是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法【解析】做出()的圖像，如下圖所示。由于是定義在上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱做出x＜0的圖像。不等式，表示函數(shù)y＝的圖像在y＝x的上方，觀察圖像易得：解集為(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。xxyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)12．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為．yxlyxlBFOcba【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的基本概念及性質(zhì)【解析】如圖，l：x＝，＝－c＝，由等面積得：＝。若，則＝，整理得：，兩邊同除以：，得：，解之得：＝，所以，離心率為：．13．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，是函數(shù)（）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)之間的最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為．【答案】1，【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)；基本不等式【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則|PA|2＝.令，則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．結(jié)合題意可知：(1)當(dāng)a≤2，t＝2時(shí)，|PA|2取得最小值．此時(shí)(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．(2)當(dāng)a＞2，t＝a時(shí)，|PA|2取得最小值．此時(shí)a2－2＝8，解得a＝，a＝(舍去)．故滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為，－1.14．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為．【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的基本性質(zhì)【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為a1，公比為q，則：，得：a1＝eq\f(1,32)，q＝2，an＝26－n．記，．，則，化簡得：，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)n＝12時(shí)，，當(dāng)n＝13時(shí)，，故nmax＝12．二、解答題。本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分14分）已知，．（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求的值．【答案】（1）見解析（2）α＝，β＝【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的加法、減法、數(shù)量積運(yùn)算；三角函數(shù)的基本關(guān)系【解析】（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．所以，α－β＝，α＝＋β，帶入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋eq\f(1,2)sinβ＝sin(＋β)＝1，所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．16．（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．求證：（1）平面平面；（2）．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】直線與直線；直線與平面；平面與平面的位置關(guān)系【解析】證明：（1）因?yàn)镾A＝AB且AF⊥SB，所以F為SB的中點(diǎn)．又E，G分別為SA，SC的中點(diǎn)，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面．（2）因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，．xyAlO17．（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在上．xyAlO（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的方程；兩直線交點(diǎn)和直線與直線；直線與圓；圓與圓的位置關(guān)系【解析】（1）聯(lián)立：，得圓心為：C(3，2)．設(shè)切線為：，d＝，得：．故所求切線為：或（2）設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由，知：，化簡得：，即：點(diǎn)M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D．又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤eq\f(12,5)．18．（本小題滿分16分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，．（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）1040m(2)eq\f(35,37)(3)[eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)]【知識(shí)點(diǎn)】正弦、余弦定理；二次函數(shù)的最值；兩角和的正弦公式；不等式的解法CBADMN【解析】（1）如圖作BDCBADMN設(shè)BD＝20k，則DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點(diǎn)M，此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn)，如圖所示．則：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，當(dāng)x＝eq\f(35,37)(min)時(shí)，MN最小，此時(shí)乙在纜車上與甲的距離最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用時(shí)：eq\f(1260,50)＝eq\f(126,5)(min)．若甲等乙3分鐘，則乙到C用時(shí)：eq\f(126,5)＋3＝eq\f(141,5)(min)，在BC上用時(shí)：eq\f(86,5)(min)．此時(shí)乙的速度最小，且為：500÷eq\f(86,5)＝eq\f(1250,43)m/min．若乙等甲3分鐘，則乙到C用時(shí)：eq\f(126,5)－3＝eq\f(111,5)(min)，在BC上用時(shí)：eq\f(56,5)(min)．此時(shí)乙的速度最大，且為：500÷eq\f(56,5)＝eq\f(625,14)m/min．故乙步行的速度應(yīng)控制在[eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)]范圍內(nèi)．19．（本小題滿分16分）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．記，，其中為實(shí)數(shù)．（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）；（2）若是等差數(shù)列，證明：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的定義；通項(xiàng)及前n項(xiàng)和【解析】證：（1）若，則，，．當(dāng)成等比數(shù)列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），。(※)若是等差數(shù)列，則型．觀察(※)式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，故有：，即，而≠0，故．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列．20．（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù)．（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）（2）當(dāng)＝eq\f(1,e)或a≤0時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜＜eq\f(1,e)時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【解析】（1）≤0在上恒成立，則≥，．故：≥1．，若1≤≤e，則≥0在上恒成立，此時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不合；若＞e，則在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，，滿足．故的取值范圍為：＞e．綜上有（2）≥0在上恒成立，則≤ex，故：≤eq\f(1,e)．．(ⅰ)若0＜≤eq\f(1,e)，令＞0得增區(qū)間為(0，eq\f(1,a))；令＜0得減區(qū)間為(eq\f(1,a)，﹢∞)．當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→﹣∞；當(dāng)x→﹢∞時(shí)，f(x)→﹣∞；當(dāng)x＝eq\f(1,a)時(shí)，f(eq\f(1,a))＝﹣lna－1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)＝eq\f(1,e)時(shí)取等號(hào)．故：當(dāng)＝eq\f(1,e)時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜＜eq\f(1,e)時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．(ⅱ)若a＝0，則f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．(ⅲ)若a＜0，則在上恒成立，即：在上是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→﹣∞；當(dāng)x→﹢∞時(shí)，f(x)→﹢∞．此時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)＝eq\f(1,e)或a≤0時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜＜eq\f(1,e)時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)II（附加題）21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A[選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC=2OC。求證：AC＝２AD答案：見解析知識(shí)點(diǎn)：圓的切線性質(zhì)；相似三角形判定與性質(zhì)解析：連結(jié)OD，因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D、C，所以∠ADO=∠ACB=90O,又因?yàn)椤螦=∠A，所以Rt△ADO～Rt△ACB所以.又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.B．［選修4-2：矩陣與變換］（本小題滿分10分）已知矩陣A=，求矩陣A-1B.答案：知識(shí)點(diǎn)：逆矩陣、矩陣的乘法解析：設(shè)矩陣A的逆矩陣，則即故從而A的逆矩陣為，所以C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線L的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），試求直線L和曲線C的方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)。答案：直線L的普通方程為2x-y-2=0.曲線C的普通方程為y2=2x.公共點(diǎn)的坐標(biāo)為知識(shí)點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線與拋物線的位置關(guān)系解析：解：因?yàn)橹本€L的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），由x=t+1得t=x-1，代入y=2t，得到直線L的普通方程為2x-y-2=0.同理得到曲線C的普通方程為y2=2x.聯(lián)立方程組，解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為D．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）已知a≥b>0，求證：2a3-b3≥2ab2-a2b.答案：見解析知識(shí)點(diǎn)：利用比較法證明不等式解析：證明：因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0.從而≥0，即【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分，應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22.（本小題滿分10分）如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC=2，A1求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；求平面ADC1與平面ABA1所成二面