2023年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分

2023年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分一、選擇題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕為常數(shù),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),那么〔〕A．B．C．D．【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)〔理〕〔純WORD版含答案〕〕函數(shù),以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是〔〕A．R,B．函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形C．假設(shè)是的極小值點(diǎn),那么在區(qū)間上單調(diào)遞減D．假設(shè)是的極值點(diǎn),那么【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕假設(shè)那么的大小關(guān)系為〔〕A．B．C．D．【答案】BAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)〔理〕試題〔WORD版〕〕設(shè)函數(shù)〔〕A．有極大值,無極小值B．有極小值,無極大值C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,是的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是〔〕A．B．是的極小值點(diǎn)C．是的極小值點(diǎn)D．是的極小值點(diǎn)【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考北京卷〔理〕〕直線l過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,那么l與C所圍成的圖形的面積等于〔〕A．B．2 C．D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),那么〔〕A．當(dāng)時(shí),在處取得極小值B．當(dāng)時(shí),在處取得極大值C．當(dāng)時(shí),在處取得極小值D．當(dāng)時(shí),在處取得極大值【答案】C二、填空題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且,那么______________【答案】2AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕假設(shè)_________.【答案】3AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)〔理〕卷〔純WORD版〕〕假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,那么______.【答案】三、解答題AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)〔理〕〔純WORD版含答案〕〕函數(shù).(Ⅰ)設(shè)是的極值點(diǎn),求,并討論的單調(diào)性;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)〔理〕試題〔WORD版〕〕函數(shù)(=1\*ROMANI)求證:(=2\*ROMANII)假設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答,如果多做,那么按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷〔數(shù)學(xué)〕〔已校對(duì)純WORD版含附加題〕〕本小題總分值16分.設(shè)函數(shù),,其中為實(shí)數(shù).(1)假設(shè)在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍;(2)假設(shè)在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.卷Ⅱ附加題局部答案word版[選做題]第21題,此題包括A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答,假設(shè)多做,那么按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【答案】解:(1)由即對(duì)恒成立,∴而由知<1∴由令那么當(dāng)<時(shí)<0,當(dāng)>時(shí)>0,∵在上有最小值∴>1∴>綜上所述:的取值范圍為(2)證明:∵在上是單調(diào)增函數(shù)∴即對(duì)恒成立,∴而當(dāng)時(shí),>∴分三種情況:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),>0∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)∵∴f(x)存在唯一零點(diǎn)(Ⅱ)當(dāng)<0時(shí),>0∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)∵<0且>0∴f(x)存在唯一零點(diǎn)(Ⅲ)當(dāng)0<時(shí),,令得∵當(dāng)0<<時(shí),>0;>時(shí),<0∴為最大值點(diǎn),最大值為①當(dāng)時(shí),,,有唯一零點(diǎn)②當(dāng)>0時(shí),0<,有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)際上,對(duì)于0<,由于<0,>0且函數(shù)在上的圖像不間斷∴函數(shù)在上有存在零點(diǎn)另外,當(dāng),>0,故在上單調(diào)增,∴在只有一個(gè)零點(diǎn)下面考慮在的情況,先證<0為此我們要證明:當(dāng)>時(shí),>,設(shè),那么,再設(shè)∴當(dāng)>1時(shí),>-2>0,在上是單調(diào)增函數(shù)故當(dāng)>2時(shí),>>0從而在上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)>時(shí),>>0即當(dāng)>時(shí),>,當(dāng)0<<時(shí),即>e時(shí),<0又>0且函數(shù)在上的圖像不間斷,∴函數(shù)在上有存在零點(diǎn),又當(dāng)>時(shí),<0故在上是單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)綜合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)0<<時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)〔理〕卷〔純WORD版〕〕設(shè)函數(shù)(其中).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.【答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,令,得,當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.(Ⅱ),令,得,,令,那么,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以令,那么,令,那么所以在上遞減,而所以存在使得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“〞.綜上,函數(shù)在上的最大值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕函數(shù),為常數(shù)且.(1) 證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;(2) 假設(shè)滿足,但,那么稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn),如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)試確定的取值范圍;(3) 對(duì)于(2)中的和,設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點(diǎn),A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),記△ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調(diào)性.【答案】(1)證明:因?yàn)?有,所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.(2)解:當(dāng)時(shí),有所以只有一個(gè)解,又,故0不是二階周期點(diǎn).當(dāng)時(shí),有所以有解集,又當(dāng)時(shí),,故中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn).當(dāng)時(shí),有所以有四個(gè)解,又,,故只有是的二階周期點(diǎn).綜上所述,所求的取值范圍為.(3)由(2)得,因?yàn)闉楹瘮?shù)的最大值點(diǎn),所以或.當(dāng)時(shí),.求導(dǎo)得:,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,求導(dǎo)得:,因,從而有,所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)〔理〕試題〔含答案〕〕設(shè),其中,曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn).(1)確定的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考四川卷〔理〕〕函數(shù),其中是實(shí)數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且.(Ⅰ)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直,且,求的最小值;(Ⅲ)假設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合,求的取值范圍.【答案】解:函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點(diǎn)A處的切線斜率為,點(diǎn)B處的切線斜率為,故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切垂直時(shí),有.當(dāng)時(shí),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得.因?yàn)?所以,所以.因此當(dāng)且僅當(dāng)==1,即時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直時(shí),的最小值為1當(dāng)或時(shí),,故.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即.兩切線重合的充要條件是由①及知,.由①②得,.設(shè),那么.所以是減函數(shù).那么,所以.又當(dāng)且趨近于時(shí),無限增大,所以的取值范圍是.故當(dāng)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線重合時(shí),的取值范圍是AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕,函數(shù).(=1\*ROMANI)記求的表達(dá)式;(=2\*ROMANII)是否存在,使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直?假設(shè)存在,求的取值范圍;假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】解:(Ⅰ)(=2\*ROMANII)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數(shù)的圖像組成的.因此,假設(shè)在圖像上存在兩點(diǎn)滿足題目要求,那么P,Q分別在兩個(gè)圖像上,且.不妨設(shè)所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值.【答案】解:函數(shù)的定義域?yàn)?.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,,,在點(diǎn)處的切線方程為,即.(Ⅱ)由可知:①當(dāng)時(shí),,函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無極值;②當(dāng)時(shí),由,解得;時(shí),,時(shí),在處取得極小值,且極小值為,無極大值.綜上:當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值,無極大值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新課標(biāo)1〔理〕〕(本小題總分值共12分)函數(shù)=,=,假設(shè)曲線和曲線都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)假設(shè)≥-2時(shí),≤,求的取值范圍.【答案】(Ⅰ)由得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,設(shè)函數(shù)==(),==,有題設(shè)可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)假設(shè),那么-2<≤0,∴當(dāng)時(shí),<0,當(dāng)時(shí),>0,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在=取最小值,而==≥0,∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,即≤恒成立,(2)假設(shè),那么=,∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,∴在(-2,+∞)單調(diào)遞增,而=0,∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,即≤恒成立,(3)假設(shè),那么==<0,∴當(dāng)≥-2時(shí),≤不可能恒成立,綜上所述,的取值范圍為[1,].AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕設(shè)是正整數(shù),為正有理數(shù).(=1\*ROMANI)求函數(shù)的最小值;(=2\*ROMANII)證明:;(=3\*ROMANIII)設(shè),記為不小于的最小整數(shù),例如,,.令,求的值.(參考數(shù)據(jù):,,,)【答案】證明:(=1\*ROMANI)在上單減,在上單增.(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)知:當(dāng)時(shí),(就是伯努利不等式了)所證不等式即為:假設(shè),那么=1\*GB3①,,故=1\*GB3①式成立.假設(shè),顯然成立.=2\*GB3②,,故=2\*GB3②式成立.綜上可得原不等式成立.(=3\*ROMANIII)由(=2\*ROMANII)可知:當(dāng)時(shí),AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考陜西卷〔理〕〕函數(shù).(Ⅰ)假設(shè)直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)k的值;(Ⅱ)設(shè)x>0,討論曲線y=f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).(Ⅲ)設(shè)a<b,比擬與的大小,并說明理由.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函數(shù).設(shè)直線y=kx+1與相切與點(diǎn).所以(Ⅱ)當(dāng)x>0,m>0時(shí),曲線y=f(x)與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù).由,那么h(x)在h(x).所以對(duì)曲線y=f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),討論如下:當(dāng)m時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m=,有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m有2個(gè)公共點(diǎn);(Ⅲ)設(shè)令.,且.所以AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)〔理〕試題〔含答案〕〕設(shè)函數(shù)(=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間、最大值;(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).【答案】解:(Ⅰ),由,解得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,最大值為(Ⅱ)令(1)當(dāng)時(shí),,那么,所以,因?yàn)?所以因此在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,那么,所以,因?yàn)?,又所以所以因此在上單調(diào)遞減.綜合(1)(2)可知當(dāng)時(shí),,當(dāng),即時(shí),沒有零點(diǎn),故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0;當(dāng),即時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn),故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1;當(dāng),即時(shí),=1\*GB3①當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知要使,只需使,即;=2\*GB3②當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知;要使,只需使,即;所以當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2;綜上所述:當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0;當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1;當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕,函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),求的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由得:,且,所以所求切線方程為:,即為:;(Ⅱ)由得到:,其中,當(dāng)時(shí),,(1)當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,所以,因?yàn)?(2)當(dāng),即時(shí),恒成立,所以在上遞增,所以,因?yàn)?(3)當(dāng),即時(shí), ,且,即2+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增所以,且所以,所以;由,所以(ⅰ)當(dāng)時(shí),,所以時(shí),遞增,時(shí),遞減,所以,因?yàn)?又因?yàn)?所以,所以,所以(ⅱ)當(dāng)時(shí),,所以,因?yàn)?